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大学院物理システム工学専攻2004年度
固体材料物性第8回
－光と磁気の現象論(3)－
佐藤勝昭
ナノ未来科学研究拠点
復習コーナー
第7回に学んだこと

光の伝搬とマクスウェルの方程式
– 固有解：波動解、固有値：複素屈折率

ファラデー配置の場合の固有値と固有状態
– ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光）

フォークト配置の場合の固有値と固有状態
– 磁気誘起の複屈折

ファラデー効果の現象論
– ファラデー効果と誘電率テンソル
マクスウェル方程式をEとHで表す


簡単のため， J=0と置く。[伝導電流を分極
電流（変位電流）の中に繰り込む]
BとH、DとEの関係式
B  μ0 H
~
D  ε ε0 E
を代入して、
rot E    0
H
t
E
~
rot H  ε  0
t
(3.18)
誘電率テンソル
平面波の解を仮定する





波数ベクトルKとして
E  E 0 exp(  i  t )  exp( i K  r )
H  H 0 exp(  i  t )  exp( i K  r )
(3.19)
ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルで
ある。この式を式(3.18)に代入すると、
K  E  ωμ 0 H
~
K  H  ω ε ε0 E
となる。
固有方程式


両式からHを消去し、
固有方程式として
(E  N )N  N
2
~
E  E  0
が得られる。問題3.1参照
ファラデー配置の場合(=0)

磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N
//z)に対して式(3.21)は
E  E 0 exp{  i  ( t  Nz / c )}

と表される。固有方程式(3.22)は
 N 2   xx

 xy


0


  xy
N
2
  xx
0
0
0
  zz
 E x

 E y
 
E
 z


0


と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式
においてEの係数の行列式が0でなければならない。こう
して次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)
永年方程式
N

2
  xx
 xy
  xy
N
2
0

0
xx
を得る。
E 

0
（３．２５）
 0
  zz
これより、N2の固有値として２個の値
2
（３．２６）
N    i


  xx
0
E0
xy
これらの固有値に対応する固有関数は、
( i  i j ) exp{  i  ( t 
N
z)
（３．２７）
E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。
2
c
フォークト配置の場合



N2の固有値として
 xy
2
2
N 1   xx 
および
 xx

N 1 

E 1  A exp   i   t 
x    xy i   xx j
c



E2

  zz
という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固
有関数は


N2
2

N 2 

 B exp   i   t 
x   k
c




(3.33)
となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)
3.3のまとめ

光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述す
ると，磁化された等方性物質の屈折率Nは
2
N    xx  i  xy
で与えられる２つの固有値をとり，
それぞれが右円偏光および左円偏光に対応
する．（ここに，εxxは誘電テンソルの対角成
分，εxyは非対角成分である．）もし，εxyが０で
あれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光
学効果は生じない．
磁気光学の式
 Nˆ  Nˆ   Nˆ  
F  
  Nˆ 
 

i 

 x x  i x y 
 
i 


 x x  i x y  i
xy
 xx
xy
 xx
 xy M
(1 )

 xx 
(0)
1
2
 xx M
(2)
2
磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与
磁気光学Kerr効果

1.
2.
反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果
(MOKE)という
通常の反射の法則を導く：電界に対する反
射率＝複素振幅反射率(Fresnel係数)
右回り円偏光に対するFresnel係数と左回
り円偏光に対するFresnel係数の差を考え
る。位相の差からKerr回転が振幅の差から
Kerr 楕円率が導かれる。
斜め入射の場合の反射

反射は界面における電
磁波の伝搬の境界条
件により決められる。
法線
1 
K0
2
n0
E1p
E0p
0
Kのx成分の連続性
K0sin0=K1sin1
＝K2sin 2
これよりSnellの法則が
導かれる。
sin  2
sin  0

Ｘ
１
Ｙ
２
 0 1
 2  n  i  
E2p
2
K0
K2

1
2

N1
N2
K１
Ｚ
K２
1  n0
2
電界と磁界の界面における連続
性
一方、磁界のx成分、y成分についての連続の式
E 0 x  E 0 cos  0 , E 0 y  E 0
P
S
E 1 x   E1 cos  0 , E 1 y  E 1
H
E 2 x  E 2 cos  2 , E 2 y  E 2
H 0  H1  H 2
P
S
P
S
P
0
S

 E 1 cos  0  E 2 cos  2
P
S
S
P
S
P
S
HS＝(K/0)ＥP、HP＝－(K/0)ESによって
電界についての式に書き直す
P
E 0  E1  E 2

 H 1 cos  0  H 2 cos  2
S
電界のx成分、y成分の連続性より
E
P
0

E

 K
K 0 E 0  E 1 cos  0  K 1 E 2 cos  2
K0
連立方程式を解く
S
S
P
0
 E1
P
S
2 E 2 cos  2
P
複素振幅反射率(Fresnel係数)
P
P偏光の反射
rp 
E1
P

E0
K 2 cos  0  K 0 cos 
2
K 2 cos  0  K 0 cos 
2
K 2 cos  0  K 0
K 2  K 0 sin  0
K 2 cos  0  K 0
K 2  K 0 sin  0
2

2
2
S偏光の反射
2
S
rs 

E1
S
E0
2

2
2
2
2
2
K 0 cos  0  K 2 cos 
2
K 0 cos  0  K 2 cos 
2
K 0 cos  0 
K 2  K 0 sin  0
K 0 cos  0 
K 2  K 0 sin  0
2
2
2
2
2
2
 

tan  0  
tan  0

 2
sin  0  
sin  0
ここに、ｒp＝|ｒp|ｅiδp、ｒs＝|ｒs|ｅiδsである。

 2
2
2
エリプソメトリ(偏光解析）
rs
rp



 
cos( 
0
 2 )
cos( 
0
 2 )

rs
exp( i  )  tan  exp( i  )
rp
 azimuth (方位角)
 phase (位相差)
反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射
光は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分
の逆正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測
定には1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光
解析またはエリプソメトリという。
P偏光反射率とS偏光反射率

第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折
率がNの場合
2
N cos  0 
N
2
 sin  0
N cos  0 
N
2
 sin  0
2
Rp 
2
2
2
2
Rs 
cos  0 
N
2
cos  0 
N
2
 sin  0
 sin  0
2
2
入射角に依存する反射率

Ｐ偏光とS偏光で
は反射率の入
射角依存性が
異なる。
反射と偏光：Brewster角

Rp 
Rs 
tan  0   2 
2
tan  0   2 
sin  0   2 
sin  0   2 
2


もし、ψ0＋ψ2＝π/2であれ
ば、tanが発散するため、
Rpは0となる。
このとき、反射光はS偏光
のみとなる。
このときの入射角を
Brewster angleという。
垂直入射のFresnel係数

垂直入射の場合、0＝0、従って1＝0。この
とき電界に対するFresnel係数rとして、
r  rp 
K2  K0
K2  K0

N 1
N 1
（媒質1が真空のとき）
を得る。これより、
r 
N 1
N 1

n  i  1
n  i  1

R exp( i  )
垂直入射の光強度反射率と位相

R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の
際の位相のずれ
R 
2
2
2
2
(1  n )  
(1  n )  
  tan
n
 2
1
2
n 
2
1
2
 
1 R
1  R  2 R cos 
2 R sin 
1  R  2 R cos 
反射率と位相

Kramers-Kronig(クラマースクローニヒ）の関係
 ( ) 



P
0
ln R (  )
 
2

d

2
Kramers-Kronig の関係

応答を表す物理量の実数部と虚数部の間に
成立 （Pは積分の主値を表す。）
2
 ij ( )  1 
 ij ( )  

P
0
f ( )
 
2

2
d    lim
2

0


0

P 0
x  ij ( )
 
 ij ( )

P 0
2
 
2
f ( )
 
2
2

d

2
2
d    lim
0
d 


0
f ( )
 
2
2
d 
KK変換の微分性

第２式を部分積分すると
 ij ( )  


1

ln
  
  

 ij ( )

0
1


P  ln
0
    d  ij ( x )
  
dx
dx
右辺の第１項は0であるから、結局第２項のみとなる。
はx～付近で大きい値をとるので、“は‘の微分形
に近いスペクトル形状を示すことになる。
'がピークを持つでは"は急激に変化し、'が急激
に変化する付近で"は極大（または極小）を示す．
K-K関係の数学的説明



線形応答関数f (ω)が、図に示すωの複素平面の上半面内で
正則、かつ上半平面で |ω|→∞において|f(ω)|→0、さらに実
数ωに対しf'(-ω)=f'(ω)、f"(-ω)=-f"(ω)であるような性質を
持っておればよい。このような条件が成り立つとき、コーシー
の積分公式によって
πif(ω)=∮dω'f(ω')/(ω'-ω)
が成立する。
つづき


f(ω)=f'(ω)+if"(ω)を代入し、両辺の実数部、
虚数部がそれぞれ等しいとおくことによって
導くことができる。
ωの複素平面の上半面内で正則、かつ、上
半平面で|ω|→∞において|f(ω)|→0という条
件は、t=0において外場が加えられたときの
応答はt>0におきるという因果律に対応して
いる。
Kerr効果
K  
K 

 

2
r  r
r  r

2

1 r
2 r

1 R
4 R
磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひ
とまとめにした複素カー回転K
 K   K  i K


i
 i
 i ln 
2
2r
2 rˆ
2 

r
 rˆ
1
rˆ 

rˆ 
複素カー回転
K 

 xy
1   xx 
 xx
この式から，カー効果が誘電率の非対角成
分xyに依存するばかりでなく，分母に来る対
角成分x xにも依存することがわかる．この
式の対角成分x xを光学定数n, によって
表すと，
Kerr効果と誘電率
 K  n0
 K  n0

n n 0  n  3
2
2
n
2

2

2
2
 

2
 2
 n0  n  

  n0  3n  
n
2
2

xy

  n0  3n  
2

2
 
xy
2
2

2 2


2
 
xy
2 2
4 n0  

 n n 0  n  3
2
 2
 n0  n  

2
2

2 2

2
 
xy
2 2
4 n0  

第８回の問題

反射の際に偏光選択性が生じることの理由
を考えよ。