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電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
5/17講義分
電磁場のエネルギー
山田 博仁
今後のスケジュール
・ 5/17(木)(第5回目)
電磁場のエネルギー、波動方程式 (第1回レポート〆切)
・ 5/24(木)(第6回目)
電磁波の性質
・ 5/31(木)(第7回目)
電磁場の運動量 (第2回レポート出題)
・ 6/7(木)(第8回目)
電磁波の反射と透過
・ 6/14(木)(第9回目)
電磁波の反射と透過、偏波 (第2回レポート〆切)
・ 6/21(木)(第10回目)
電磁波の共振器と導波路
・ 6/28(木)(第11回目)
光導波路と光共振器 (第3回レポート出題)
・ 7/5(木)(第12回目)
電磁ポテンシャルとゲージ変換
・ 7/12(木)(第13回目)
電気双極子による電磁波の放射 (第3回レポート〆切)
・ 7/19(木)(第14回目)
点電荷による電磁波の放射
・ 7/26(木)?
定期試験
静電エネルギー
太田昭男 新しい電磁気学 p.33
電荷 Q を与えた半径 a の孤立導体球の静電エネルギーを求める
fq
導体上に既に電荷 q が分布している場合、
導体の電位 fq は、
q
fq
q
dq
dW
∞遠方
a
4 0 a
この状態から、さらに微小電荷 dq を無限遠方から
導体上に運ぶために必要な仕事 dW は、
dW f q dq
従って、導体上に電荷を少しずつ運び最終的に Q とするために要する仕事 W は、
W
dW
Q
0
f q dq
1
4 0
a
Q
0
q dq
Q
2
8 0 a
従って、導体球は上記の静電エネルギー W を有すると考えられる(遠隔作用の観点)
帯電した導体球の周りの電場のエネルギー
帯電した導体球の周りには電場 E(r) が存在する。
E(r)
Q
Q
E (r )
4 0 r
2
電場の静電エネルギー密度 ue は、教科書 p69
式(5.41)に依れば以下の式で与えられる。
1
ue
dr
1
E D
2
a
E
2
(等方性媒質なら)
2
従って、導体球の周りの空間に存在する電場の
全エネルギーは、
Ue
a
4 r u e dr 4
2
Q
2 0 r
2
2
1
近接作用の観点では、電場のエネル
ギーは空間に蓄積されていると考える
Q
8 0
a
r
2
dr
r
2
0
dr
4
Q
2
1
2
a
2
16 r
2
a
2
8 0 a
0 E ( r ) dr
2
電磁場のエネルギー
磁場の磁気エネルギー密度 um は、教科書 p152 式(9.51)に依れば以下の式で
与えられる。
1
1
um
H
BH
2
2
2
従って、単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる
u ue um
1
(E D B H )
( E H )
2
2
(等方性媒質の場合)
2
2
ue
1
1
2
E D
1
E
um
2
2
1
BH
2
1
H
2
2
ここで、ue は電場によるエネルギー密度、um は磁場によるエネルギー密度
ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分したもので、
U Ue Um
1
2
( E D B H )dV
V
物質中(真空中)に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄えられ
る電磁場のエネルギー
時間的に変動する電磁場のエネルギー
次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる
以下のベクトル恒等式(教科書 p228の一番上の式)からスタート
div ( E H ) H rot E E rot H
上式にMaxwellの方程式を代入
rot E ( x , t )
B ( x , t )
t
rot H ( x , t ) i e ( x , t )
div ( E H ) H
D
E ie
t
t
t
B
D
B
E
H
E ie
t
t
D ( x , t )
1
t 2
E D H
B E ie
媒質が等方性であるとして、
D E
t
E D
B H
E
t
D E
D
t
時間的に変動する電磁場のエネルギー
従って、
1
t 2
E D H
B E i e div ( E H )
電磁場に関するエネルギー保存則
上式を、ある領域 V で積分すると、
1
E D H B dV
t 2
V
t
1
2 E D H B dV
V
領域 V 内の電磁場
エネルギー
E i
e
dV
V
E i
div
( E H ) dV
V
e
dV
V
U
ジュール熱による
エネルギー損失
( E H ) n dS
S
Gaussの定理
S = E×H を、
Poynting ベクトル
領域 V を囲む閉曲面 S から単位
時間に外部に流出するエネルギー
S=E×H
n
S
Poynting ベクトル S = E×H は、
dS
電磁場のエネルギーの流れを表す
U
E・ie
V
E
※ Poyntingベクトルがあるからと言って、
必ずしもエネルギーの流れがある訳
ではない
S
H
時間的に変動する電磁場のエネルギー
t
U
E i e dV
V
電磁場エネルギー
の時間的減少
S
S
電磁場のエネルギー保存則
U
S n dS
E・ie
S
=
熱になって消失す
+
る電磁エネルギー
単位時間に外部に流出
する電磁エネルギー
S = E×H を、
u と S との関係は?
Poynting ベクトルと呼ぶ
単位体積当たりの
電磁場エネルギー: u
単位時間に単位面積を通過する
電磁場のエネルギー
u
c
電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む
S = E×H
従って、
cu E H
の関係がある
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
電磁場の波動方程式
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
rot E ( x , t )
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t ) i e ( x , t )
D ( x , t )
t
電場に関するガウスの法則
div D ( x , t ) e ( x , t )
div B ( x , t ) 0
アンペール・マクスウェルの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ)
rot E ( x , t )
rot H ( x , t )
B ( x , t )
t
D ( x , t )
div D ( x , t ) 0
div B ( x , t ) 0
t
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x,t) E ( x,t)
B( x,t) H ( x,t)
真空中
D( x, t) 0 E ( x, t)
B( x, t) 0 H ( x, t)
波動方程式の導出
第1式
E ( x,t)
B ( x , t )
ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している
t
D( x,t) E ( x,t)
B( x,t) H ( x,t)
両辺の rotation をとる
E ( x,t)
t
B( x,t)
t
ベクトル恒等式
( E ) ( E ) E
H ( x,t)
H ( x,t)
D( x,t)
2
t
D ( x , t )
t
2
2
第2式
( E ( x , t )) E ( x , t )
0
従って、
D( x,t) E ( x,t) 0
E ( x,t)
第3式
2
E ( x , t )
t
2
0
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
B( x,t)
2
B ( x , t )
t
2
0
E ( x,t)
t
2
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x , t )
B ( x , t )
t
第1式の rotation をとると、
E ( x,t)
rot H ( x , t ) 0
t
B( x,t)
0
div D ( x , t ) 0
div B ( x , t ) 0
t
H ( x,t)
第2式 H ( x , t ) 0
( E ( x , t )) E ( x , t )
0
D( x,t) E ( x,t) 0
従って、
E ( x, t) 0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味
E ( x,t)
2
2
t
2
E ( x , t )
t
2
0
E ( x,t) 0
2
2
2
2
E ( x,t)
E ( x , t )
0
2
2
2
2
x
y
z
t
ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
E ( z, t)
E ( z, t)
2
z
2
今ここで、
2
v
t
1
2
0
E ( z, t)
2
と置くと、
z
2
1 E ( z, t)
2
v
2
t
2
0
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
0 0
2 . 998 10 m/s
8
波動方程式の解
波動方程式
E ( z, t)
2
z
2
1 E ( z, t)
(教科書 p.200 参照)
2
v
2
t
2
0 の解は、 E ( z , t ) X 1 ( z vt ) X 2 ( z vt ) で与えられる。
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
1 E ( x,t)
2
より一般的には、波動方程式
E ( x, t)
v
2
t
2
0
の解は、
E ( x , t ) X 1 ( k x t ) X 2 ( k x t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
は波の角周波数
参) 伝送線路と電信方程式
送電端
受電端
E
ZL
x
x=0
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる
v
2
x
2
i
RGv ( RC GL )
2
x
2
RGi ( RC GL )
v
t
i
t
v
2
LC
t
2
電信方程式あるいは伝送方程式
i
2
LC
無損失線路(R = G = 0)の場合、
t
2
v
2
x
2
i
2
LC
2
x
2
v
t
2
i
2
LC
t
2
線路上での電圧波と電流波の
伝搬速度 v は、
v 1
LC
であることが分かる
参) 伝送線路上の電圧波の伝搬
x
入射波
E
Vxe
j t
V0 e
x
e
j ( t x )
V0 e
反射波
x
e
j ( t x )
ZL
線路上の位置 x での電圧
-x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
+x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波
ここで、
x
V0 e
x
( v p )
vp: 位相速度
は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
x
vg
d
d
進行する正弦波
+x 方向に伝搬する正弦波
1
2
2
x t
sin( kx t ) sin
x 2 f t sin
x 2 t sin 2
T
T
波数 角周波数
位相角
x1
従って、波数と角周波数の比は、
波の伝搬速度 v
0
t=T
x=λ
t=0
k
ある時刻(t = t1)について見てみると、
-x
x=0
t1
ある場所(x = x1)について見てみると、
+x -t
0
+t
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k x t
波面
(等位相面)
z
x3
x2
x1
k
0
x
k・x – t を波の位相と呼ぶ。
これがある一定値 を保持し
たまま(等位相)、時間発展して
いく様子は、等位相面(波面)
が平面からなる波が波面に垂
直方向に伝搬する様子を表す
k x 3 t3
k x 2 t2
k x 1 t1
y
k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている)
平面電磁波
今、自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表さ
れる電磁波を取り上げる。 角周波数 で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波
E x E x 0 sin( kz t )
H x H x 0 sin( kz t )
E y E y 0 sin( kz t )
H y H y 0 sin( kz t )
E z E z 0 sin( kz t )
H z H z 0 sin( kz t )
kは波数で、
x
k
2
v
E
Ex0
z
Ey0
Ez0
y
平面電磁波
x, y 方向には一様
+ z方向に伝搬する電磁波
E x E x 0 sin( kz t )
H x H x 0 sin( kz t )
E y E y 0 sin( kz t )
H y H y 0 sin( kz t )
E z E z 0 sin( kz t )
H z H z 0 sin( kz t )
rot E ( x , t )
E z E y
y z
z
E x
z
B z
t
t
に代入、
E y E x
E x E z
e x
e
y
x y
z
x
0
0
E y
B ( x , t )
B x
t
0
B y
t
電場の波と磁場の波
の間には位相差φが
あると仮定している
0
B y
B x
B z
e z
e
e
ez
x
y
t
t
t
0
φはゼロでなければならない
kE y 0 cos( kz t ) H x 0 cos( kz t )
kE y 0 H x 0
kE x 0 cos( kz t ) H y 0 cos( kz t )
kE x 0 H
H z 0 cos( kz t ) 0
H z 0 0
y0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x , t ) D ( x , t )
に代入、
t
H z H y
y z
H x H z
e x
x
z
0
0
H y H x
e
y
y
x
H y
z
H x
z
D z
t
D x
kH
t
D y
y0
0
0
kH x 0 cos( kz t ) E y 0 cos( kz t )
t
0
H
y
φ=0
cos( kz t ) E x 0 cos( kz t )
E z 0 cos( kz t ) 0
以上の関係より、
Ex
D y
D x
D z
e z
e
e
ez
x
y
t
t
t
Ey
Hx
kH
y0
E x 0
kH x 0 E y 0
E z 0 0
ここで、
Ez H
z
0
となる
k
v
の関係を用いた
平面電磁波
Ex
H
Ey
Hx
y
x
Ez H z 0
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大
きさの比は一定
Ex E
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E
H
Ey Hy
Z
H
真空中のインピーダンス Z0は、
Z0
z
0
0
1 . 2566371 10
8 . 854185 10
6
12
377
[W ]
y
平面電磁波
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、E と H との間
には以下の関係が成り立つ
x
k
,
E ZH
k
H
1
k
E
Z
k
k
E
z
y
H
電場の波と磁場の波は同相(同じ時刻に共に節や腹となる)
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
波動方程式から導かれる電磁波の性質
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ)
rot E ( x , t )
rot H ( x , t )
B ( x , t )
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
t
D( x,t) E ( x,t)
D ( x , t )
B( x,t) H ( x,t)
t
真空中
div D ( x , t ) 0
D( x, t) 0 E ( x, t)
div B ( x , t ) 0
B( x, t) 0 H ( x, t)
11
ε, μ は、異方性媒質ならテンソル 21
31
12
22
32
13
11
23 , 21
33
31
12
13
23 になる
33
22
32
非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数( ε(E), μ(H) )になる (非線形光学で扱う)
分散性媒質なら電磁波の周波数の関数( ε(ω), μ(ω) )になる
等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式
E ( x,t)
E ( x , t )
t
2
B( x,t)
2
2
0
B ( x , t )
t
2
0
が得られる
波動方程式とその解
波動方程式
E ( x,t)
2
2
2
2
2
2
y
z
x
2
E ( x , t )
ここで、 v
2
1
2
2
v t
1
t
2
0
2
と置くと、
E ( x, t)
v
E ( x,t) 0
t
2
2
0
1
1
v t
2
1
2
0 0
2 . 998 10 m/s
8
(真空中の光速度)
波動方程式の解は、 E ( x , t ) X 1 ( k x t ) X 2 ( k x t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
X1, X2は任意のベクトル関数
2
真空中の場合に v は通常 c で表記され、
c
ダランベルシアン
□
□ E ( x,t) 0
v は電磁波が物質中を伝わる速度
v
1 E ( x,t)
2
E ( x,t)
0
E ( x , t )
2
t
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
は波の角周波数
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り(直線偏波)、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える
E ( x,t) e
(1 )
E 0 sin( k x t )
1 E ( x,t)
2
波動方程式 E ( x , t )
v
2
t
2
0
に上式を代入すると、
2
2
2
2
(k x k y k z ) 2 E ( x , t ) 0
v
0
上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、
角周波数 を、正の値と定義すると、 v k
k k
2
つまり、 k
2
v
2
kx ky kz
2
2
2
これを分散 (dispersion) 関係という。
2 f
f は周波数(振動数)
k
2
と置けば、
v
T
f
T は周期
1
f
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
E ( x,t) e
(1 )
E 0 sin( k x t )
を、
電場に関するガウスの法則 div E ( x , t ) 0 に代入する
(1 )
(1 )
(1 )
div E ( x , t )
ex
ey
e z E 0 sin( k x x k y y k z z t )
x
y
z
( k x e x k y e y k z e z ) E 0 cos( k x x k y y k z z t )
(1 )
(k e
(1 )
(1 )
(1 )
) E 0 cos( k x x k y y k z z t ) 0
上式が常に成り立つためには、 k e (1 ) 0 でなければならない
即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
つまり、電場の波は横波である
e(1)
E ( x,t) e
(1 )
E 0 sin( k x t )
k
平面電磁波
磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
B( x,t) e
(2)
B 0 sin( k x t )
を考え、
磁場に関するガウスの法則 div B ( x , t ) 0 に代入する
(2)
(2)
(2)
div B ( x , t )
ex
ey
e z B 0 sin( k x x k y y k z z t )
x
y
z
(k xex
(2)
(k e
(2)
k y e y k z e z ) B 0 cos( k x x k y y k z z t )
(2)
(2)
) B 0 cos( k x x k y y k z z t ) 0
上式が常に成り立つためには、 k e ( 2 ) 0 でなければならない
即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
つまり、磁場の波も横波である
B( x,t) e
従って、
(2)
B 0 sin( k x t )
k
電磁波は横波 !!
e(2)
平面電磁波の性質
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという
E
H
真空中では、 Z 0
Z
0
0
1 . 2566371 10
8 . 854185 10
6
12
377
[W ]
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、E と H との間には
以下の関係が成り立つ
k
1
k
,
E ZH
k
H
E
Z
k
つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂
直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在
する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。
x
k
E
z
y
H
電磁波のエネルギー
媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 u
1
E
2
2
E
電磁波の電場と磁場の大きさの間には
H
従って、
1
2
E
2
1
H
1
H
2
で与えられるが、
2
Z
の関係がある
つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい
2
2
2
2
従って、電磁波のエネルギー密度は、 u E H
電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、
E E 0 sin kz t
H H 0 sin kz t
で表せる。
また、E = v B, Z = μv (Z0 = μ0c )
の関係も成り立つことが分かる
u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2/)について平均すれば、
1
u E
T
2
0
T
0
1
1
2
2
2
sin ( kz t ) dt E 0 H 0
2
2
平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、
Poyntingベクトル S は、 S E H vu
S v u
1
2
v E 0
2
1
2
k
と表せる。従って、
k
v H 0
2
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
rot grad f ( f ) 0
div rot E ( E ) 0
div grad f ( f ) f f
2
( ) E E
( スカラー場 )
( ベクトル場 )
2
x
2
2
y
2
□
rot rot E ( E ) ( E ) E
2
x
2
2
y
2
1
2
c t
2
2
ストークスの定理
F n dS F dV
F d r ( F ) n dS
S
C
V
n
S
F
dS
S
V
2
z
2
2
ダランベルシアン
div ( E H ) H rot E E rot H
ガウスの定理
n
F
S
dS
C
dr
z
2
1
2
c t
2
2