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電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
5/17講義分
電磁場のエネルギー
山田 博仁
今後のスケジュール
・ 5/17(木)(第5回目)
電磁場のエネルギー、波動方程式 (第1回レポート〆切)
・ 5/24(木)(第6回目)
電磁波の性質
・ 5/31(木)(第7回目)
電磁場の運動量 (第2回レポート出題)
・ 6/7(木)(第8回目)
電磁波の反射と透過
・ 6/14(木)(第9回目)
電磁波の反射と透過、偏波 (第2回レポート〆切)
・ 6/21(木)(第10回目)
電磁波の共振器と導波路
・ 6/28(木)(第11回目)
光導波路と光共振器 (第3回レポート出題)
・ 7/5(木)(第12回目)
電磁ポテンシャルとゲージ変換
・ 7/12(木)(第13回目)
電気双極子による電磁波の放射 (第3回レポート〆切)
・ 7/19(木)(第14回目)
点電荷による電磁波の放射
・ 7/26(木)?
定期試験
静電エネルギー
太田昭男 新しい電磁気学 p.33
電荷 Q を与えた半径 a の孤立導体球の静電エネルギーを求める
fq
導体上に既に電荷 q が分布している場合、
導体の電位 fq は、
q
fq 
q
dq
dW
∞遠方
a
4  0 a
この状態から、さらに微小電荷 dq を無限遠方から
導体上に運ぶために必要な仕事 dW は、
dW  f q dq
従って、導体上に電荷を少しずつ運び最終的に Q とするために要する仕事 W は、
W 
 dW


Q
0

f q dq
1
4  0

a
Q
0
q dq 
Q
2
8 0 a
従って、導体球は上記の静電エネルギー W を有すると考えられる(遠隔作用の観点)
帯電した導体球の周りの電場のエネルギー
帯電した導体球の周りには電場 E(r) が存在する。
E(r)
Q
Q
E (r ) 
4  0 r
2
電場の静電エネルギー密度 ue は、教科書 p69
式(5.41)に依れば以下の式で与えられる。
1
ue 
dr
1
E D 
2
a
 E
2
(等方性媒質なら)
2
従って、導体球の周りの空間に存在する電場の
全エネルギーは、
Ue 


a
4  r u e dr  4 
2

Q
 2  0  r
2
2
1
近接作用の観点では、電場のエネル
ギーは空間に蓄積されていると考える

Q
8 0


a
r
2
dr 
r
2
0
dr
4
Q
2
1
2
a
2
16   r
2
a


2
8 0 a
 0 E ( r ) dr
2
電磁場のエネルギー
磁場の磁気エネルギー密度 um は、教科書 p152 式(9.51)に依れば以下の式で
与えられる。
1
1
um 
H
BH 
2
2
2
従って、単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる
u  ue  um 
1
(E  D  B  H ) 
( E   H )
2
2
(等方性媒質の場合)
2
2
ue 
1
1
2
E D 
1
 E
um 
2
2
1
BH 
2
1
H
2
2
ここで、ue は電場によるエネルギー密度、um は磁場によるエネルギー密度
ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分したもので、
U Ue Um 
1
2

( E  D  B  H )dV
V
物質中(真空中)に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄えられ
る電磁場のエネルギー
時間的に変動する電磁場のエネルギー
次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる
以下のベクトル恒等式(教科書 p228の一番上の式)からスタート
div ( E  H )  H  rot E  E  rot H
上式にMaxwellの方程式を代入
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
t
rot H ( x , t )  i e ( x , t ) 
div ( E  H )   H 
D 

 E   ie 

t
t 

t
B
D
B 

  E 
H 
  E  ie

t

t



D ( x , t )
 1
t 2
E  D  H
 B   E  ie
媒質が等方性であるとして、
D  E

t
E  D  
B  H
E
t
D  E 
D
t
時間的に変動する電磁場のエネルギー
従って、 
 1
t 2
E  D  H
 B   E  i e  div ( E  H )
電磁場に関するエネルギー保存則
上式を、ある領域 V で積分すると、


1
 E  D  H  B  dV

t 2

V


t
1
 2  E  D  H  B  dV
V
領域 V 内の電磁場
エネルギー
 E i
e
dV 
V

 E i
 div
( E  H ) dV
V
e
dV 
V
U
ジュール熱による
エネルギー損失
 ( E  H )  n dS
S
Gaussの定理
S = E×H を、
Poynting ベクトル
領域 V を囲む閉曲面 S から単位
時間に外部に流出するエネルギー
S=E×H
n
S
Poynting ベクトル S = E×H は、
dS
電磁場のエネルギーの流れを表す
U
E･ie
V
E
※ Poyntingベクトルがあるからと言って、
必ずしもエネルギーの流れがある訳
ではない
S
H
時間的に変動する電磁場のエネルギー


t
U 

E  i e dV 
V
電磁場エネルギー
の時間的減少

S
S
電磁場のエネルギー保存則
U
S  n dS
E･ie
S
=
熱になって消失す
+
る電磁エネルギー
単位時間に外部に流出
する電磁エネルギー
S = E×H を、
u と S との関係は?
Poynting ベクトルと呼ぶ
単位体積当たりの
電磁場エネルギー: u
単位時間に単位面積を通過する
電磁場のエネルギー
u
c
電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む
S = E×H
従って、
cu  E  H
の関係がある
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
電磁場の波動方程式
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t )  i e ( x , t ) 
D ( x , t )
t
電場に関するガウスの法則
div D ( x , t )   e ( x , t )
div B ( x , t )  0
アンペール・マクスウェルの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ)
rot E ( x , t )  
rot H ( x , t ) 
B ( x , t )
t
D ( x , t )
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0
t
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
真空中
D( x, t)   0 E ( x, t)
B( x, t)  0 H ( x, t)
波動方程式の導出
第1式
  E ( x,t)  
B ( x , t )
ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している
t
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
両辺の rotation をとる
    E ( x,t)  

t
  B( x,t)  

t
ベクトル恒等式
  (  E )   (  E )   E
  H ( x,t)  
  H ( x,t) 
 D( x,t)
2
t
D ( x , t )
t
2
2
  
第2式
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0
従って、

  D( x,t)     E ( x,t)  0
 E ( x,t)
第3式
2
 E ( x , t )  
t
2
0
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
 B( x,t)
2
 B ( x , t )  
t
2
0
 E ( x,t)
t
2
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
t
第1式の rotation をとると、
    E ( x,t)  
rot H ( x , t )  0

t
  B( x,t)  
0
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0

t
  H ( x,t)
第2式   H ( x , t )  0
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0

  D( x,t)     E ( x,t)  0
従って、
E ( x, t)  0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味
 E ( x,t)
2


   
2

t

2
 E ( x , t )  
t
2
0

E ( x,t)  0


2
2
2
 2

 
 E ( x,t)

E ( x , t )  
0
 2 
2
2 
2

x

y

z

t


ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
 E ( z, t)
 E ( z, t)
2
z
2
今ここで、
2
 
v
t
1

2
0
 E ( z, t)
2
と置くと、
z
2
1  E ( z, t)
2

v
2
t
2
0
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
 0 0
 2 . 998  10 m/s
8
波動方程式の解
波動方程式
 E ( z, t)
2
z
2
1  E ( z, t)
(教科書 p.200 参照)
2

v
2
t
2
 0 の解は、 E ( z , t )  X 1 ( z  vt )  X 2 ( z  vt ) で与えられる。
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
1  E ( x,t)
2
より一般的には、波動方程式
E ( x, t) 
v
2
t
2
0
の解は、
E ( x , t )  X 1 ( k  x   t )  X 2 ( k  x   t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
参) 伝送線路と電信方程式
送電端
受電端
E
ZL
x
x=0
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる
 v
2
x
2
 i
 RGv  ( RC  GL )
2
x
2
 RGi  ( RC  GL )
v
t
i
t
 v
2
 LC
t
2
電信方程式あるいは伝送方程式
 i
2
 LC
無損失線路(R = G = 0)の場合、
t
2
 v
2
x
2
 i
2
 LC
2
x
2
 v
t
2
 i
2
 LC
t
2
線路上での電圧波と電流波の
伝搬速度 v は、
v 1
LC
であることが分かる
参) 伝送線路上の電圧波の伝搬
x
入射波
E
Vxe
j t

 V0 e
x
e
j ( t   x )

 V0 e
反射波
 x
e
j ( t   x )
ZL
線路上の位置 x での電圧
-x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
+x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波
ここで、
x

V0 e
x


( v p )
vp: 位相速度
は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
x
vg 
d
d
進行する正弦波
+x 方向に伝搬する正弦波
1 
 2

 2
 x t 
sin( kx   t )  sin 
x  2  f t   sin 
x  2  t   sin 2    
T 
 

 
 T 
波数 角周波数
位相角
x1
従って、波数と角周波数の比は、
波の伝搬速度 v 

0
t=T
x=λ
t=0
k
ある時刻(t = t1)について見てみると、
-x
x=0
t1
ある場所(x = x1)について見てみると、
+x -t
0
+t
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k x  t 
波面
(等位相面)
z
x3
x2
x1
k
0
x
k・x –  t を波の位相と呼ぶ。
これがある一定値  を保持し
たまま(等位相)、時間発展して
いく様子は、等位相面(波面)
が平面からなる波が波面に垂
直方向に伝搬する様子を表す
k  x 3   t3  
k  x 2   t2  
k  x 1   t1  
y
k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている)
平面電磁波
今、自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表さ
れる電磁波を取り上げる。 角周波数  で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 sin( kz   t )
H x  H x 0 sin( kz   t   )
E y  E y 0 sin( kz   t )
H y  H y 0 sin( kz   t   )
E z  E z 0 sin( kz   t )
H z  H z 0 sin( kz   t   )
kは波数で、
x
k 
2



v
E
Ex0
z
Ey0
Ez0
y
平面電磁波
x, y 方向には一様
+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 sin( kz   t )
H x  H x 0 sin( kz   t   )
E y  E y 0 sin( kz   t )
H y  H y 0 sin( kz   t   )
E z  E z 0 sin( kz   t )
H z  H z 0 sin( kz   t   )
rot E ( x , t )  
 E z E y

 y  z

z
E x
z
B z
t
t
に代入、

 E y E x
 E x E z 
e x  


e


y

 x  y

z

x




0
0
E y
B ( x , t )

B x
t

0
B y
t
電場の波と磁場の波
の間には位相差φが
あると仮定している
0
B y

B x
B z
e z  
e

e

ez
x
y


t

t

t

0
φはゼロでなければならない
kE y 0 cos( kz   t )    H x 0 cos( kz   t   )
kE y 0    H x 0
kE x 0 cos( kz   t )   H y 0 cos( kz   t   )
kE x 0   H
  H z 0 cos( kz   t   )  0
 H z 0  0
y0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x , t )   D ( x , t )
に代入、
t
 H z H y

 y  z


 H x H z
e x  


x
 z

0
0

 H y H x

e


 y 
y

 x
H y
z
H x
z
D z
t


D x
 kH
t
D y
y0
0
0
kH x 0 cos( kz   t )    E y 0 cos( kz   t   )
t
0
H
y

φ=0
cos( kz   t )    E x 0 cos( kz   t   )
  E z 0 cos( kz   t )  0
以上の関係より、
Ex
D y

D x
D z
e z 
e

e

ez
x
y

t
t
t

Ey
Hx

kH
y0
  E x 0
kH x 0    E y 0
 E z 0  0
ここで、


Ez  H
z
0
となる
k 

v
  
の関係を用いた
平面電磁波
Ex
H

Ey

Hx
y


x
Ez  H z  0
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大
きさの比は一定
Ex E
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E

H


Ey Hy
 Z
H
真空中のインピーダンス Z0は、
Z0 
z
0
0

1 . 2566371  10
8 . 854185  10
6
 12
 377
[W ]
y
平面電磁波
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、E と H との間
には以下の関係が成り立つ
x

k 
,
E  ZH 

k 

H 
1 
k 
E


Z 
k 
k
E
z
y
H
電場の波と磁場の波は同相(同じ時刻に共に節や腹となる)
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
波動方程式から導かれる電磁波の性質
山田 博仁
自由空間でのMaxwell方程式
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ)
rot E ( x , t )  
rot H ( x , t ) 
B ( x , t )
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
t
D( x,t)   E ( x,t)
D ( x , t )
B( x,t)   H ( x,t)
t
真空中
div D ( x , t )  0
D( x, t)   0 E ( x, t)
div B ( x , t )  0
B( x, t)  0 H ( x, t)
  11

ε, μ は、異方性媒質ならテンソル   21

 31
 12
 22
 32
 13 
  11


 23  ,   21

 33 
 31
 12
 13 

 23  になる
 33 
 22
 32
非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数( ε(E), μ(H) )になる (非線形光学で扱う)
分散性媒質なら電磁波の周波数の関数( ε(ω), μ(ω) )になる
等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式
 E ( x,t)
 E ( x , t )  
t
2
 B( x,t)
2
2
0
 B ( x , t )  
t
2
0
が得られる
波動方程式とその解
波動方程式
 E ( x,t)
2
2
 2



 2 
2
2
y
z
 x
2
 E ( x , t )  
ここで、 v 
2

1 
  2
2

v t

1

t
2
0
2
と置くと、
E ( x, t) 
v

E ( x,t)  0


t
2
2
0
1
1 
v t
2
1
2
 0 0
 2 . 998  10 m/s
8
(真空中の光速度)
波動方程式の解は、 E ( x , t )  X 1 ( k  x   t )  X 2 ( k  x   t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
X1, X2は任意のベクトル関数
2
真空中の場合に v は通常 c で表記され、
c

ダランベルシアン
□  
□ E ( x,t)  0
v は電磁波が物質中を伝わる速度
v
1  E ( x,t)
2

 E ( x,t)
0
 E ( x , t )  
2
t

- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り(直線偏波)、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える
E ( x,t)  e
(1 )
E 0 sin( k  x   t )
1  E ( x,t)
2
波動方程式  E ( x , t ) 
v
2
t
2
0
に上式を代入すると、
2
 2
 
2
2
(k x  k y  k z )  2  E ( x , t )  0
v 

0
上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、
角周波数  を、正の値と定義すると、   v k
k k 
2
つまり、 k 

2
v
2
kx  ky  kz
2
2
2
これを分散 (dispersion) 関係という。
  2 f
f は周波数(振動数)
k 
2

と置けば、  
v
T 
f
T は周期
1
f
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
E ( x,t)  e
(1 )
E 0 sin( k  x   t )
を、
電場に関するガウスの法則 div E ( x , t )  0 に代入する
  (1 )
 (1 )
 (1 ) 
div E ( x , t )  
ex 
ey 
e z  E 0 sin( k x x  k y y  k z z   t )

x

y

z


 ( k x e x  k y e y  k z e z ) E 0 cos( k x x  k y y  k z z   t )
(1 )
 (k  e
(1 )
(1 )
(1 )
) E 0 cos( k x x  k y y  k z z   t )  0
上式が常に成り立つためには、 k  e (1 )  0 でなければならない
即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
つまり、電場の波は横波である
e(1)
E ( x,t)  e
(1 )
E 0 sin( k  x   t )
k
平面電磁波
磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
B( x,t)  e
(2)
B 0 sin( k  x   t )
を考え、
磁場に関するガウスの法則 div B ( x , t )  0 に代入する
  (2)
 (2)
 (2) 
div B ( x , t )  
ex 
ey 
e z  B 0 sin( k x x  k y y  k z z   t )

x

y

z


 (k xex
(2)
 (k  e
(2)
 k y e y  k z e z ) B 0 cos( k x x  k y y  k z z   t )
(2)
(2)
) B 0 cos( k x x  k y y  k z z   t )  0
上式が常に成り立つためには、 k  e ( 2 )  0 でなければならない
即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
つまり、磁場の波も横波である
B( x,t)  e
従って、
(2)
B 0 sin( k  x   t )
k
電磁波は横波 !!
e(2)
平面電磁波の性質
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという
E
H



真空中では、 Z 0 
 Z
0
0

1 . 2566371  10
8 . 854185  10
6
 12
 377
[W ]
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、E と H との間には
以下の関係が成り立つ

k 
1 
k 
,
E  ZH 

k 

H 
E


Z 
k 
つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂
直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在
する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。
x
k
E
z
y
H
電磁波のエネルギー
媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 u 
1
E 
2
2
E
電磁波の電場と磁場の大きさの間には
H
従って、
1
2
E 
2
1
H



1
H
2
で与えられるが、
2
 Z
の関係がある
つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい
2
2
2
2
従って、電磁波のエネルギー密度は、 u   E   H
電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、
E  E 0 sin kz   t 
H  H 0 sin kz   t 
で表せる。
また、E = v B, Z = μv (Z0 = μ0c )
の関係も成り立つことが分かる
u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2/)について平均すれば、
1
 u   E 
T
2
0

T
0
1
 1
2
2
2
sin ( kz   t ) dt    E 0   H 0
2
 2
平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、
Poyntingベクトル S は、 S  E  H  vu
 S  v  u 
1
2
v E 0 
2
1
2
k
と表せる。従って、
k
v H 0
2
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
rot grad f    (  f )  0
 
div rot E    (   E )  0
div grad f    (  f )   f   f
2
(   ) E   E
( スカラー場 )
( ベクトル場 )

2
x
2

2
y

2
□
rot rot E    (   E )   (   E )   E

2
x
2



2
y
2
1 
2
c t
2
2
ストークスの定理
 F  n dS     F dV
 F  d r   (   F )  n dS
S
C
V
n
S
F
dS
S
V

2
z
2

2
ダランベルシアン
div ( E  H )  H  rot E  E  rot H
ガウスの定理

n
F
S
dS
C
dr

z
2

1 
2
c t
2
2