Transcript 反射とKerr効果

大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第5回
－磁気光学効果の電子論(1):古典電子論－
非常勤講師：佐藤勝昭
（東京農工大学工学系大学院教授）
復習コーナー
磁気光学Kerr効果

1.
2.
反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果
(MOKE)という
通常の反射の法則を導く：電界に対する反
射率＝複素振幅反射率(Fresnel係数)
右回り円偏光に対するFresnel係数と左回
り円偏光に対するFresnel係数の差を考え
る。位相の差からKerr回転が振幅の差から
Kerr 楕円率が導かれる。
復習コーナー
斜め入射の場合の反射

反射は界面における電
磁波の伝搬の境界条件
により決められる。
1 
法線
2
n0
E1p
K0
E0p
0
Kのx成分の連続性
K0sin0=K1sin1
＝K2sin 2
これよりSnellの法則が
導かれる。
sin  2
sin  0

Ｘ
１
Ｙ
２
 0 1
 2  n  i  
E2p
2
K0
K2

1
2

N1
N2
K１
Ｚ
K２
復習コーナー
複素振幅反射率(Fresnel係数)
P
P偏光の反射
rp 
E1
P
E0

K 2 cos  0  K 0 cos  2
K 2 cos  0  K 0 cos  2
K 2 cos  0  K 0
K 2  K 0 sin  0
K 2 cos  0  K 0
K 2  K 0 sin  0
2

2
2
2
S
S偏光の反射
rs 

E1
S
E0
2

2
2
2
2
2

tan  0   2 
tan  0   2 
K 0 cos  0  K 2 cos  2
K 0 cos  0  K 2 cos  2
K 0 cos  0 
K 2  K 0 sin  0
K 0 cos  0 
K 2  K 0 sin  0
2
2
2
2
2
 
2
ここに、ｒp＝|ｒp|ｅiδp、ｒs＝|ｒs|ｅiδsである。
sin  0   2 
sin  0   2 
復習コーナー
エリプソメトリ(偏光解析）
rs
rp



 
cos( 
0
 2 )
cos( 
0
 2 )

rs
exp( i  )  tan  exp( i  )
rp
 azimuth (方位角)
 phase (位相差)
反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射光
は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分の逆
正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測定には
1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光解析また
はエリプソメトリという。
復習コーナー
P偏光反射率とS偏光反射率

第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折率
がNの場合
2
N cos  0 
2
Rp 
N cos  0 
2
N
2
 sin  0
N
2
 sin  0
2
2
2
Rs 
cos  0 
cos  0 
N
2
 sin  0
N
2
 sin  0
2
2
復習コーナー
入射角に依存する反射率

Ｐ偏光とS偏光で
は反射率の入射
角依存性が異な
る。
復習コーナー
反射と偏光：Brewster角
もし、ψ0＋ψ2＝π/2であれ
ば、tanが発散するため、
Rpは0となる。
 このとき、反射光はS偏光
のみとなる。
 このときの入射角を
Brewster angleという。

Rp 
Rs 
tan  0   2 
2
tan  0   2 
sin  0   2 
sin  0   2 
2
復習コーナー
垂直入射の光強度反射率と位相

R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の際の
位相のずれ
R 
2
2
2
2
(1  n )  
(1  n )  
  tan
n
 2
1
2
n 
2
1
2
 
1 R
1  R  2 R cos 
2 R sin 
1  R  2 R cos 
復習コーナー
反射率と位相

Kramers-Kronig(クラマースクローニヒ）の関係
 ( ) 



P
0
ln R (  )
 
2

d

2
復習コーナー
Kramers-Kronig の関係

応答を表す物理量の実数部と虚数部の間に成
立 （Pは積分の主値を表す。）
 ij ( )  1 
 ij ( )  

P
0
f ( )
 
2
2
2

2

d    lim
0
x  ij ( )

P 0
 
 ij ( )

P 0


0
2
 
2
f ( )
 
2
2
2
d 

d

2
d    lim
0


0
f ( )
 
2
2
d 
復習コーナー
KK変換の微分性

第２式を部分積分すると
 ij ( )  
1

ln
  
  

 ij ( )

0
1


P  ln
0
    d  ij ( x )
  
dx
dx
右辺の第１項は0であるから、結局第２項のみとなる。
はx～付近で大きい値をとるので、“は‘の微分形
に近いスペクトル形状を示すことになる。
 'がピークを持つでは"は急激に変化し、'が急激
に変化する付近で"は極大（または極小）を示す．

復習コーナー
Kerr効果
K  
K 

 

2
r  r
r  r

2

1 r

2 r
1 R
4 R
磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひと
まとめにした複素カー回転K
 K   K  i K
 rˆ 

i
 i
 i ln  
2
2r
2 rˆ
2  rˆ 

r
 rˆ
1
復習コーナー
複素カー回転
K 

 xy
1   xx 
 xx
この式から，カー効果が誘電率の非対角成分
xyに依存するばかりでなく，分母に来る対角成
分x xにも依存することがわかる．この式の対
角成分x xを光学定数n, によって表すと，
復習コーナー
Kerr効果と誘電率
 K  n0
 K  n0

n n 0  n  3
2
2
n
2

2

2
2
 

2
 2
 n0  n  

  n0  3n  
n
2
2

xy

  n0  3n  
2

2
 
xy
2
2

2 2


2
 
xy
2 2
4 n0  

 n n 0  n  3
2
 2
 n0  n  

2
2

2 2

2
 
xy
2 2
4 n0  

磁気光学効果の電子論
今回：古典電子論
 次回：量子論

電界・磁界のもとにおける荷電粒子の運動

古典力学の運動方程式を考える。
荷電粒子の電荷 q [C], 質量 m [kg]
 荷電粒子の変位 u [m]
 慣性力 md2u/dt2
 摩擦力 mdu/dt
 Lorentz力 q(E+vB)=q(E+du/dtB)

B
古典電子論
2
d u
m
dt
2
du


2
 m 0 u  q E 
 B
dt
dt


du
 m
B  ( 0 ,0 , B )
E  E 0 exp   i  t 
u  u 0 exp(  i t )
 m  u  im  u  m  0 u  q  E  i  u  B 
2

m
2
2
2

 i  qBx  m 

m
2

 i    0 x  i  qBy   qE x
2
2

 i    0 y   qE
2

 i    0 z   qE z
y
変位uを求める

連立方程式を解いて、u=(x, y, z)を求める
x
q
m
y 
q
m
z 



2
2
 i    0
 i  

2 2
0
i 
2
q
m 
2
 i  
 i  

2 2
0
1
2
c
2
0
Ez
Ex 
2
m
2
  c
2
2
  c
q
Ex 
q
m


i 
2
 i  

2
2
c

2 2
0
2
2
  c
2
 i    0
 i  
Ey

2 2
0
Ey
2
2
  c
電気分極Pを求める

P=nquにより分極Pを求める
Px  
nq
Py  
nq
Pz  
nq
2

m

2
2
 i  
2
m


2 2
0
i 
2
2
m 
2
 i    0
 i  
 i  

2 2
0
1
2
c
2
0
2
2
  c
2
2
  c
Ex 
nq
Ex 
nq
2

m
m
i 
2
 i  
2


2
2
c

2 2
0
2
2
  c
2
 i    0
 i  
Ey

2 2
0
Ez
 c  qB m
サイクロトロン角振動数
2
2
  c
Ey
電気感受率を求める

P=0Eにより電気感受率を求める。


Py   0   xy E x   xx E y 
Px   0  xx E x   xy E y
Pz   0  zz E z
 xx    
 xy   
nq
m0
nq



2
2
nq


2
 i  
m0

2 2
0
i 
2

2
 i    0
 i  
2
m0
 zz    
2
c
2
2
 c  qB m
より、非対角成分は磁界に比例

2 2
0
1

2
  c
2
 i    0
2
  c
2
誘電率に変換する
 ij=ij+ijを用いて、誘電率テンソルに変換
 xx    1 
 xy   
nq
nq

m0


2
2
m0
 zz    1 
2

nq

m0
2
 i    0
 i  
i 
2
 i  
2

2

2 2
0
c
2
2
 c  qB m
より、非対角成分は
磁界に比例

2 2
0
1

2
  c
2
 i    0
2
  c
2
磁界ゼロの場合：ローレンツの式

B=0なのでc=0を代入：Lorentzの分散式
 xx     zz    1 
nq
2
m0
1


2
 xy    0
 xx ( )  1 
 ( ) 
 xx
nq
nq

2
m 0

(
2
m 0

2
2
2
 i    0
2
0
2 2
0 )
2
 

(
2
2 2
0 )
2
 
2
2
磁界がなく，束縛項もない場合：
ドルーデの式

c=0, 0=0とおく：Drude formula
 xx     zz    1 
 xx ( )  1 
 ( ) 
 xx
nq

1

2
m 0


2
m 0
1
m  0  (  i  )
 xy    0
nq
2
nq
2

2

 (
2

2
)
負の誘電率
プラズマ振動数

Drudeの式で、ダンピング項を0としたとき、εの実数
部が0となる振動数を自由電子プラズマ振動数pとよ
び下の式で求められる。
nq
 xx ( )  1 
2
m0

1
2
p
0
ダンピングのある場合のDrudeの式
をpを使って書き直すと
2
p
 xx ( )  1 
2
2
 
 ( ) 
 xx

 (
2
2
p
2
 )
p 
 p 
nq
2
m
2
p 
においてゼロを横切る
2
磁界がかかっており束縛項がない場合：
マグネトプラズマ共鳴
0=0，=0を代入
 ij=-i0(ij-ij)によりに変換

 xx    1 
 xy   
nq
nq
m0

2
m0
 zz    1 
2

nq


2
 c
2
2
1
m0  2
 c
1
p

2
 c

2
xx
マグネトプラズマ共鳴
    i  0  zz
 1 
2
 i c
 
2
2
1
2=p2+c2で
ゼロを横切る
2

 i

 p c
 
2
 c
2


xy
    i  0  xy
1

2
= cで発散

zz
    i  0  zz

2
 c
2

 p c

2
2
p
2
i  p  0
 1 
 c
2
2
0
i p  0

2
磁界がかかっていて，束縛がなく，
散乱のない場合
 xx    1 
 xy    i
2
p

2
 c
2
N
2

 p c
 
 zz    1 
2
2
p

2
 c
2

2
  xx  i  xy  1 

 

2
2
p

2
c


c  1

2
p
    c

ホール効果(による記述)

DCにおいては、→0とすることにより、次式を得る。xyはx方
向に電流が流れたときy方向に電圧が生じることを表しており、
まさにホール効果を記述するものである。
 xx 0  

m
 xy 0   
 zz 0  
2
nq
nq
nq
m

2
c  
2

m
2

1

2
 nq
c
2
c  
 nq
2
q
m

q
2
m  c2  
  nq
q
2
 nq 
 c
m c2  
 nq    0
2

2
2
c  
  0
2

0
c /
2
2
( c /  )  1
( c /  )  1
ホール効果(による記述)

導電率テンソルを抵抗率テンソルに変換
 xx 0  
0
 xy 0   
 zz 0  
ホール係数
1
c /
0

qB / m 
2
nq / m 

B
nq
  RH B
1
0
1 /  0

ˆ   R H B

 0
 RH B
1/ 0
0


0 

1/ 0 
0
Feの磁気光学効果は
古典電子論で説明できるか？
 xy   
nq
2
m0


i 
2
 i  
c

2 2
0
2
  c
2
比誘電率の非対角成分の大きさ：最大5の程度
     0  2 eV ,   0 . 1eV ,
キャリア密度 n  10 22 cm  3  10 28 m -3 と仮定
B=3000Tという非現実的な磁界が必要
 スピン軌道相互作用によって初めて説明可能

磁気光学効果の量子論