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第Ⅰ部
社会ネットワーク分析への招待
第３章 社会ネットワーク分析には
どんな数学が必要か
Social Network Seminar
内容
１．社会ネットワークを表現する根本ツールとし
てのグラフ
２．方向をもつグラフ –ダイグラフ３．社会ネットワークの行列表現とその演算
４．特殊な諸グラフ
→社会ネットワーク分析にはグラフが必要。
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１．グラフ
社会ネットワーク分析・・・技法の体系
→技術的な側面の理解が必要
→数学的な基礎・グラフ理論
グラフの基礎
グラフGは、pの点とqの互いに素な点の非順序対から
なる集合Eをもった、空でない有限集合V=V(G)から
構成される。このときGは位数p、規模qをもつという。
2
グラフの基礎
Eにおける点の対e={u,v}：Gの辺(edge)
”eはuとvを結合している” ”uとvは隣接点である”
”辺eはu,vに接続的である”
(p,q)グラフ：pの点とqの辺をもったグラフ
次数：ある点が隣接する他の点の数
次数列：各点の次数を降順に並べたもの
グラフを一意的に決定するもの
グラフは頂点の集合Vと辺の集合Eの対として、
G=<V,E>のように表現される。また、
V(G)：グラフGの点の集合
E(G)：グラフGの辺の集合 と書く。
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隣接行列(adjacency matrix)
点同士の結合があるとき１、ないとき
０と表した行列 →隣接行列
図のグラフG1において、
G1の隣接行列A(G1)は、
• 次数は各行か各列の和である。
• 次数列は{4.3.2.2.1}である。
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距離行列と連結グラフ
基本用語
歩道：点と辺が代わる代わる連続したもの
歩道の長さ：辺の出現回数
小道：同じ辺が二度以上現れない歩道
道：同じ点が二度以上現れない歩道
点uで始まり、vで終わる歩道をuv歩道と呼ぶ
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距離行列と連結グラフ
基本用語つづき
uv歩道において、u=vである
ような歩道を"閉じている“
という。
閉小道：閉じた小道
回路：自明でない閉小道
閉路：点がすべて異なる回路
無閉路グラフ：閉路を含まないグラフ
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連結グラフ
グラフGにおいて、どの２点u-vの間にも道が存在する
とき、Gは連結しているといわれ、そうでない場合、
非連結といわれる。
グラフとは、部分的グラフが連結してできたものである
距離：u,v間の道の長さの最小値
→その道のことを測地線という
距離行列：各点間の距離を測定し、それを行列にまとめたもの
直径：行列の成分の最大値
距離行列は様々なモデルにおいて利用される。
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密度
完備グラフ：グラフの各点からすべての他の点に辺が
存在するグラフ
規模 n のグラフ
m ( G ：グラフ
)
m ( K n ：点が
)
G の密度 d ( G )  m ( G ) / m ( K n )
G の辺の数　n からなる完備グラフ
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部分グラフ
部分グラフ：一つのグラフの中に小さな部分として含ま
れるグラフ
→ V ( H )  V ( G )でかつ E ( H )  E ( G )であるとき、
グラフ
H は G の部分グラフである。
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部分グラフ
v  V ( G )かつ | V ( G ) | 2であるときに点集合
もつ部分グラフを
また、
G  v と書く
e  E ( G )とするとき、辺集合
もつ部分グラフを
V ( G )  { v }を
E ( G )  { e}を
G  e と書く
点や辺の添付も同様に
、 G  f と書く
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誘導部分グラフ
UをV(G)の空でない点の部分集合とする
”Uによって誘導される”Gの部分グラフ<U>：点集合U
をもち、かつUの二点に接続しているGの辺のすべ
てからなる辺集合をもつグラフ
点誘導部分グラフ
（単純に誘導部分グラ
U に対して
フともいう）：
H  U  であるときの
H  H G
辺誘導部分グラフ：点誘導部分グラフと同様。
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２．ダイグラフ
～方向をもつグラフ～
→グループ・ダイナミクスの小集団研究的な発想
有向グラフ（ダイグラフ）D：グラフと同じ。
→点の対を”辺”ではなく、Dの”弧”とよぶ。方向が考
慮されている。
出ていく弧の数・・・出次数
入ってくる弧の数・・・入次数
→隣接行列において、出次数は各行の和、入次数は
列の和で求められる。
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長さrの通路：r+1個の点が、互いに方向のある弧でつながって
いる系列
長さrの半通路：r+1個の点が、方向を無視してつながっている
系列
r-到達可能：点iから点jへ長さr以下の通路が存在する状態
ダイグラフにおける距離行列の成分は、最短の通路の長さを表
している。
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連結度
連結度k(D)（点-連結度）：それを除去することで
ダイグラフの連結性が失われてしまうような
最小の点の数。通常のグラフでも同定義。
辺-連結度k’(D)：その辺を除去することで
ダイグラフの連結性が失われてしまうような
最小の辺の数。
それを除くと連結が切れてしまう点・・・切断点
それを除くと連結が切れてしまう辺・・・橋辺
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ダイグラフ結合の類型
到達可能の観点から、異なる種類の結合を定義できる。
弱r-結合：点iと点jの間に長さr以下の半通路が存在する。
（単純に"弱結合”と呼ぶ場合もある）
片方r-結合：点iと点jの間に長さr以下の通路が存在する。
強r-結合：点iと点jおよび点jと点iの間に長さr以下の通路
が存在する。
弱r-結合：点iと点jおよび点jと点i間に長さr以下の通路が
存在し、それらが同じ点を使う逆の順番の通路が存在
する。
結合の強さ・・・弱＜片方＜強＜再帰
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推移性
点AからB、BからCに結合関係がある
→AからCにも関係があるという関係を”推移的である”
という。
→関係が推移的であると集団の結合はより強固になる
推移度
Tran ( D ) 


( A  A)
2
( A  diagA
2
2
)
2
2
AはダイグラフDの隣接行列diagA は A の対角を０に
置き換えてできた行列
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推移的包括
推移的包括Dt・・・間接的な結合関係を直接的な結合
関係に変換する。すなわち、ダイグラフDにおいて
uとvの間に長さ２の通路があるとき、そのたびに
Dに存在しない弧を、できなくなるまで追加していっ
たときに得られる最小の推移的なダイグラフのこと。
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連結成分
ダイグラフ全体が弱、片方、強、再帰的の結合で特徴
づけられるとき、そのダイグラフは、それぞれ弱、
片方、強、再帰的に連結したダイグラフとよばれる。
またダイグラフの部分が
それ以上の規模が大きくなら
ない結合で特徴づけられるとき、
それをその結合の連結成分
とよぶ。
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３．社会ネットワークの行列表現とその演算
社会構造を一意的に記述する隣接行列
グラフで表現すると、形が異なって見えるが実際は
構造が同じということがあるが、隣接行列表現では
そうはならない。
《図２つと行列》
cf.二部グラフ
グラフの隣接行列
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行列演算
～和、差、積、プール演算～
行列 C の ( i , j ) 成分を ( C ) ij  c ij で表すと、
( A  B ) ij  a ij  b ij
( A  B ) ij  a ij  b ij
( A  B ) ij  a ij b ij
A が m  n 、 B が n  r のとき、
AB  C つまり、
n
c ij  a i1b1 j  a i 2 b 2 j    a in b nj 
a
ik
b kj
k 1
転置：行列の行と列を逆にしたもの 行列Aに対しA'と表記
AA  A は、
2
(2)
a ij
 a i1b1 j  a i 2 b 2 j    a in b nj
A  A A
3
2
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行列演算 ～和、差、積、プール演算～
プール演算：整数０，１上に定義される２進法の
演算。x,yを非負の整数とすると、和を(x+y)#と
表記し、その和は０か１である。
2#=（1+1）=1,3#=1となる。
さらに(2+3)#=1である。
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到達可能性行列
隣接行列とプール演算を利用すると、到達可能性に
ついての計算ができるようになる。
到達可能性行列：点
rij  1、そうでないとき
i が点 j に到達可能であるとき
0であるような行列　た
、
だし rii  1
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ここで、
定理：隣接行列
A をもった
i , j 成分は点 i から j への長さ
(ダイ )グラフにおいて、
n
A の
n の歩道の数を表す。
→プール演算を利用すると、隣接行列を累乗すれば
到達可能性行列が得られるかもしれない
さらに定理：隣接行列
n
(n)
A # の i , j 成分 a ij # はダイグラフ
点 i から j への長さ
n の歩道が少なくとも１
そのときにかぎって１
である。
Dの
本あるときには、
→nステップまで到達可能かどうかを表す到達可能性
行列を与える。→限定到達可能性行列
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距離行列
定理 各正の整数nに対して、
R n  ( I  A  A    A )#  ( I  A )#
2
また、
n
R  (I  A  A    A
2
n
p 1
)#  ( I  A )
n
p 1
#
→これにより（ダイ）グラフにおける最短の通路の長さ
を与える、距離行列が求まる。
距離グラフの求め方
(1) すべての対角、
( 2 ) rij  0なら、
d ii  0
d ii  
n
( 3 ) d iiは、 A # において、
なっているような最小
a ij #  1と
n
ステップ数
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４．特殊な諸グラフ
重み付きグラフ
弧にあらゆる種類の値が与えられるダイグラフを、
重み付きグラフとよぶ。
→ネットワークとは、x ij  v ij , v  R (実数 ) であるようなダイグラフ
ここで２つの終点ネットワークNはDからなり、それは
２つの相異なる点s,tと、Dの弧上に負でない実数関数
cを伴う。
s・・・ネットワークの入口 t・・・ネットワークの出口
他の点・・・内部点
また、弧e∈N各々に対して、値c(e)で表されるeの容量が
与えられる。
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流れ（フロー）
流れ（フロー）f：Nの弧に負でない実数を与えたもの
このときの条件
(1)各弧の値はその容量を超えてはならない
(2)s,t以外の各点に対して、入ってくる流れと
出てくる流れは等しくなければならない
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最大フロー
s-tの切断集合：入口sと出口tを分離する弧の集合
※何パターンもある
集合の容量：各要素である弧の容量を総和したもの。
もっとも容量が少ないものを"最小切断容量"という。
→sからtまでを流れうる最大値・・・"最大ネットワーク・
フロー"
点対に関して最大ネット
ワークフローを求めたもの
・・・最大フロー行列
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最高到達可能性
ここで A  [ a ij ], B  [ bij ] で表される２つの重み付きグラフ
で表される社会ネットワークにおいて、
A  B  [ a ij  bij ], A  B  [ a ij  bij ]
とする。ここで、( ) はAとBの要素のうち大きい方を、( )
はAとBの要素のうち小さい方を選ぶということを表す
ここでAとBの行列演算A＊Bを
n
A ＊ B  [  ( a ik  b kj )]  ( a i1  b1 j )  ( a i 2  b 2 j )    ( a in  b nj )
k 1
と定義する。
→まず要素ごとに最小値を選び、それからその中の最
大値を選ぶという演算。
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最高到達可能性
この演算を使うと、重み付きグラフの道に関する値を
与えるという操作を定義できる。
定理 Wを重み付きグラフ、Aをその隣接行列とする。
そのとき A ＊ A  A  A p＊ はWの各点対の間のpス
テップの歩道の最高レベルを与える。
→各ステップでの道の重みが求められる
定理 行列 T   np 1 P p＊ はすべての点対の間の最高
到達可能レベルを与える
n
→ A ＊ を"ドレイアン・ベキ"とよぶ
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バイグラフ
バイグラフ：実数値に限られない様々な”値”を扱える
ように拡張されたもの
定義 有値ダイグラフVは、p個の点をもち、各弧に値
が与えられているダイグラフであり、それは値域Q
の要素である。弧のとき値は実数値でなくてもよい。
Vに対する有値行列Mの成分、m ij は点iから点jまで
の弧の値である。→重み付きグラフの一般化
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一般的諸条件と諸条件を満たす演算
二項演算の一般和
、一般積演算 、一般和の単位元 、
一般積の単位元 が定義され、以下の条件が満たされたと
き、特殊な演算について各種のr-到達度が求められる。
条件１：Qが
に関して閉じていること
条件２：
が結合的で交換的であること
条件３：Qのすべてのa,b,cに関して、
に対して右分配的で、
条件４：Qは、そのすべての要素aに対して、
を有し、
条件５：Qは、そのすべての要素aに対して、
を有し、
条件６：Vのすべての隣接しないような点iと点jに対して、
条件７：Mのすべての対角成分は、 に設定される。つまり1≦i≦pに対して、
条件８：Qのすべてのa,bに対して、
{min,max,∞,-∞}、{∪，∩，φ，R}という演算体系もある
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ハイパーグラフ
ハイパーグラフ・・・点と線の異なるモードに関する数学グラフ。
点の線への接続関係によってグラフが定義される。
定義：点の集合をX  { x1 , x 2 ,  , x n } とする場合、ハイパーグラ
フはXの上に定義される辺の集合H  { E1 , E 2 ,  , E n } である
。ここで、
で表される。
E i   ( i  1, 2 ,  , n )で、

E i  X ,  { X , E }
i  1 , 2 , , n
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ハイパーグラフ
→点が辺に属している様を表現したもので、点が多重
的に辺に接続している関係を表現している。
接合行列：どの点がどの辺を構成するかという接続関
係を行列式で表現したもの。各成分は接続があれ
ば１、なければ０である。
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まとめ
社会ネットワーク分析に必要な数学とは
１．グラフ
２．ダイグラフ
３．行列
４．重み付きグラフ（バイグラフ）
５．ハイパーグラフ
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