Transcript 2001年度情報数学

Ver.2
２００６年度 情報数学
金曜日
スケジュール
は後述
2006年 4月～7月（合計12回予定）
講義資料： 上田 和紀 原著
後藤 滋樹 補筆
☆ 金曜日の担当は後藤滋樹と上田和紀教授です
1
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班別の授業の注意
１班（奇数）と２班（偶数）
 学籍番号による（定期試験の会場も班別）
 月曜日 １限（１班）と２限（２班）
１班： 小林聡先生 全期間
２班： 小林聡先生 全期間
 金曜日 ２限（２班）と３限（１班）
4/14, 4/21, 5/12, 5/19, 5/26, 7/7: 後藤滋樹
4/28, 6/2, 6/9, 6/23, 6/30, 7/14: 上田和紀先生
（※）7月14日（金）補講日に授業予定
 5/5 祝日、6/16 理工スポーツ大会

再履修の諸君の班別は柔軟に対処します。
3
後藤担当分は教科書の指定なし（※）

講義資料のＵＲＬはシラバスの「情報数学」の
「履修上の注意」に掲載されています。

後藤研のＷＥＢページ（日本語）の「後藤先生担
当の講義」から辿ることもできます。
http://www.goto.info.waseda.ac.jp/
~goto/infomath.html
ここに ~ が必要
※） シラバスの記述では
教科書を指定するように
書いてありました。訂正。
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情報数学の概観
 書店の店頭で「情報数学」という題名の本を手
に取ってみると、その内容が著者により異なる。
 本科目は、ＣＳ学科の諸君が近い将来に必要と
する数学的概念の中で重要なものを取扱う。
 数学A,
Bおよび各専門科目で取扱う題材とは、
できるだけ重複しないように題材を選択するが、
基本概念は随所に登場するものと心得よ。
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後藤が担当する授業の題材
集合 (set)
 万物は集合である
 写像 (map) または関数 (function)
 集合と集合との対応
 関係 (relation) と順序 (order)
 友達という関係は推移的 (transitive) であるか
 帰納法 (induction)
 数学的帰納法
 代数 (algebra) の初歩
 群、環、体

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集合とは相異なるものの集まり

集合の例

{ a , b, c }
 2 次元平面上のすべての点の集合
 ＣＳ学科の２年生の集合
 自然数の集合

判断基準が明確であること
Ｆｕｚｚｙな概念の
例。本科目では
ファジー集合を
扱わない
 新宿区に住民登録をしている金持ちの集合

実は上の素朴な定義から矛盾が生じる
 ラッセル (Russel) のパラドックス （後ほど説明）
「ものの性質（基準）」 と
「その性質を満たすもの
全体の集合」
集合の表現

{月, 月, 火 , 水 , 木 , 金 , 金 }
要素が満たすべき性質を規定（内包的）
{ n | n 月には 31 日がない

集合には同じ
要素を複数書
いても無意味
（⇔ 多重集合）
要素を列挙する（外延的）
{ 2 , 4 , 6 , 9 , 11},

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, 1  n  12 }
空(くう)集合
{ } または
0
( と書く本もある
)
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無限の要素を持つ集合
“...” を使うのは厳密ではないが，誤解の恐れが
無い場合には使う
問題なし { 2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
大体分る { 2 , 4 , 8 , 16 , . . .}
分らない { 2 , 3, 5 , 7 , . . .}
 下記の記号は多くの文献で定義せずに使う
自然数の集合 N
... 普通は0 から始める

整数の集合
Z
有理数の集合 Q
実数の集合 R
x X

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x が集合 X の要素 ( 元 )である
いろいろな概念が  を使った論理式で定義できる．

A  B  ( x  A ならば

A B
x  B)
とも書く、部分集合 (subset)
Ａ
Ｂ
Ｖｅｎｎ図
A  B  ( A  B かつ B  A )
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和集合、共通部分、差集合

和集合 x  A  B  ( x  A または　x  B )
（結び、合併）
共通部分 x  A  B  ( x  A かつ　x  B )
（交わり）
否定
 差集合
x  A  B  ( x  A かつ x  B )


空集合の性質  x ( x  {})
すべてのｘについて
以下が成り立つ
 x ( x  {})
否定
あるｘについて以下
が成り立つ
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集合の集合

集合 { ham , egg , potato } の部分集合は全部で何通
りあるか？
 { ham }, { egg }, { potato },
{ ham , egg }, { egg , potato }, { ham , potato }
（これで全部だろうか。２つ足りない。）

与えられた集合 S の部分集合の全体は，集合をな
す。これを S のべき集合 (powerset) という。
べき集合を  ( S ) あるいは 2 s と書く。

{ ham , egg , potato }
には { } と
2
{ ham , egg , potato } が含まれる。
12
ラッセルのパラドックス

集合Ｘを次のような「もの」の集まりとする
Ｘの要素（元）は集合である（つまり集合の集合）
Ｘの要素は「自分自身を要素として含まない集合」
である
X  { x | x  x }, x は集合を表す。

この時、 X  X としても X  X
としても矛盾を生じる
［演習問題］
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直積（デカルト積，Cartesian product）

A の要素(元)と B の要素(元)の順序対の集合：A  B


A  B  { a , b | a  A  b  B}

論理記号and
共通部分を積集合と呼ぶことがあるが別物
 例１：Descartes座標の全体
 例２：


  
  
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二つのものを対(ペア)にする

a と b を対にする方法：
 順序をつけない  { a , b }

{ a , b}  {b , a },
 順序をつける

 a, b
（順序対）
順序対の間の同等性＝を次のように定義
a, b  c, d

（非順序対）
{ a , a }  { a } ( 集合として)
 ( a  c )  (b  d )
非順序対で順序対を定義できる

a , b  {{ a }, { a , b }}
論理記号and
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三つ以上の集合の直積

3
2
を
，
を
と書く．以下同様．
A
A
A A
A A A
1
 A は何か?

要素の個数が同じ二つの集合は，要素の対応づけ
の方法を決めることによって同一視できる
 {0 , 1, 2} vs . { red , green , yellow }
 0  red , 1  green , 2  yellow

A  B  C の二つの定義は同一
a , b , c   0 , a , 1, b , 2 , c

1
 集合 A は A と同一視できる集合

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対等 (equipollent) な集合
f
A

g
B
写像 f と g とが存在して
  x  A ( g ( f ( x ))  x )   y  B ( f ( g ( y ))  y )
とできるとき，集合 A と B とは対等であるといい，
A  B と書く．また f や g を一対一対応 (one-toone mapping) という．対等な集合は同一視可能。
 例：数直線上の点の集合と実数の集合 R
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直和集合(disjoint union)

二つの集合の要素を区別して合併したもの

A  B  { 0 , a | a  A}  { 1, b | b  B }
 先に説明した和集合 A  B
 例：名簿の項目：
連絡先
： 0
氏名
e-mail
とは異なる
連絡先
（これは直積）
or 1 携帯電話
 例：メールのアドレス： 0 差出人 or
1 宛先
 0 と 1 は区別するための目印：タグ (tag)

0 と 1 でなくても区別が明確であれば良い
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要素の個数

集合 A が有限集合のとき，その要素の個数を
A と書く（ A  N ）。Nは自然数の集合
 注：後に無限集合に拡張する

A と B が有限集合のとき
A
 2
A

2

A B  A  B

A B  A  B
A
が成り立つ（ 記法 2 , A  B , A  B の合理性）
この性質を使うと、べき集合の要素の数が分る