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４ 比例と反比例
１章 比例と反比例
§１ 比例
（３時間）
§１ 比例
《物体が移動する時間と距離の関係》
・のぞみ号
物体が移動する
xx
時間
(秒)
物体が移動する
yy
距離
(cm)
y＝40 x
０
１
２
３
０
40
80
０
１
２
３
０
25
50
75
４
５
120 160 200
・トーマス号
物体が移動する
xx
時間
(秒)
物体が移動する
yy
距離
(cm)
y＝25 x
４
５
100 125
§１ 比例
《物体が移動する時間と距離の関係》
物体が移動する ０ １2倍２3倍３
xx
時間
4倍
４ ５
(秒)
物体が移動する ０ 40 80 120 160 200
yy
距離
2倍 3倍
4倍
(cm)
x の値を２倍、３倍、４倍、・・・すると、
y の値も２倍、３倍、４倍、・・・となっている。
このような関係のとき、
『 y は x に(正)比例する』
という。
y の値は、x の値の 40倍になっているので、
y＝40 x
と表される。
《変数と定数・比例定数》
変数 いろいろな値をとる文字
y＝40 x
定数 決まった数
比例の式
y＝a x
比例定数
y
―＝ a
x
とも表される
《比例の関係》
次の関係が文章通り比例関係ならば○を、そうで
ないなら×を書きなさい。
( ) ノートを買ったときの代金は、買った冊数に比
例する。
( ) テストの点数は、勉強した時間に比例する。
( ) 100g、200円の肉を買ったときの代金は、買っ
た重さに比例する。
( ) １日の睡眠時間は、起きていた時間に比例する。
( ) 人間の体重は、身長に比例する。
( ) 体に含まれる血液の量は、体重に比例する。
( ) 人間の髪の毛は１日に 0.07mmずつ伸びる。伸
びる毛の長さは日数に比例する。
( ) ジュースを飲んだとき、体に入ってくる糖分の
量は、飲んだジュースの量に比例する。
( ) 毎月の小遣いの金額は、年齢に比例する。
( ) 時計の針の回る角度は、時間に比例する。
( ) シャープペンシルの芯が出てくる長さは、ノッ
クした回数に比例する。
( ) 携帯電話にかかる料金は、通話時間に比例する。
( ) ＪＲの運賃は、行き先までの距離に比例する。
( ) 線香の燃えてる時間は、燃えた線香の長さに比
例する。
( ) みそ汁を同じ味にするとき、みその量は、作る
みそ汁の量に比例する。
( ) 正方形の面積は、１辺の長さに比例する。
( ) 円周の長さは、半径の長さに比例する。
( ) 変速機つきの自転車で、ペダルを同じように回
転させたとき、後輪の回転数はチェーンのかかっ
ている後輪の歯車の歯の数に比例する。
《比例の関係》
次の関係が文章通り比例関係ならば○を、そうで
ないなら×を書きなさい。
(○) ノートを買ったときの代金は、買った冊数に比
例する。
(×) テストの点数は、勉強した時間に比例する。
(○) 100g、200円の肉を買ったときの代金は、買っ
た重さに比例する。
(×) １日の睡眠時間は、起きていた時間に比例する。
(×) 人間の体重は、身長に比例する。
(○) 体に含まれる血液の量は、体重に比例する。
(○) 人間の髪の毛は１日に 0.07mmずつ伸びる。伸
びる毛の長さは日数に比例する。
(○) ジュースを飲んだとき、体に入ってくる糖分の
量は、飲んだジュースの量に比例する。
(×) 毎月の小遣いの金額は、年齢に比例する。
(○) 時計の針の回る角度は、時間に比例する。
(○) シャープペンシルの芯が出てくる長さは、ノッ
クした回数に比例する。
(×) 携帯電話にかかる料金は、通話時間に比例する。
(×) ＪＲの運賃は、行き先までの距離に比例する。
(○) 線香の燃えてる時間は、燃えた線香の長さに比
例する。
(○) みそ汁を同じ味にするとき、みその量は、作る
みそ汁の量に比例する。
(×) 正方形の面積は、１辺の長さに比例する。
(○) 円周の長さは、半径の長さに比例する。
(×) 変速機つきの自転車で、ペダルを同じように回
転させたとき、後輪の回転数はチェーンのかかっ
ている後輪の歯車の歯の数に比例する。
《50km/時で走る車》
現在
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
現在
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
１時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
２時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
３時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
４時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
１時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
２時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
３時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
４時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で走る車》
４
時
間
前
３
時
間
前
２
時
間
前
１
時
間
前
現
在
１
時
間
後
２
時
間
後
３
時
間
後
４
時
間
後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
時間 x (時)
-4 -3 -2 -1 ０ １ ２ ３ ４
距離 y (km)
-200 -150 -100
・・・
・・・
-50 0
50
・・・
100 150 200・・・
y＝50 x
x の値が１増すとき、yの増加量は比例定数になる。
《50km/時で反対向きに走る車》
現在
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
１時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
２時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
３時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
４時間後
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
１時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
２時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
３時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
４時間前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
《50km/時で反対向きに走る車》
４
時
間
後
３
時
間
後
２
時
間
後
１
時
間
後
現
在
１
時
間
前
２
時
間
前
３
時
間
前
４
時
間
前
-200 -150 -100 -50
０
50
100
150
200
時間 x (時)
-4 -3 -2 -1 ０ １ ２ ３ ４
距離 y (km)
200 150 100
・・・
・・・
・・・
50 0 -50 -100 -150 -200 ・・・
y＝－50 x
変数 x , y や、比例定数 a が、負の数の場合もあ
る。
《P96 解答 ①》
(1 x , y の関係を表す
式
) 比例定数
(2 x , y の関係を表す
) 式
比例定数
《例題１》
《P97 解答 ②》
y が x に比例していて、
x＝8 のとき y＝16
y＝a x に代入して、
16＝ a×8
a＝2
したがって
y＝2 x
《変数のとる値に制限のある場合》
《例２》
x , y の関係を表す式は、
y＝2 x
x がとれる値の範囲は、0以上15以下
x ≧0
まとめて 0≦ x ≦15
x ≦15
y＝2 x
変域
0
(0≦ x ≦15)
15
変数のとる値の範囲
変域を表す記号 ＜, ＞, ≦, ≧
x＜a( x は a 未
x ≧ a ,a ＜ x ＜ b ,a ≦ x ＜ b
《P99 解答 ⑤》
《P99 解答 ⑥》
関係を表す式
x の変域
《例題》
150 l はいる水そうに、毎分 5 l 水を入れる場合
150 l はいる水そうに、毎分 30 l 水を入れる場
合
300000 l はいるプールに、毎分 500 l 水を入れ
る場合
《P99 練習解答 １》
（比
(1
例
（比
(2
)
例
（比
(3
)
例
)
《P99 練習解答 ２》
）
）
）
END