Fluid description of a plasma
Download
Report
Transcript Fluid description of a plasma
2007.04.24-25
Fluid description
of a plasma
1)巨視量の保存則
2)F.P. eq. から 巨視量に関する方程式の導出
1
Fluid description of a plasma (I)
• プラズマを流体の一種として取り扱う表現。
• 流体の変位という場合には個々のプラズマの
変位を表すのではなく、点の集合とは見なす
ものの、多数のプラズマから構成される体積
素片の変位を意味する。
• 流体記述で必要なのは、速度v=v(r,t)と圧力
p(r,t), 密度r(r,t)等であり、これらを与えること
により運動する流体の状態を記述可能である。
2
流体の速度V
• V(x,y,z,t)は時間tにおける点r(x,y,z)にある流体の速
度。すなわち空間の固定点に関するもので流体中の
一定の粒子に関するものではない。この粒子は時間
とともに空間中を移動する。これは圧力や密度に関し
ても同じである。
3
n(r, t) f ( v, r, t)dv
3
r (r, t) mf ( v, r, t)dv nm
3
3
V(r, t) vf ( v, r, t)dv / f ( v, r, t)dv
3
vf (v, r, t)dv
n
3
保存則
1) 空間のある体積V0を考える。
V0
M rdV
2)この空間に存在する流体の総質量Mは
M rdV
3)境界面の面要素dSを通って、
単位時間に流れる質量は?
rV dS
次元は?
rv dSkg / s
一般ルールとして
流入を v・ds<0
流出を v・ds>0
4)境界面の面要素dSを通って、
単位時間に流れる質量は?
rV dS
M
4
保存則 バスタブ理論
1) 体積V0のバスタブ中の質量の減少率は
t
rdV
rV dS
M
注)
Greenの公式を用いて右辺を
体積積分に変換せよ。
流失率と等値されるべき
t
rdV rV dS
5
t
t
rdV rVdV 0
rdV rV dS 0
r
t dV rV dV 0
r
t rV dV 0
r
rV 0
t
各項の次元は?
6
修正バスタブ理論
1) 水量を一定に保つため、あらたに外部から単位時間にSext[kg/m3s]の割合で水を注入
Sext
t
rdV
rV dS
M
r
rV Se xt
t
7
リサイクル型修正バスタブ理論 II
1) 流出水量率のうちリサイクル率Rでバスタブに戻ってくる。これに外部から単位時間
にSext[kg/m3s]の割合で水を注入
Sext
t
rdV
1-R
r
(1 R) rv Se xt
t
(1 R)rv Se xt
R
rv dS
M
注) 損失束に対応したバスタブ閉じ込め
時間twater を導入すると?
8
バスタブ内水量閉じ込め時間
Sext
t
rdV
1-R
R
rv dS
M
1) 閉じ込め時間はバスタブ全体積で考えよ!
M
(1 R) rv dS Se xtdV
t
M
(1 R)
Qe xt
t bath tu b
2) 定常状態の後外部供給を停止するとどうなるか?
3)真のバスタブ閉じ込め時間を測定するには
どうするか?
9
連続の式
微分形
n
0,
t
nV
積分形
N
dS 0,
t
N ndV
10
非圧縮性流体の連続の式
n
nV 0
t
n
n V V n 0
t
もし、考えている流体が圧縮(膨張)されない、すなわち密度が一定の場合には
密度の時間変化、空間変化がない
n
nV 0
t
V 0
11
衝突は粒子数の変化をもたらすか?
n(r, t) f ( v, r, t)dv
3
衝突による粒子数の変化率の期待値
f
3
f
(
v
,
r
,
t
)
dv
t coll
?
F.P. equationのモーメントをとることで、流体方程式(連続の式)の導出が可能
f
f
v f
t
t coll
12
F.P. の0次モーメントから連続の式へ
f
f
v f
t
t coll
f
f
t dv v fdv t colldv
f (r, v, t )
t dv vf (r, v, t)dv 0
n(r, t )
n(r, t )V(r, t ) 0 注)vとVは本質的に全く異なる
t
13
運動量保存則
1) 流体中のある体積V0を考える。
V0
2)この流体に働く力の総和は
F pdS
次元は?
3)力の総和を境界面での面積分から
体積積分に変換して
pdS p dV
すなわち、任意の体積要素dVを
取り囲む流体はその体積要素に
-dVgradp という力を及ぼしている
4)この流体の力のバランスの式は?
dV
r
F
dt
14
運動量に関する保存則
dV
r
p
dt
流体の速度Vに関する微分を
1) 空間の固定点での流体の速度の変化
2) dt時間内のdr離れた同時刻での速度の違いによる速度変化
V
dV dt dr V
t
dV V dr
V
dt t dt
V
V V
t
15
流体の運動方程式
V
r
rV V p
t
重量場、電磁場中に置かれたプラズマ流体の運動方程式は
V
r
rV V p qn(E V B) rg
t
16
F.P. 方程式の1次のモーメント
1次運動量モーメント
f
f
v f
t
t coll
mV(r, t) mvf ( v, r, t )dv / f ( v, r, t )dv pf ( v, r, t )dv / n
r (r, t)V(r, t) pf ( v, r, t)dv
右辺の衝突項は全系の衝突による運動量保存則より
f
3
p
dv
t coll 0
f
t
v
f
f
t co l l
第2項のモーメントを計算する、次のテンソルを導入する
mv v f ( v, r, t)dv
3
17
運動量保存則
F.P. 方程式
f
f
v f
t
t coll
1次運動量のモーメントから流体方程式 (運動量の式)
rV 0
t
x
ここで、圧力テンソルは運動量の流れの密度テンソルである。
たとえば、プラズマが毎秒 X軸に垂直な単位面積を通過して運ばれる
運動量の成分である。
18
エネルギー保存則
• F.P.式とエネルギーのモーメントから流体のエネル
ギー保存則を導くことができる。
f
f
v f
t
t coll
n q 0
t
ここで、はエネルギー、qはエネルギーの流れの密度(エネルギー流速)
q vf ( v, r, t)dv
19
プラズマエネルギー閉じ込め
3
nT q Pe xt PDT
t 2
次元は?
積分形は?
W
q dS Qe xt QDT
t
プラズマの全エネルギー
全加熱パワー
3
W n(r, t)T(r, t)dV
2
Q Pe xt PDT dV
次元は?
次元は?
20
エネルギー閉じ込め時間 tE
• エネルギー損失率を積分形で次のように表す。
W
W
Qe xt
t
tE
W
tE
W
Qe xt
t
定常状態から外部パワーをoffするとプラズマエネルギーはどう変化するか?
21
熱、粒子の流れの密度
q nT nVT
Dn nV
第1項を熱あるいは粒子拡散、第2項を対流移動 という
係数は熱伝導係数、粒子拡散係数
輸送係数の次元は?
22