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回転している時の速度 変更あり
点Ｐが点Ａのまわりに円運動をしているとする。
このときの角速度ベクトルをωとする。
回転軸上の点Ｏから点Ｐへの動径ベクトルをrとする。
点Ｐの速度は、
v  ω r
A

で書ける。

P
r
O
問１．上の式の両辺の単位を調べよ。
問２．上の式を証明せよ。
1
角運動量の運動方程式
力のモーメントと角運動量の間に
以下が成立する。
dL
N
dt
問題
変更あり
F
L  r  mv
N  r F
(1)
力のモーメントによって、
回転の勢いが変化する。
m
r
O
L  r  mv
の両辺を時間で微分することにより、
(1)式を証明せよ。途中で運動方程式 ma  F を用いる。
ただし
d
dA
dB
A  B   B  A 
dt
dt
dt
を使うこと。
高校の物理では、(1)は独立に覚える人も多いが、
実際はニュートンの運動方程式から導かれる。
2
角運動量保存則
もし質点にかかっている
力のモーメントが0なら、
dL
0
dt
角運動量
L
dL
N
dt
N  r F
L  r  mv F
m
r
O
は一定になる。
クイズ： スケーターが回転している間に、
広げていた腕をひきつけると、回転速度はどう変わるか？
剛体を考える前に、
多重積分を説明する。
4
多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
5
多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
6
復習
偏微分：２変数以上の関数である１つの変数について微分する。
p( x, y)
 q( x, y)
x

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
「偏微分」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
y
x
7
次に多変数の積分を定義します。
8
２変数の積分
F ( x, y)   dy dx f ( x, y)
２段階で定義。
g( x, y)   dx f ( x, y)
F ( x, y)   dyg( x, y)
g( x, y)
 f ( x, y)
x
F ( x, y)
 g( x, y)
y
順番に積分すればよい。
大部分の場合は積分順序によらないので、
積分しやすい方を先にすればよい。
z=f(x,y)
図形的には、曲面z=f(x,y)の下の体積
次のページに詳しい説明。
y
x
9
積分の幾何学的意味
y=f(x)
y
１変数の積分：曲線の下の面積
 f ( x)dx
x
0
図のような微小な幅の帯を考えると、
幅がdx, 高さがf(x)。
これの和が積分なので、面積に対応する。
f(x)
dx
２変数の積分：曲面の下の体積
 dx dy f (x, y)
f(x,y)
dx
次のページに例。
dy
10
重積分の例
b
d
a
c
I   dx dy f ( x, y)
f ( x, y)  x sin y
3
の場合


I   dx dyx sin y   x dx 2 dy sin y
1
0
2
0
3
1
3
0

 x4 
1
1
2
   cos y0  1 
4
4
4
0
２変数の積分：曲面の下の体積
f(x,y)=xyのグラフ
y
f(x,y)
dx dy
問題
z=xy, xy平面、x=a, y=bで
x
囲まれる立体の体積を求めよ。(a>0, b>0)
特に、a=10, b=10の時、体積はどうなるか？
辺の長さが10,10,100の直方体の何パーセントの体積か？ 12
解答
 dx f (x, y)dy

10
0
のf(x,y)に、xyを代入する。
dx xydy   xdx
10
10
10
0
0
0
2 10
x 
ydy   
 2 0
2 10
y 
2
 0
を計算すればよい。
13
ここから物理にもどる。
剛体とは。
慣性モーメント
14
剛体とは
教科書
p.65
大きさを持った物体。
しかし、変形、膨張圧縮はしない。
形や体積は一定。
（形や体積が変わる場合は、
弾性体力学や流体力学で考える。）
質点の集まりと考えればよい。
15
剛体の場合の角運動量
質点の角運動量は、
L  r  mv
質点系の場合、質点miの位置、速度をri, viとして、
L  ri  mi vi
i
質量が連続的に分布している場合は積分で置き換える。
 ( x, y, z)
L   (r  v) ( x, y, z)dxdydz
密度：単位体積中の
質量。
r
dz dy
dx
o
16
v
 ( x, y, z) の意味
場所(x,y,z)によって値が違う。
１変数だとf(x)など。
例：人間は場所によって密度が違う。
頭は密度が高い。
手は密度が低い。
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角運動量に戻ると、
角速度ωで回転している、物体の角運動量は、 (質点の場合)
L  r  mv
密度をρとして、
L   (r  (ω  r))dxdydz
v  ωr
(以前やった)
問題 r=(x,y,z), ω=(ωx,ωy,ωz)を使って、
角運動量は以下のように書けることを示せ。
L  Îω
 I xx I xy I xz 


ˆ
但し、
I   I yx I yy I yz 
 I zx I zy I zz 
2
2
I xx  ( y  z )dxdydz

I xy   xydxdydz
＾：ハットと読む。
18
解答
L   (r  (ω  r))dxdydz
に成分を代入する。
ω r  ｙ z  z y,z x  x z,x y  y x
 yx y  y x z(z x  x z) 


r  ω  r    z(ｙ z  z y)  x(x y  y x) 


 x(z x  x z)  y(ｙ z  z y) 
 ( y 2  z 2 )　 xy　 zx x 

 
   xy　( z 2  x2 )　 yz y 

 
2
2 

  zx　 yz　( x  y ) z 
各成分に
dxdydz
をかけて積分する。
19
教科書p.71
角運動量の続き
 I xx I xy I xz 


Iˆ   I yx I yy I yz 
 I zx I zy I zz 
前問より、
L  Iˆω
I xx   ( y  z )dxdydz
2
2
I xy   xydxdydz
対角成分を慣性モーメントと呼ぶ。（非対角成分は、慣性乗積）。
慣性モーメント
慣性モーメントを書き換えると、
I   r dm
2
rは軸までの距離。
例えばIxなら、x軸までの距離は、
r2=y2+z2
dmは質量の微小部分
21
慣性モーメントが大きいと、
・回し始めは回りにくい。
・いったんある速度で回ると、止まりにくい。
微小部分とは
数学的には、
x
dx
(デルタｘ) xの差（有限）
difference of x
x  x2  x1
(ディーx)
微小の（無限に小さい）x
differential of x
図に描くときは、dxは有限の大きさで書く。
（無限に小さいと見えないため。）
dx
x   dx
x
微小部分をたくさん加えると、
全体の長さになる。
いろいろな微小部分
dx
長さの微小部分
x   dx
微小部分dxの和は、全体の長さ
曲線の場合も同様
ds
s   ds
微小長さの和は、曲線全体の長さ
面積の微小部分
S   dS
surface
曲面の面積は、
微小面積dSの和。
体積の微小部分
V   dV
微小体積をたくさん加えると
全体の体積になる。
volume
質量の微小部分
微小質量をたくさん加えると、
全体の質量になる。
m   dm
１次元
dx
dm  dx 
線密度（単位長さ当たりの質量）
２次元表面なら、
dm  dxdy

面積密度（単位面積当たりの質量）
３次元の立体なら、
dm  dxdydz

密度（単位体積当たりの質量）
剛体の運動
重心の運動以外に、「回転」を考える必要がある。
力のモーメント
dL
dt
N
N  r F
角運動量Lは、剛体の場合は、
前回の計算より、
行列
Iˆ
L  Iˆω
ω 回転ベクトル
F
m
r
の対角成分が慣性モーメント。
慣性モーメント
I   r dm
2
dmは質量の微小部分
rはdmから軸までの距離。
軸が大事。
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同じ剛体でも、軸が違えば、慣性モーメントが違う。
慣性モーメントを求めてみよう。
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慣性モーメント
I   r2dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
ある軸の周りの回転しにくさを表す量
問題 質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、
図の軸(中心を通る）の周りの慣性モーメントを求めよ。
2ℓ
教科書p.71
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