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角速度ベクトル

回転を表すベクトル
オメガ
大きさは、角速度。
単位時間に回った角度。
単位は、ラジアン/秒
rad/s

方向は、回転面に垂直
向きは右ねじが進む方向
回転ベクトルの向きに注意。
日常会話の「回転の方向」と
ベクトルの向きは違う。
問題：地球の自転の角速度ベクトルの
方向を図示せよ。理由も述べよ。
1
角速度ベクトルは何を表すか？
(1)単位時間に回る角度
角速度ベクトルの大きさ（長さ）から
(2) 回転面
角速度ベクトルに垂直
(3) どちら向けの回転か。
問題 角速度ベクトルが(3,3,0) rad/sのときに、
a) 角速度の大きさを求めよ。
b) 回転面と回転の方向を図示せよ。

回転している時の速度 変更あり
点Ｐが点Ａのまわりに円運動をしているとする。
このときの角速度ベクトルをωとする。
回転軸上の点Ｏから点Ｐへの動径ベクトルをrとする。
点Ｐの速度は、
v  ω r
A

で書ける。

P
r
O
問１．上の式の両辺の単位を調べよ。
問２．上の式を証明せよ。
3
問１の解答：単位
v  ωr
左辺は速度なので、単位は
m/s
(メートル毎秒)
ωの単位は、rad/s （ラジアン毎秒）
ラジアンは無次元量。
rの単位は、m (メートル）。
したがって右辺の単位は、m/s で左辺と同じ。
4
v  ωr
問２の解答：
A

点Pを通り、ベクトルωに垂直な面に
回転面がある。回転の中心をAとする。
P
θ
O
r
の証明
v  AP  r sin 
速度ベクトルvの向きは、
円の接線の方向で、
紙面の表から裏。
これは
の向きと一致する。
ωr
5
補足：
v  APの証明
  r '


弧の長さ
r' 
角度
両辺を微分すると、r’が一定なら、
d d
 r'
dt
dt
v  r '
P
A
6
円運動の速度は接線方向（半径に垂直）になること。
補足
動径ベクトルをx, y座標で書くと、
r  exa cos  ey a sin 
a r
v
時間で微分する。半径aや単位ベクトルは
一定（時間が進んでも同じ）。θが変化する。
dr
d
v    ex a sin   e y a cos 
dt
dt
 a ex sin   e y cos 
rとvの内積をとると０なので、円運動の速度は動径ベクトルと
直交する。
7
・力のモーメント
・角運動量
・力のモーメントと角運動量の関係
8
力のモーメント
教科書p.50
F
ある質点mが原点Oからrの位置にあり、
m
mに力Fが加わっているとする。
この時の、点Oのまわりの力のモーメントは、
N  r F
r
O
図でNの方向は、スクリーンを（裏から表に）貫く方向
9
力のモーメントの問題
問題１ 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。
力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求め、
図示せよ。
m
F
r
O
問題２ 長さ2aのシーソーがあり、支点Oはシーソーの中央にある。
質点mがシーソーの端にあるとする。
シーソーと水平線のなす角をθとする時、
mにかかる重力によって生じる、支点0のまわりの力のモーメントを求めよ。
O
m
10
力のモーメントの問題１の解答
問題１ 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。
力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求めよ。
N  r F
N  r  F  rF sin 
力のモーメントの定義
sin 
sin 
の最大値は1で、θ=π/2, 3π/2nの時。
の最小値は0で、θ=0, πの時
m
r
O
11
力のモーメントの問題２の解答
O
N  r F
やり方その１
m
r
の求め方
成分で書くと、

O
y
F  mgez
z
r  (r cos,0, r sin )
x
F  (0,0,mg)
r  F  (0, mgr cos,0)
ｙのプラス方向。紙面表から裏への方向。
12
力のモーメントの問題２の解答
N  r F
の求め方
やり方その２
r

O
青いベクトルと赤いベクトルの
y
なす角は、π/2 + θ
F  mgez
z
x


13
力のモーメントの問題２の解答
青いベクトルと赤いベクトルの
なす角は、π/2 + θ
 
sin     cos
2 
r

O
y
F  mgez
z
x
 
N  r  F  mgasin     mgacos
2 
r
紙面に垂直で、紙面の表から裏。
F
14
三角関数の公式
sin    sin 
 
sin     cos
2 
1
y  sin 
y
0

4

2
π
cos   cos
 
cos     sin 
2 
y  cos
2π

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モーメントとは。
r A の形
動径ベクトル（位置を表す）
r
A ベクトル。特別な場合は、スカラー（１次元ベクトル）。
N  r  F 力のモーメント
L  r  p 角運動量もモーメントの１つ。
p  mv
その他のモーメント
慣性モーメント
（前期に勉強します。）
双極子モーメント（後期の電磁気で出てきます。）
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角運動量とは。
運動量
角運動量
p  mv
L  mr  v  r  p
既にやった。
v
ベクトル積
r
ある基準点Oの周りの
角運動量。
m
O
問題
半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の
角運動量ベクトルを求めよ。
17
円運動の角速度の解答
問題 半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の
角運動量ベクトルを求めよ。
v
a r
動径ベクトルと速度ベクトルのなす角はπ/2。
それぞれのベクトルの長さは、a, v。
よって角運動量の大きさは、mav。
方向は紙面を貫く方向に、紙面の裏から表へ。
18
角運動量の運動方程式
d
dA
dB
A  B   B  A 
dt
dt
dt
を使う
F
力のモーメント(ある点Oの周り）
N  r F
m
r
力のモーメントと角運動量の間には、
以下が成立する。
dL
N
dt
問題
運動方程式
O
(1)
力のモーメントによって、
回転の勢いが変化する。
L  r  mv
ma=Fより、(1)を導け。
高校の物理では、(1)は独立に覚える人も多いが、
実際はニュートンの運動方程式から導かれる。
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dL
N
dt
解答
L  r  mv (1) N  r  F
(2)
(1)の両辺を時間で微分する。 ベクトル積の微分の公式（復習）
dL dr
dv
  mv  r  m
dt dt
dt
dv
 mv  v  mr 
(3)
dt
d
dA
dB
A  B   B  A 
dt
dt
dt
A に対して、
2
A  A  A sin 0  0
任意のベクトル
r ma  r  F  N
(3)の第２項は運動方程式と(2)より、
よって、
dL
N
dt
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角運動量と力のモーメントの違い
角運動量：回る時の勢い
L  r  mv
N  r F
dL
N
dt
質量が大きいほど、勢いが強い。
速いほど勢いが強い。
基準点からの距離が長いほど勢いがある。
動径ベクトルと速度の角度が直角に近いほど、
勢いがある。
角運動量を変化させるのが、力のモーメント
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角運動量の方程式と運動方程式の比較
dL
N
dt
力のモーメントで
dp
F
dt
p  mv
力が働くと、
速度が変化
回転の勢いが
変化
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まとめ
力のモーメント
N  r F
角運動量
F
ある点0の周り
O
L  mr  v
r
m
v
ある基準点Oの周り
O
r
m
注意点
・力のモーメントも角運動量もベクトル。
大きさだけでなくて方向・向きも指定する必要。
・力のモーメントも角運動量も「ある点の周り」。
基準点が違えば、力のモーメントや角運動量は
違ってくる。
dL
N
dt
力のモーメントをかけると、
角運動量が変化する。
23
剛体を考える前に、
多重積分を説明する。
24
多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
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多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
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復習
偏微分：２変数以上の関数である１つの変数について微分する。
p( x, y)
 q( x, y)
x

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
「偏微分」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
y
x
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次に多変数の積分を定義します。
28
２変数の積分
F ( x, y)   dy dx f ( x, y)
２段階で定義。
g( x, y)   dx f ( x, y)
F ( x, y)   dyg( x, y)
g( x, y)
 f ( x, y)
x
F ( x, y)
 g( x, y)
y
順番に積分すればよい。
大部分の場合は積分順序によらないので、
積分しやすい方を先にすればよい。
z=f(x,y)
図形的には、曲面z=f(x,y)の下の体積
次のページに詳しい説明。
y
x
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積分の幾何学的意味
y=f(x)
y
１変数の積分：曲線の下の面積
 f ( x)dx
x
0
図のような微小な幅の帯を考えると、
幅がdx, 高さがf(x)。
これの和が積分なので、面積に対応する。
f(x)
dx
２変数の積分：曲面の下の体積
 dx dy f (x, y)
f(x,y)
dx
次のページに例。
dy
30
重積分の例
b
d
a
c
I   dx dy f ( x, y)
f ( x, y)  x sin y
3
の場合


I   dx dyx sin y   x dx 2 dy sin y
1
0
2
0
3
1
3
0

 x4 
1
1
2
   cos y0  1 
4
4
4
0
２変数の積分：曲面の下の体積
f(x,y)=xyのグラフ
y
f(x,y)
dx dy
問題
z=xy, xy平面、x=a, y=bで
x
囲まれる立体の体積を求めよ。(a>0, b>0)
特に、a=10, b=10の時、体積はどうなるか？
辺の長さが10,10,100の直方体の何パーセントの体積か？ 32