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作図ツールとインターネットで 数学の授業を変えよう 愛知教育大学 数学教育講座 飯島康之 [email protected] 目次 1.はじめに 2.図形を動かしてオープンな発問をしよう 3.アバウトから次第に精密に 4.ある問題で実行できた考え方を別の問題にも適用し てみる。 5.GCの基本機能 6.複素数と作図ツール 7.作図ツールとインターネットの連携 1.はじめに:作図ツール 作図ツール ＝ 作図・測定・変形等ができる GCは 飯島が 1989年から開発・公開しているフ リーソフト。多くの中学校などで使われている ここで使う GC/Win 以外にもいろいろある 私の楽しみ方 数学を変える 授業を変える カリキュラムを開発する それらを多くの人が楽しんでもらえる道具を作る 背景としての「教育の情報化」 2005年までに大きく変わる 詳細は文部省:ミレニアムプロジェクト「教育の情報 化」 普通教室で「コンピュータ+プロジェクタ」 ネットワークの充実 コンテンツの整備 (作図ツールに関するコンテンツ開発も行う) 本講座は数学で何ができるかの一例 アクセスしてください 本講座は,「実際に使っていただくための入り口」 Forum of Geometric Constructor http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/ 本講座のテキスト,データ,ソフト 関連する資料のほとんど 作図ツールコンソーシアム(文部省委嘱事業) http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgs/ 中学校の教科書に準拠したデータ(開発中) 2.図形を動かして オープンな発問をしよう 問題1 図のように，四角形ＡＢＣＤの４つの辺の中点をそれ ぞれＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈとし，それを結んで四角形ＥＦＧＨを 作る。このとき，四角形ＥＦＧＨは平行四辺形になる ことを証明せよ。 図形を動かして調べられるなら,どういう授業展開が 適切なのだろうか。 オープンな発問例 問題２：上の図のように，四角形ＡＢＣＤの４つの辺 の中点をそれぞれＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈとし，それを結んで四 角形ＥＦＧＨを作りたい。いろいろな形の四角形ＡＢ ＣＤをかいてみよう。四角形ＥＦＧＨについてどんな ことが成り立つか。 問題３：この図は，四角形ＡＢＣＤの４つの辺の中点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを結んでいる図である。この図形をいろ いろと変形してみよう。何か気づくことはないか。 外が長方形, 外がひし形, さらに詳しいこと 発問をオープンにするねらい 「証明すべきこと」の提示 → 「自分の予想」の証明 予想は玉石混淆。「証明に値すること」を見分ける オープンにする度合いに応じて授業は変わる 生徒が何に気づいてくれるかに応じて授業は変わる 一つの気づきを突破口にどんな授業を組み立てるか その図が持っている本来のおもしろさを引き出す 3.アバウトから次第に精密に コンピュータ利用の一つの落とし穴 「だからなんなんだ」 例としての「円周角の定理」 図形1と図形2と図形3 「この図だったら何を感じるか」の分析が不可欠 教材研究の例(シムソンの定 理) 1999年,愛教大附属高等学校での公開授業に向けて シムソン線を生徒に発見させるための教材化 問題をいろいろと変えると発見することも変わる 不自然な問題と自然な問題 教材研究の中から自分自身も問題を発見 正しいと思われる命題が見つかった証明できず メーリングリストの中でいろいろな議論ができた 4.ある問題で実行できた考え方を 他の問題にも適用してみる 「4角中点」と同じことをいろいろな問題で行おう 「4つの辺の中点を結んで」を変えると… 問題５：四角形の４つの角の二等分線で四角形を作る。 外が長方形, さらにくわしいこと 問題６：四角形の４つの辺の垂直二等分線で四角形 を作る。 さらにくわしいこと ツール型のソフトを授業で使う ツール型のソフトにはいろいろな機能がある 一つのソフトでいろいろな教材が作れる ある考え方をいろいろな問題に適用できる 「使えるためには準備が必要」という批判 全機能を学習するには時間がかかる しかし,「この授業」に不可欠なものにしぼれば, 「５分程度の準備」で十分にできる 5.GCの基本機能 変形 軌跡 作図(補助線の追加, 最初からの作図) それぞれ5分程度の準備をするとしたら… GCの基本機能（１）：変形 図形を読み込む 画面をクリックすると変形モード 変形する点を選ぶ 変形 標準モードに戻る(Escキーか右クリック) 例(4角中点) GCの基本機能（２）：軌跡 設定がしてあれば,「軌」のon/off (通常は,事前に先生が設定をしておく) 軌跡の設定は「編集」で 例1(外心) 例2(重心と外心) 例3(線分の垂直二等分線) 例4(長方形の周りを転がる円) GCの基本機能（３）：作図(追加) 何を追加するのか(点/線/円/変数) どんな手続きで追加するのか どの対象(点/線/変数)を使うのか 例(三角形の内心) GCの基本機能（３）：作図(最初から) 図形を関数と見よう いくつかの点を独立変数と見る それらをまず作る できているものを元に従属変数としての点/線/円な どを順次追加 例:三角形の外心 6.複素数と作図ツール 作図ツールは初等幾何だけではない 複素数平面の定義域と値域が重なっていると考え る。 問題７：ｗ＝１／ｚにおいて，ｚが直線 y = 1 の上を 動くとき，ｗの軌跡を求めよ。 方程式 ｚ2＋ｚ＋１＝０ の解 問題８：右の図では，ｚ，ｚ2，ｚ3，...，ｚ20 がある。 ｚの位置をいろいろと変えてみよう。 7.作図ツールとインターネット との連携 ブラウザで図形をクリックすると自動的にソフトが起 動して図を動かせる ネットワークを通じていろいろな資料(教材)を使える [ソフトのインストールと設定(アプリケーションの関連 づけ)が必要] 単独のソフトとネット上にデータのあるソフトは違う 教科書準拠のデータ集を「授業」で使う 教材集や研究成果から「教材研究」を行う メール/メーリングリスト等によるコミュニケーション おわりに http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/ GC/Win などを無料でダウンロード可能 様々な教材やより詳しい情報がある。 様々な試みをインターネットを通じて行っている。 これらをサンプルとして, インターネットを通じていろ いろな試みをしてほしい。 ネットワークは「人と人」を直接つなげてくれる それらによって「教育の情報化」は新たな段階に