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期末試験
１．日時： 2月2日(木) ４，５限
２．場所： 1321番教室
３．試験範囲： 講義・演習で扱った全ての範囲
４．注意：
・集合時刻厳守のこと
・途中退出は認めない
・全員受験必須
・資料持込不可
既に60点以上を獲得している者も受験すること。欠席
及び期末試験の得点が2点未満の場合、単位取得の
意思が無いものと見なす。
3-1 重心座標
複数の物体の運動は重心の運動と相対運動に分けられる。
質量mA、位置 rAとmB、rBとの２つの物体の運動を考えよう。
簡単のために2次元平面運動とする。
物体の位置は r A   x , y ,0 r B   x , y ,0
A
A
B
B
重心の位置は rG   x , y ,0  mA r A  mB r B
G
G
mA  mB
 mA xA  mB xB mA y A  mB yB 

,
,0 
mA  mB
 mA  mB

3-1 重心座標
rAとrBを重心を使って表すと、
r A   xA, yA,0
 mA xA  mB xB mB xA  mB xB mA y A  mB yB mB y A  mB yB 


,

,0 
mA  mB
mA  mB
mA  mB
 mA  mB


mB xA  mB xB
mB y A  mB yB 
  xG 
, yG 
,0 
mA  mB
mA  mB


r B   xB , yB ,0

mA xA  mA xB
mA y A  mA yB 
  xG 
, yG 
,0 
mA  mB
mA  mB


3-1 重心座標
従って２つの物体の運動量を重心の速度を用いて表すとそれぞれ、
x
x
y
y


m
v

m
v
m
v

m
v
B A
B B
B A
B B
x
y
P A   mAvG  mA
, mAvG  mA
,0 
mA  mB
mA  mB


x
x
y
y



m
v

m
v

m
v

m
v
A A
A B
A A
A B
x
y
PB   mBvG  mB
, mBvG  mB
,0 
mA  mB
mA  mB


全体の運動量は当然以下のようになる。

P  P A  PB   mA  mB  vGx ,  mA  mB  vGy ,0

3-1 重心座標
それでは２つの物体の運動エネルギーを重心の速度を用いて
表すとどうなるのか？
KA 
1
PA  PA
2mA

1
 mA vGx 2  vGy 2
2

1
1
2
 mAvG  mA
2
2
1
1
2
KB  mBvG  mB
2
2
x
x 2
y
y 2

1  mBv A  mBv B   mBv A  mBv B  
 mA 
  

2  mA  mB   mA  mB  



m2B v2A  v2B  2v A  v B
 mA  mB 

2

m2A v2B  v2A  2v B  v A
 mA  mB 
2

3-1 重心座標
従って全体の運動エネルギーは

1
1 mBmA
2
K  KA  KB   mA  mB  vG 
v2B  v2A  2v B  v A
2
2 mA  mB


1
1 mB mA
2
  mA  mB  vG 
vA  vB  vA  vB
2
2 mA  mB
第１項は重心の運動エネルギー
第2項はAとBの相対運動の運動エネルギー
mB mA
mA  mB
を換算質量という。


3-1 重心座標
物体A,Bの運動のまとめ
mA r A  mB r B  mA xA  mB xB mA y A  mB yB 

,
,0 
１：重心rG   xG , yG ,0 
mA  mB
mA  mB
 mA  mB

２：全運動量：重心の速度に総質量をかけたもの。

P  P A  PB   mA  mB  vGx ,  mA  mB  vGy ,0

３：運動エネルギー：総質量＊重心の速度の２乗＊0.5
+換算質量＊AとBの相対速度の２乗＊0.5


1
1 mBmA
2
K   mA  mB  vG 
vA  vB  vA  vB
2
2 mA  mB

3-1 重心座標
例１ 一体並進運動＆ m  mA  mB
mAvG mB vG
r A  rB
１：重心 rG   xG , yG ,0 
2
２：全運動量： P  P A  PB  2mv x ,2mv y ,0
G
2
K

mv
３：全運動エネルギー：
G
G
3-1 重心座標
例2 原点回りに半径ｒで相対して、角速度ωの回転円運動
rG   xG , yG ,0  0,0,0
１：重心
２：全運動量： P  PA  PB  0,0,0
Ｙ

３：全運動エネルギー：


mA

1m
K
v A  v B  v A  v B  mr22
22
Ｘ
mB
3-1 重心座標
問
１）あなたm1が速度v1で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか？
２）直径１mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか？
3-1 重心座標
例３ 衝突問題に取組もう
固い小さな物体ｍ１、ｍ2の衝突を考える。最初、ｍ１は速度ｖ0でｍ2
に向かって進み、ｍ2は原点に静止している。空気等の抵抗は無
い。重力等の力は働かない。時刻ゼロで衝突後、物体ｍ１、ｍ2は
速度ｖ１、ｖ2で進むとする。
衝突後
衝突前
m1
m2
m1
m2
v0
v1
v2
A 衝突前：
 m1

m1 r 1  m2 r 2
m1

r1  
v0t,0,0 
１：重心 rG 
m1  m2
m1  m2
 m1  m2

２：全運動量：
P  m1 v0
m1 2
３：全運動エネルギー： K  2 v0
3-1 重心座標
B 衝突後、運動量と運動エネルギーが保存されるとき
全運動量保存：
m1v0  m1v1  m2v2
m1 2 m1 2 m2 2
v0  v1  v2
2
2
2
2m1
上２式を解いて、 v  m1  m2 v
v2 
v0
1
0
m1  m2
m1  m2
全運動エネルギー保存：
衝突後：
１：重心
２：全運動量：

m1 r 1  m2 r 2  m1
rG 

v0t,0,0 
m1  m2
 m1  m2

P  m1 v0
m1 2
３：全運動エネルギー： K  v0
2
3-1 重心座標
問 物体ｍ１ は衝突によりｍ 2 に運動エネルギーを与える。衝突前
のｍ１の運動エネルギーをE0、衝突後のｍ2の運動エネルギーをE2
とする。エネルギー伝達率E2/E0 が最も大きくなる条件と、その時
のE2/E0の値を求めよ。
エネルギー伝達率E2/E0が最も大きくなる条件：ｍ１=ｍ2
その時のE2/E0 = １
問 ｖ2の最大値は何v0か？またその時のエネルギー伝達率はい
くらか？
ｖ2が最も大きくなる条件は：ｍ2/ｍ1 =０
Max ｖ2= ２ｖ0
そのときのエネルギー伝達率 = ０
3-1 重心座標
C 運動量はあらゆる場合に保存される、宇宙不変の大原則である。
これに対し、運動エネルギーは保存されるとは限らない。
・例えばポテンシャルエネルギーに変化したりする。
熱エネルギーにも変わる、光エネルギーになる場合もある。
・もし、初め、全エネルギーが運動エネルギーだとする。
運動エネルギーが保存されないイベントがおこった場合、当然運
動エネルギーは小さくなる。
よって、
m1v0  m1v1  m2v2
m1 2 m1 2 m2 2
v0  v1  v2
2
2
2
である。典型的なのは、衝突後一緒に運動する場合である。
m1
衝突前
v0
m2
衝突後
m1 m2
v1
3-1 重心座標
このとき運動量の式は、
m1v0   m1  m2  v1
m1v0
v1 
m1  m2
m1
衝突前
v0
衝突後
m1 m2
m2
v1
衝突後の運動エネルギーは
m1 2 m2 2 1 m1
v1  v1 
m1 v02
2
2
2 m1  m2
m1 2 1 m1
2
v

m
v
これは当然、
2 0 2 m1  m2 1 0
である。衝突後、運動エネルギーが減少する衝突を非弾性衝突という。
3-1 重心座標
問
１）あなたm1が速度v0で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか？
m1 2 m2 2 1 m1
1
2
v1  v1 
m1 v0 ~ m1 v02
2
2
2 m1  m2
2
２）直径１mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか？
m1 2 m2 2 1 m1
v1  v1 
m1 v02 ~ 0
2
2
2 m1  m2
３－２ 剛体の運動
硬い、大きな物体があり、回転中心軸Ｂのまわりにそ
の物体を角速度ωで回転させた。このとき、物体の
角運動量大きさを
LB  I B
と書く。
回転運動エネルギーは
2
B
1
L
2
E  I B 
2
2I B
と表せる。
このとき、IBを物体のＢまわりの慣性モーメントという。
３－２ 剛体の運動
名作「FN物語」を読もう。
F君：1月9日：今日は、成人式に相応しいことをしようと思い、一日
中物理のことを考えていた。重心について考えているうちに、頭が
混乱してしまった。剛体の重心は、そこに全ての質量が集中して
いると考えられる点だ。
例えば、質量Mで長さLの一様な棒を考える。この棒を一端を中
心に回転させるとき、角運動量を計算したい。棒の中心に質量が
集中していると考えれば、質量Mの質点を半径L/2で回転させると
考えていいのだろうか。しかし教科書の答えは違っている。回転運
動に重心の考えを使ってはいけないのかなぁ?でも、質量の無視
できない棒におもりをぶら下げて、天秤をつりあわせることを考え
る問題では、重心の位置に棒の重さが集中していると考えると考
え易かった。あの問題は力のモーメントのつりあいの話だから、回
転が関係する問題に重心の考えを使ってはいけないということで
もなさそうだ。やっぱり、まだ角運動量や運動量のことがわかって
いないような気がする。
３－２ 剛体の運動
N君：1月12日：今日は僕が主役だ。
F君マスゲーム知ってるかい？
F君：ああ、運動会で集団でやるお遊戯のことだろう。
N君：その通り、物理かぶれのF君は「質量ゲーム」と答えるんじゃ
ないか、と心配したよ。マスには質量と集団の２つの意味があるか
らね。
F君：僕を見くびるんじゃない。君よりもよっぽど常識をわきまえてい
るつもりだよ。
N君：・・・・・・・
F君：ところでマスゲームと僕の悩みとどんな関係があるんだい？
10
N君：右図のように１０人が手を繋いで横一線に並び
左端の人を中心に横一線を崩さず回転することを考えよう。
F君：中学校でやったことがある。
5
N君：ゲームの後、左から2番目、5番目、
10番目の人に感想を聞いてみよう。
2
F君：オーケー
３－２ 剛体の運動
2番目の人：楽ちんでしたが意外に難しいですね。ゆっくり歩かない
と前に飛び出して列を乱してしまうんです。
5番目の人：まあ普通に歩けばいいので楽なゲームです。左右の人
を見ながら仲良く歩けばいいんです。
10番目の人：いやー、見た目より実際は大変な運動ですよ。必死に
歩かなければ追いつかない。私は足が遅い方ではないですが、20
秒で一回転ですからね。どうしても列に遅れがちになりますよ。疲れ
た、疲れた。
F君：まあ予想通りの感想だな。 これと物理と何が関係ある？
N君：2番目の人の運動は？
F君：それはゆっくり歩くのがコツさ。5番目は普通に歩く。一番端の
10番目は必死に歩く。そうしないと列が乱れるからね。
N君：横一列でも場所によって仕事量が違うということ？
F君：もちろんそうだね。中心の人はほとんど仕事しない。一番端の
人は目一杯の仕事をしなければならない。
N君：運動エネルギーで説明して下さい。
３－２ 剛体の運動
F君：任せとけ。横一列で列を乱さないで動くから、一回転の周期は同
じなんだ。しかし、場所によって一周の長さは違うだろう。中心からの距
離に比例して一周の長さが長くなるんだ。だから一定周期で回ろうとす
ると、端の人ほど速く動かなければならない。中心からの距離に比例し
て速度が速くなる。だから歩く人の運動エネルギーは中心からの距離
の2乗に比例して大きくなるんだ。どうだ、いい説明だろう。
N君：じゃあ、運動エネルギーの平均の人は何番目だろう？
太郎：それは丁度真ん中の人、・・じゃないな、何処だろう？
中心からの距離をLとすると、回転の線速度は距離Lに比例するから運
動エネルギーはL2に比例する。
それを中心から全て足すと、L3/3に比例する。
平均の運動エネルギーを人数分足すと上の値になるから、
平均の運動エネルギーはL3/3をLで割ればいいね。
だからL2/3だ。
これの平方根をとると位置がでるよ。(L2/3)0.5です。どうだ、完璧だろう。
３－２ 剛体の運動
N君：具体的には何処？
太郎：わからないかい？中心よりちょっと外側さ。30.5は２より少し小
さいからね。外側の人の運動エネルギーは非常に大きくなるから、
平均位置が中心より外側にずれるんだよ。10人の場合は6番目さ。
ようし、もっと数学的に説明してやろう。
マスがmの人がN人横一列長さLに並んで角速度ωで回転したとす
る。平均運動エネルギーを持つ人は、前の議論から(N/3)0.5番目の
人で中心からの距離はLｘ3-0.5だ。この人の運動エネルギーは
2
1  L  11 2 2
m  0.5   
mL 
2 3
 23
となる。全員の運動エネルギーはこれにNを掛ければ良い。
全質量をM=m*Nとすると。
11 2 2
E
ML 
全体の運動エネルギーEは
となる。
23
３－２ 剛体の運動
確か回転半径L,角速度ωの質量Mの小さな玉の回転運動の運動エ
ネルギーは 1 ML22 だったな。棒の場合は違うのか、棒の方が
小さいぞ。 2
N君：この論理を進めた場合の全体の運動量と平均値を持つ人の
位置は？
F君：速度は L な形をしているから、平均値は真ん中だよ。そ
して全体の運動量の大きさは NmL  ML
です。
2
2
2
1  ML 
N君：それじゃあ、全体の運動エネルギーは
2M  2 
でいいの？
F君：いや、それは違うよ。場所によって速度と運動量が違うじゃな
いか。例えば全く逆向きに同じ速度で進む同じマスの２つの物体の
合計運動量はゼロだろう。でも2つの物体の合計運動エネルギー
はゼロではない。こういう場合は全体の運動量の大きさを単純に2
乗してはいけません。
３－２ 剛体の運動
N君：そこで回転の場合の運動量をあたかも並進と同じように扱う
量として角運動量が登場するのです。 mLL
F君：なるほど、この場合L2があるから、僕の得意技が使えるな。
なんだか、分かったような、騙されたような・・・・・・
－F君の悩みは尽きません－
３－２ 剛体の運動
問 右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
ω
N
1)1番目の物体の回転運動の慣性モーメントI1を求めよ。
2)N番目の物体の回転運動の慣性モーメントINを求めよ。
3) 1～N番の物体の回転運動の合計の慣性モーメントIを求めよ。
３－２ 剛体の運動
問 右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
ω
N
1)1番目の物体の回転運動の慣性モーメントI1を求めよ。
I1  ma2
2)N番目の物体の回転運動の慣性モーメントINを求めよ。
I N  mN 2a2
3) 1～N番の物体の回転運動の合計の慣性モーメントIを求めよ。
1
I  N  N  1 2N  1 ma2
6
３－２ 剛体の運動
問 右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
N
４)Nが非常に大きい数のとき、Iを近似的に表せ。
５）４）のとき、M=Nm, R=Naとするとき、IをMとRを用いて表せ。
問 長さＬ、質量Ｍの細い棒を棒の端を中心
として角速度ωで回転するときの慣性モーメン
トを求めよ。
ω
ω
Ｌ， Ｍ
３－２ 剛体の運動
問 右図のように質量ｍの非常に小さい物体
が間隔aで0番からN+1個並んでいる。
m
これらの物体が、0番の物体を中心として
その配列を乱すことなく、角速度ωで回転
O1 2
する。
a
N
1 3 2
４)Nが非常に大きい数のとき、Iを近似的に表せ。 I ~ N ma
3
５）４）のとき、M=Nm, R=Naとするとき、IをMとRを I ~ 1 MR2
用いて表せ。
3
ω
問 長さＬ、質量Ｍの細い棒を棒の端を中心
として角速度ωで回転するときの慣性モーメン
1 2
トを求めよ。
I ~ ML
3
ω
Ｌ， Ｍ
３－２ 剛体の運動
問 長さＬ、質量Ｍの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメントを求めよ。
ω
問 半径r質量Ｍの細い赤いリングを図の
ように角速度ωで回転するとき、角運動量
の大きさを書け。慣性モーメントを求めよ
Ｙ

r
Ｏ
Ｍ
Ｘ
３－２ 剛体の運動
問 長さＬ、質量Ｍの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメントを求めよ。
ω
 1 M L2  1
2
I  2

ML
 12
3
2
4


問 半径r質量Ｍの細い赤いリングを図の
ように角速度ωで回転するとき、角運動量
の大きさを書け。慣性モーメントを求めよ
L  Mr 2
I  Mr 2
Ｙ

r
Ｏ
Ｍ
Ｘ
３－２ 剛体の運動
半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の中心を通り、円板に垂直な
軸周りの慣性モーメントを求めよう。
(1)まず円板を右下のように細いリングの集まりと
考えよう。重さ面密度をρとする。
(2) 半径r厚さdrのリングの角運動量は
dL  2 rdr  r 2
(3)全体の角運動量は、
4
2
2

a

Ma

2
 dL  0 2rdr  r   4  2  I
a
よって慣性モーメントは
Ma2
I
2
３－２ 剛体の運動
(4)半径r厚さdrのリングの運動エネルギーは
1
dE  2 rdr  r22   r32dr
2
(5)全体の運動エネルギーは、
a
a42
0
4
3 2
dE


r
   dr 
Ma22 1 2

 I
4
2
a
３－２ 剛体の運動
(6)もし円の中心で回転しながら、速度ｖで
並進運動しているときの運動エネルギーは
1 2 1 2
E  Mv  I
2
2
となる。
ω
Ｖ
３－２ 剛体の運動
(7)半径a、角速度ω１の自転回転しながら、
ω2
半径b、角速度ω２の公転回転するときの
合計の角運動量と運動エネルギーエネルギー
を求めよ。
1
L  Mb 2  I1  Mb 2  Ma 21
2
1 2 2 1 2 1 2 2 1
E  Mb 2  I1  Mb 2  Ma212
2
2
2
4
2
2
(8)もしb＝a、 ω１＝ω２ ＝ωならどうなるか？
ω1
３－２ 剛体の運動
(8) b＝a、 ω１＝ω２ ＝ωなら、
1
3 2
2
2
L  Ma   Ma   Ma 
2
2
1
1
3 2 2
2 2
2 2
E  Ma   Ma   Ma 
2
4
4
ω1
ω2
自公転半径が同じ場合の自公転の合計慣性モーメントは
3 2
I  Ma
2
（9）これはどのような運動か？
３－２ 剛体の運動
問 長さa、質量mの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメント、角運動量、
回転運動エネルギーをa、m、ωを適宜用いて
ω
表せ。
m
a
問 長さa、質量mの細い棒を、棒の中心か
らb離れた所を中心として角速度ωで回転す
るときの慣性モーメントを求めよ。
ω
b
m
a
３－２ 剛体の運動
問 長さa、質量mの細い棒を、棒の中心を中心として角速度ωで
回転するときの慣性モーメント、角運動量、
回転運動エネルギーをa、m、ωを適宜用いて
ω
表せ。
1
1
1
2
2
I  ma L  ma  L  ma22
12
12
24
問 長さa、質量mの細い棒を、棒の中心か
らb離れた所を中心として角速度ωで回転す
るときの慣性モーメントを求めよ。
m 2
I  a  mb2
12
m
a
ω
b
m
a
３－２ 剛体の運動
(10)右図のように円板を縦に回転する場合を考えよう。 ω
右図のように円板を細い赤い棒に分けて考えよう。
棒の中心を回すときの慣性モーメントは
1
I
mr 2
12
と知っている。棒の長さが場所によって違うことを
考慮しておのおのの棒の慣性モーメントを足し合わ
せれば目的の値が得られるだろう。
a
θ
Ｏ
３－２ 剛体の運動
Y
右図のように円板を細い棒に分けて考えよう。
円板の重さ面密度をρとする。図の座標Ｙ軸の点
(y,0)を横切る幅dyの細い棒の慣性モーメントは
1 2 1
2 x3dy
2
I  mr  dy2x   2x  
12
12
3
3
2
2
2 dy
2
2
2
2

a

y


x  y  a だから、 I 
3
全体の慣性モーメントは
I11  
a
a
y  a cos
2  a  y
2

ω
a
3
2 2
3
と置けば、
dy

4
4
2

a
sin

2
I11  2
d
0
3

 a4
4
Ma2

4
θ
(y,0)
Ｏ
X
３－２ 剛体の運動
(11)縦に回転する場合をもう一つ別の考え方にトライしよう。
ω
下図のようにＸ－Ｙ平面上に質量miの小さな
物体が位置ri(xi,yi)にある。物体をＹ軸周りに
回したとき、慣性モーメントは
Ｙ軸周り：
a
I Yi  mi xi2
Ｘ軸周りに回したときの慣性モーメントは、
Ｘ軸周り：
xi
2
2
i
2
i
mi
ri(xi,yi)
yi
I  mi ri  mi  x  y   I  I
i
Z
Ｙ
I Xi  mi yi2
それではＺ軸周りに回したときの
慣性モーメントはどうなるか？
Ｚ軸周り：
Ｏ
i
X
i
Y
Ｏ
Z
Ｘ
３－２ 剛体の運動
即ち、ある平面（ここではＸ－Ｙ）上に小さな物体があるとき、
その平面に垂直な軸周りの物体の慣性モーメントは、
平面内の直交する軸周りの慣性モーメントの和に等しい。
Ｙ
IZi  I Xi  IYi
任意の平たい剛体物体を微小物体の集合と
考えれば、任意の平らな剛体の慣性モーメントは
I Y  m x
xi
2
i i
yi
i
I X  mi yi2
Ｏ
i
I Z   mi ri2   mi  xi2  yi2 
i
やっぱり
mi
ri(xi,yi)
i
IZ  I X  IY
Z
Ｘ
３－２ 剛体の運動
それでは I Z  I X  IY
を利用しよう。
円板の中心を通り、円板に垂直な軸周りの慣性モーメントは
Ma2
I
2
これはＺ軸周りの慣性モーメントに相当する。
Ma2
IZ 
2
それではＸ軸、Ｙ軸周りの慣性モーメントは？？
分からないが、少なくとも円板である限り対称性
から
I X  IY は確実である。だから、
I Z  I X  IY  2IY
よって、
Ma2
IY 
4
Ｙ
a
Ｏ
Z
Ｘ
３－２ 剛体の運動
(12)それでは、右図のようなひどい問題の場合は
どうするか？
ω
(8)を思い出そう。
ωの自転回転しながら半径b、角速度ωの
公転回転するときの慣性モーメントは、
Mb2  I
だった。
Ma2
ここでb=a,であり、 I 
だから、
4
目指す慣性モーメントは
5Ma2
I
4
a
Ｏ
３－２ 剛体の運動
いろいろな物体の慣性モーメントを求めてみよう。 Ｙ
(1) 質量Ｍの長方体Ｘ軸回り
Ｙ軸に平行な細い棒の集まりと考える。
1 2 1
2a3dx
2
I  mr  dx2a   2a  
12
12
3
Ｏ
2a3
4ba3 Ma2
Ix  
dx 

b
3
3
3
b
これはどこかで見たことがある。
(2)もちろんＹ軸回りの慣性モーメントは
Mb2
Iy 
3
(3)ならば、原点Ｏ軸紙面垂直回りの慣性モーメントは
M  a 2  b2 
Iz 
3
(b,a)
Ｘ
３－２ 剛体の運動
半径R、質量Mの円板滑車に質量m1、m2の物
体が糸でつるされている。糸の張力を図のよ
うに定める。重力加速度を ｇとする。時刻ゼロ
で物体を固定していた手を離した。糸は滑車
に巻きつき、滑ることなく移動すると考える。
m1>m2のとき、滑車は反時計方向に回転して T1
m1 は落下する。もしM>>m1,m2ならば、m1は
非常にゆっくり落ちることを経験的に知ってい
る。これを考察しよう。
下向きを正にとれば、m1についての運動の式
は、
m1a  T1  m1g
である。 m2については、
である。
m2  a   T2  m2 g
M
R
T2
m2
m1
g
３－２ 剛体の運動
M
よって、
m1  m2  a  T2  T1  m1  m2  g
である。T2-T1はMを回す力である。
ちからのモーメントの大きさは、
N  R T1  T2 
である。（T1>T2)
dL
d MR2 d I
N
I

 a
dt
dt
2 dt R
だから、  m  m  I  a   m  m  g
2
1
2
 1
2 
R 

R
T2
T1
m2
m1
g
３－２ 剛体の運動
M
結局、m1が落下する加速度は、
a
 m1  m2  g
I
m1  m2  2
R

m1  m2  g
M
m1  m2 
2
となる。
１．m1=m2の場合、a=0 自明
R
T2
T1
２．Mがm1,m2に比べて重ければ、aは小さい。
３．Mがm1,m2に比べて軽ければ、自由落下。
m2
m1
g
３－２ 剛体の運動
右図のように重心からaだけ離れたＯ点を
軸とした長さl 質量Mの棒の振動を考える。
１．O点回りの慣性モーメントは半径aの公転と
中心回りの自転の慣性モーメントの和である。
a
Ｏ
θ
1 2
I  Ml  Ma2
12
θの振動の角速度は
M
g
２．力のモーメントは N  aMg sin 
θが小さいとき
~ aMg
dL
d
d 2
I
 I 2  N  Mg
dt
dt
dt
l
回転角に関する運動の式
Mga
~

I
ga
1 2 2
l a
12
３－２ 剛体の運動
３．周期  
ga
1 2 2
l a
12
a
Ｏ
θ
1 2 2
l a
2
T
 2 12

ga
l
g
４．振動数ゼロ、周期無限大の条件はもちろん、a=0
l2
５．振動数最大、周期最小の条件は？
a
12a
６．５．の理由を考えよ。
７．どんな形の振り子が振動数が大きいだろうか。
a
1
2 3
l
M
練習問題
問 半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の問題
１）図１のように円板が地面を速度ｖで滑っているとき、
円板の運動エネルギーを求めよ。
v
図１
２）図２のように円板が地面を滑ることなく転がり、
円板の中心の速度がｖで左向きに動くときの運動
エネルギーを求めよ。
v
a
(x,y)
b
図2
練習問題
問 半径aで質量Ｍの薄い一様な円板の問題
１）図１のように円板が地面を速度ｖで滑っているとき、
円板の運動エネルギーを求めよ。
v
Mv2
K
2
図１
２）図２のように円板が地面を滑ることなく転がり、
円板の中心の速度がｖで左向きに動くときの運動
エネルギーを求めよ。
v
2
(x,y)
2
Mv 1 2 Mv 1 2  v  3Mv2
K
 I 
 Ma   
2
2
2
4
4
a
2
a
b
図2
練習問題
問 右図のように重さ５ｋｇ、半径５０ｃｍの円盤を縦に回転する場合
の慣性モーメント[kgm2]を求めよ。
ω
問 同じ重さの細いリングを同様に縦に回転した
50cm
とき、上記円盤の場合と同じ慣性モーメントをもつ
ようにするにはリングの半径をいくらにすればよいか。
Ｏ
練習問題
問 右図のように重さ５ｋｇ、半径５０ｃｍの円盤を縦に回転する場合
の慣性モーメント[kgm2]を求めよ。
ω
2
Ma2 5  1 
5
I
   
4
4  2  16
問 同じ重さの細いリングを同様に縦に回転した
50cm
とき、上記円盤の場合と同じ慣性モーメントをもつ
ようにするにはリングの半径をいくらにすればよいか。
5 1 2
 5b
16 2
1
1
b

~ 35.4cm
8 2 2
Ｏ
慣性モーメントまとめ
Ｙ
１．質量mの円板をＺ軸周りに回した。
1 2
I  mr
2
r
Ｏ
２．質量mの円板をＹ軸周りに回した。
Z
1 2
I  mr
4
３．質量mの球をＺ軸周りに回した。
2 2
I  mr
5
４．質量mの球をＹ軸周りに回した。
2 2
I  mr
5
r
Ｏ
Ｘ
慣性モーメントまとめ
5．質量mの長さ2rの棒をＺ軸周りに回した。
Z
1 2
I  mr
3
m
2r
６．質量mの長さrの棒の端をＺ軸周りに回した。
Z
1 2 1 2 1 2
I  mr  mr  mr
3
12
4
m
r
問 題
７．質量m、開き角45°の扇をＺ軸周りに回した。
Ｙ
1 2
I  mr
2
r
Ｏ
Z
Ｘ
８．質量がmであり、半径がrの２つの球体の
おのおのの赤道面がＸ－Ｙ平面上にあり
Ｙ
お互いに接している。左方の球の重心
を貫くZ軸周りに２個の球を回した。
r
2 2
2 2 24 2
2
I  mr  4mr  mr  mr
5
5
5
Ｏ
Z
Ｘ