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T. Sameshima, TUAT
Introduction
1.教科書 タイトル:理工学系の基礎教育 物理学
出版社:学術図書出版社
ISBN:4-87361-938-6
2.講義ノートはホームページからダウンロード
1)http://www.tuat.ac.jp/~sameken/
2)講義ノートのメニューバーをクリック
3)2011年 物理学及び演習 (1年次後期) のコーナー
の物理 (ppt)をクリック
Introduction
3.演習と宿題は学習支援室蓮見室長が協力する。
学習支援室ホームページからダウンロード
1) http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/
2)演習問題 及び 宿題 をクリック
Introduction
4.必修科目
5.成績評価: 絶対評価
S:100〜90,A:89〜80,B:79〜70,C:69〜60,
D:59〜0
S〜Cは単位認定される。E1クラスと同一評価、
宿題&演習50点 (特別加点10点)
中間試験+期末試験 50点
Introduction
6.物理授業用ノートを用意すること
解説しよう
ちから
F がある。これはベクトルである。
実はこうなっているとする:
F 0
じゃあ
のとき
F 0
F F1 F2
F1, F2 はつりあっている。
ならピクリとも動かないのか?
実は違う。物体の運動は重心の運動と相対運動
に分けられることを勉強する。
解説しよう
相対運動って何?
例えば円運動である。
dp
力は運動量の時間微分 F
と表す。
dt
だから力を時間積分すると運動量の変化になる。
t2
t1
Fdt p(t2 ) p(t1 )
これを力積と呼んでいた。
解説しよう
そのうち、力はポテンシャルエネルギーのベクトル空間微分
で表される場合を勉強する。
F gradU
少しも難しくないのだが、とても大切である。
積分してみると、
r2
r1
F d r U ( r1 ) U ( r2 )
空間r1-r2間のポテンシャルエネルギーの変化即ち仕事とな
る。皆さん馴染み深い。例えば重力ポテンシャルエネル
ギーmgxの力は下向きであり、 F (mg,0,0)
である。
解説しよう
ポテンシャルエネルギーUはスカラーである。
でも、ちからはベクトルである。
簡単なようだが間違い易いので良く勉強しよう。
F gradU のちからを保存力という。
空間積分できるという意味である。
保存力ではない力は沢山ある。
有名な粘性抵抗を学ぶ。これは保存力ではない。
F Cv
とても面白いし重要である。実は電流電圧特性で有名な
オームの法則は粘性抵抗作用である。
摩擦もまた保存力ではない。
解説しよう
円運動を学ぶ。そして角運動量なるものを学ぶ。
とうとう外積(ベクトル積)が登場する。
L r p
時間微分すると、力のモーメントになる。
N rF
力が、位置ベクトルと同じか反対向きなら、 N 0
だから力が回転中心の方向を向いているなら
角運動量は常に不変である。(角運動量保存則)
この法則からコリオリのちから2mvωが導かれる。
解説しよう
慣性モーメント I なるものが登場する。
回転されにくさの量である。結構面白い。
同じ重さ、同じ半径の円板とリングでは、円板の方が慣性
モーメントは小さい。よって回しやすい。どのくらい小さいか、
皆さんは直ぐに分かるようになる。
いろいろな言葉を学ぶ。
保存力・中心力・粘性抵抗・ポテンシャルエネルギー・角運
動量・力のモーメント・保存則・第一宇宙速度・第二宇宙速
度・慣性モーメント・剛体 等々。大したことないが言葉は理
解とコミニュケーションに重要である。しっかり勉強しよう。
解説しよう
単位は重要である。単位には歴史的意義がある。いろいろ
な表現に強くなろう。
例えばエネルギーの単位は?
J, Nm, eV, cal, FV2などなど沢山ある。全部使えるようにな
ろう。
数学の勉強:指数関数
指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。
a b
ee
e
a b
ab である。Multiplication rule
e
e
ab
である。Power rule
de ax
ae ax である。ordinary differential equation
dx
a, b はどんな数でも成り立つ。
定義:
eia cos a i sin a
Euler's formula
aは実数
位置・速度・加速度
時間によって位置を変える質量mの物体がある。時刻
ゼロでは物体は原点にある。
位置ベクトルは:
r t rx t , ry t , rz t
Y
このとき、
rx 0 0
0 m
ry 0 0
rz 0 0
Z
X
位置・速度・加速度
位置の時間微分は速度である。
d
v t r t
dt
速度の時間微分は加速度である。
d
a t v t
dt
位置・速度・加速度
位置ベクトル
r t rx t , ry t , rz t
速度ベクトル
v t rx t , ry t , rz t
t
t
t
加速度ベクトル
2
2
2
a t 2 rx t , 2 ry t , 2 rz t
t
t
t
演習
問 半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの
物体の座標ベクトルの成分を
r t r cos t, r sin t
と書くとき、
物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。
物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。
物体の座標ベクトルの成分を
r t re
it
と複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。
物体の加速度を求めよ。
演習
問
r t r cos t, r sin t
d r t
v t
r sin t, r cos t
dt
d v t
a t
r 2 cos t , r 2 sin t
dt
r t re
it
d r t
v t
ireit
dt
d v t
a t
r 2eit
dt
ベクトルとスカラー
1.ベクトルは成分表示される量 A Ax , Ay , Az
2.ベクトルは加算的である。
A B C
A B ,A
x
x
y
By , Az Bz Cx , Cy , Cz
掛け算は2種類
1)内積(inner product, scalar product)
ベクトル・ベクトル=スカラー
A B C
Ax Bx Ay By Az Bz C
A B AB cos
A A A
2
A B B A
ベクトルとスカラー
2)外積(outer product, vector product)
ベクトルxベクトル=ベクトル
A B C
A B
y
z
Az By , Az Bx Ax Bz , Ax By Ay Bx Cx , Cy , Cz
A B AB sin e
A A 0
いいこと
A B B A
外積のXYZ成分はYZ→ZX→XYの順番に並べて
行けば簡単に求められる。
ベクトルとスカラー
問: +x方向に磁束密度Bで磁場が働いている。また、
荷電粒子が+y方向に速度vで運動している。
(1)磁束密度B,粒子の速度vをベクトル表示せよ。
(2)磁束密度Bの中を速度v で運動する荷電粒子には
F qv B
(1)
という力が働く。qは帯電粒子の電荷量である。この式
(1)を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向
を求めよ。
ベクトルとスカラー
問
(1) v 0, v, 0
B B, 0, 0
(2) F qv B q 0,0, vB
∴粒子は-Z方向にvBの大きさの力を受ける。
このように、外積は 3次元ベクトルを考えた時に初め
てでてくる不思議な掛け算である。
位置・速度・加速度
問.位置ベクトル
r t t , t 2 , t
の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。
物体の運動を説明せよ。上記、位置ベクトル、速度ベク
トル、加速度ベクトルの時刻ゼロでの、お互いのなす角
度を求めよ。
位置・速度・加速度
問. a t 0, 2,0
cos
cos
r t v t
r t v t
v t a t
v t a t
r t t , t 2 , t
v t 1, 2t,1
2 t t 3
t 2t
2 1 2t
2
4t
2 4t 2
2
2
2 1 t 2
2 t 2 2 1 2t 2
2t
2 1 2t 2
t=0のとき:位置ベクトルと速度ベクトルの角度はゼロ。
速度ベクトルと加速度ベクトルの角度は90度。
某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋
壁に掛けてあった気に入りの絵が
図1-1のように傾いていた.何かの
拍子に右肩を止めていたピンが外
れ,左肩のピンを支点にして回転
し傾いたのだろう.図1-1のように
絵が傾いて運動して止まるまでの
運動の過程を調べよう.簡単化の
ために絵は図1-2に示すように辺
の長さがaとbの長方形であり,質
量Mの一様な密度の剛体板とする.
この剛体板を図1-1と区別してPeintureと呼ぼう.最初辺O-Pの辺は水
平に静止していたとする.Pにあったピンがはずれ,鉛直下方に重力
加速度 gが働き点O回りにPeintureが回転して落下する.図1-2のよう
に重心を通る線OQと鉛直線の挟む角をθとする.時間微分係数の記
2
号は d , d のように書くことにする.以下の問いに答えよ.
dt dt 2
某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋
[1] まず摩擦などの抵抗が無いとしよう.最初Peintureは静止してい
たから,運動エネルギーKはゼロであった.Peintureの重心は落下に
より低下し,その際位置エネルギーが運動エネルギー K に変わる.
コーナーの位置Qが最下点に達した時,Peintureが獲得するKをM, a,
b, gを用いて表せ.
[2] Peintureは最初静止していたからそのときの角運動量L もゼロで
dL
あった.一般に L は力のモーメント N が働くことにより dt N の関係に
よって発生する.Peintureが図1-2に示す位置にあるときPeintureに
は重力によりNが働く.Nは負の値である.NをM, a, b, g, θを用いて
表せ.
某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋
[1]
[2]
Mg
K
2
a 2 b2 b
a 2 b2
N
Mg sin
2
1-2 速度と加速度
位置の時間微分は速度である。
d
v t r t
dt
速度の時間微分は加速度である。
d
a t v t
dt
1-2 速度と加速度
位置ベクトル
r t rx t , ry t , rz t
速度ベクトル
v t rx t , ry t , rz t
t
t
t
加速度ベクトル
2
2
2
a t 2 rx t , 2 ry t , 2 rz t
t
t
t
数学の勉強:指数関数
指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。
a b
ee
e
a b
ab である。Multiplication rule
e
e
ab
である。Power rule
de ax
ae ax である。ordinary differential equation
dx
a, b はどんな数でも成り立つ。
定義:
eia cos a i sin a
Euler's formula
aは実数
数学の勉強:指数関数
e cos a i sin a
ia
定義:
aは実数
ちょっとしたお遊び
e
ならば、
i
2
i imaginary unit である。
i
i2 e 2 e
問.それでは
i
2
ei cos i sin 1
i
1
2
はいくらか。
i
i 2
1 i
4
i e e cos i sin
4
4
2
数学の勉強:指数関数
(1) ei ei ei cos i sin
cos i sin cos i sin
cos cos sin sin i cos sin sin cos
これらの式を見比べて the sum formulas
cos cos cos sin sin
sin cos sin sin cos
i i
(2) e e
ei 0 cos 0 i sin 0 1
cos i sin cos i sin
cos 2 sin 2
これらの式を見比べて
cos 2 sin 2 1
数学の勉強:指数関数
(3)
i x
de
d
d
cos x i
sin x
dx
dx
dx
i x
i e
i cos x sin x
これらの式を見比べて
d
cos x sin x
dx
d
sin x cos x
dx
x
n
(4) e an x と書く
n
d x
e an nx n1
dx
n
e x an x n
n
上下を見比べれば
an n an1
an1
an
n
1
an
n!
数学の勉強:指数関数
ex
n
xn
n!
ix
である。
定義を使って、
n
m m
n 1 n
i
x
i
x
eix
i
n!
n!
n
even m!
odd
cos x i sin x
またもや見比べて
im xm
x2
x4
cos x
1
2!
4!
even m !
i n 1 x n
x3
x5
sin x
x
n!
3!
5!
odd
僕らは三角関数をマスターした。
指数関数
問
cos4 を cos と
sin で表せ。
1-2 速度と加速度
i
e 2 i を考える。
再び
i は
角度回転したと考えることができる。
2
即ちx軸を 2 回転するとy軸になる。
reit r cos t ir sin t
だから、
はx成分とy成分を表す複素数と考えることが出来る。
時刻tにおける角速度ωの等角速度円運動の位置に対して、速度
は
it
dre
v
dt
ireit
と書くことができる。速度は位置に i をかけた形である。
だから、速度ベクトルは位置ベクトルより+90度角度が進んでいる。
1-2 速度と加速度
問.重さ3kgのカラスが毎秒10m/sで真北に水平に飛んでい
る。
1)カラスの速度ベクトルvを成分表示せよ。(東,北,上)
2)カラスの運動量ベクトルpを成分表示せよ。(東,北,上)
3)カラスの運動エネルギーを求めよ。
4)目標を見つけたカラスは、2秒間で30m降下した。
真北方向の速度は変わらないとき、降下中のカラスの平
均速度ベクトルvを成分表示せよ。(東,北,上)
5)目標地点は北方向に上る傾斜角30度の斜面だった。カラ
スが何とか静止しているとき、カラスにかかる力を全て答えよ。
そしてそれらを成分表示せよ。
1-2 速度と加速度
1)カラスの速度ベクトルv v 0,10,0
2)カラスの運動量ベクトルp p 0,30,0
3)カラスの運動エネルギーを求めよ。
1
p p 1
E mv v
0 30 30 0 150[ J ]
2
2m 6
4)降下中のカラスの平均速度ベクトルv v 0,10, 15
5)カラスにかかる力を全て答えよ。
・重力
G 0,0, mg 0,0, 29.4
・垂直抗力
・摩擦力
3
3
N 0,
mg , mg 0, 12.7, 22.1
4
4
3
1
F 0,
mg , mg 0,12.7, 7.4
4
4
1-3 運動の3法則
1.慣性の法則
F 0
dp
0 the principle of inertia
dt
dp
F
2.運動の法則
dt
Equation of motion
ma F
3.作用反作用の法則(運動量保存則)
Law of action and reaction
(Principle of Momentum Conservation)
問.上記3法則について皆さんの体験を述べよ。
1-3 運動の3法則
問.Impactのチェック:静止している質量mの物体に、時刻ゼ
ロで一定の力F0をT秒間加えた。
1)時刻Tのときの物体の速度vと移動距離rを求めよ。
2)もし v0 F0T が一定の関係にあるとき、rにたいする、
m
Tの寄与を調べよ。
T
p F0dt F0T
0
p
v
v0
m
1
r v0T
2
・Tが小さいとき物体の移動距離は小さい。
・Tが大きいとき物体の移動距離は大きい。
1-3 運動の3法則
質量Mの太陽の周りを等速円運動する、質量mの地球を考え
よう。
M=2.0x1030kg
地球の位置と運動量ベクトルを
Y m=5.9x1024kg
r r cos t, r sin t
r=1.5x1011m
p mr sin t, mr cos t
と書こう。閉じた運動系において、
運動量の総和は絶対に不変である。
ー運動量保存の法則ー
m
r
O
θ
M
文句:しかし、 p mr sin t , mr cos t
は時間に対して変化するから保存していない。
太陽と地球の運動量を保存するためにはどのようにしたらよい
のか?
X
1-3 運動の3法則
M=2.0x1030kg
m=5.9x1024kg
Y
r=1.5x1011m
太陽の位置と運動量ベクトルを
R R cos t a , R sin t a
P MR sin t a , MR cos t a
と書こう。地球と太陽の重心が動かず
運動量の総和が不変であるためには、
m
r
O
P p0
M
この条件が常に満たされるには
a
MR mr
mr
よって、
mr
R
cos t ,
sin t
M
M
P mr sin t, mr cos t
θ
X
1-3 運動の3法則
問:実は太陽も地球に付き合って位相差πで
回転していることがわかった。
M=2.0x1030kg
太陽の回転半径Rは何kmか。
Y m=5.9x1024kg
r=1.5x1011m
mr
R
442500 442.5km
M
m
r
O
θ
M
X
1-3 運動の3法則
次に、物体mとMの運動エネルギーkinetic Y
energyを考えよう。
mr 2 2
mの運動エネルギー Em
2
r
2
2
MR
Mの運動エネルギー E
O θ
M
2
M
2
mrR
2
二つの物体の運動エネルギーの和は、
mr( r R) 2
mr
E
( r R)2 2
2
2( r R)
mM
( r R)2 2
2(m M )
m
X
1-3 運動の3法則
Y
面白いこと;
mM
K
(m M )
のような質量Kを考えると
K r R
E
2
2
m
r
2
O
θ
M
となる。これは質量Kの物体の運動エネルギーの形をしてい
る。実際は2つの物質の運動だが、お互いに一体になって動
いている物体の運動エネルギーは一つの物体の運動エネル
ギーの形をしている。Kを換算質量reduced massと呼ぶ。
X
1-3 運動の3法則
太陽Mと地球mの場合、M>>mだから、
mr 2 2
K~m, r>>R であり、 E ~
2
Y
r
m
である。
O θ
即ち、重たい太陽の運動エネルギーは
X
M
全く小さい。
系全体の運動エネルギーは軽い物体の
運動エネルギーが支配している。
だから、重い物体の回りを回る軽い物体の運動を考えるとき、
軽い物体の運動だけを考えても重大な問題を生じないのであ
る。
しかし、軽い物体と重い物体の運動量の大きさは同じである。
1-3 運動の3法則
問:質量がともにmである物質1と物質2が
お互いに距離Rだけ離れて引力を及ぼしな
がら、角速度ωで回転している。物質1の座標が
r1 r cos t , r sin t
のとき、
1)物質2の座標を求めよ。
2)2つの物質の運動エネルギーの総和を求めよ。
3)Rを求めよ。
4)換算質量Kを求めよ。
R
m
m
1-3 運動の3法則
問 :質量がともにmである物質1と物質2が
お互いに距離Rだけ離れて引力を及ぼしな
がら、角速度ωで回転している。物質1の座標が
r1 r cos t , r sin t
R
m
のとき、
1)物質2の座標を求めよ。
r1 r cos t, r sin t
2)2つの物質の運動エネルギーの総和を求めよ。
mr 22
3)Rを求めよ。
4)換算質量Kを求めよ。
R 2r
1
K m
2
m
1-3 運動の3法則
問 :実は外力なして自励運動している右図
のばね常数kのバネも相対運動である。
1)換算質量Kを求めよ。
2)角振動数ωを求めよ。
3)Mがmに比べて非常に大きくなったときの
角振動数ωはいくらか?
M
k
m
1-3 運動の3法則
問 :実は外力なして自励運動している右図
のばね常数kのバネも相対運動である。
1)換算質量Kを求めよ。
M
mM
K
mM
2)角振動数ωを求めよ。
k
K
m M k
mM
k
m
1-4 質点の放物運動 parabolic movement
Z方向のみに一定の加速度がある場合を考えよう。
時刻ゼロで質点は原点にある。時刻ゼロで、質点はX方向
にのみ速度v0を持つとしよう。
加速度は a t 0,0, a
速度は
位置は
だから、
v t v0 ,0, at
1 2
r t v0t,0, at
2
1 2
x v0t z at
2
1-4 質点の放物運動 parabolic movement
2
1 2 1 x
1 a 2
z at a
x
2
2
2 v0
2 v0
これは放物線運動である。
・位置の大きさはどうなる?
2
1
1 a
r r t r t v 02t 2 a 2t 4 v 0 t 1 t 2
4
4 v0
位置は始めはtに比例して大きくなる。
そのうち、t2に比例して急激に大きくなる。
・位置の大きさの変化がt的からt2的に切り替わる時刻はいつ?
1-4 質点の放物運動 parabolic movement
・位置の大きさの変化がtからt2に切り替わる時刻はいつか?
2
1 a 2
t ~ 1だろう。
4 v0
t0 ~
2 v0
である。
a
物体はt0までは概ね等速度運動、t0を超えると等加速度運動と言える。
・XとZの角度はどうなる?
z 1 a
1 a
tan
x
t
2
x 2 v0
2 v0
タンジェントは時間に比例して大きくなる。
タンジェントはX成分に比例して大きくなる。
そして遂に無限大になり、角度は90度になる。
1-4 質点の放物運動 parabolic movement
・タンジェントが1の時刻はいつか?
1 a
t 1
それは、
2 v0
2v0
t0
a
物体の運動が等速度的運動から等加速度的運動に切り替わる
時刻である。
1-4 空気抵抗の中の物体の運動
空気の粘性抵抗下でt=0でz=0、z方向に速度-v0をもつ
質量mの物体の運動を考えよう。
粘性抵抗力は
運動の式は
v
F Cv
v
maz mg Cvz
d 2z
dz
m 2 mg C
dt
dt
を解こう
1-4 空気抵抗の中の物体の運動
dz
v
と置く。
dt
dv
m
mg Cv
dt
mg
V v
C
dV
m
CV
dt
と置く。
dV
C
割り算と掛け算をする。
dt
V
m
積分をする。
整理する。
vは・・・・・・・・
C
ln V t a
m
V e
C
t a
m
v Ae
C
t
m
Ae
mg
C
C
t
m
1-4 空気抵抗の中の物体の運動
vはt=0で-v0だから、
mg
v0 A
C
よってvは
mg
v
v0 e
C
従ってzは
C
t
m
mg
C
C
t
m mg
mg
m
z
v0 1 e
t
C C
C
1-4 空気抵抗の中の物体の運動
問:-v0=0のとき、落下のごく初期t<<小のとき、
v gt
1 2
z gt
2
と、近似できることを示せ。
-v0がゼロでない時どうなるか考えよ。
C
mg
m t mg
v
v0 e
C
C
C
t
m mg
mg
m
z
v0 1 e
t
C C
C
お話:オームの法則
電界強度中の電荷の運動以下の式で表される。
d 2 x m dx
m 2
eE
dt
t dt
ここでmは電荷の質量、tは運動のライフタイム、Eは電界強度である。
電荷の位置xが時間t=0でゼロ、速度ゼロのとき電界強度によって
生じる電荷の運動は上式を解くことによって与えられる。
問 上式は空気粘性抵抗下での物体の落下の式
d 2z
dz
m
について、
m 2 mg C
C
dt
dt
t
mg eE
とした場合に相当する。時刻tでの電荷の速度を求めよ。
お話:オームの法則
速度は
t
dx et E
t
v
1 e
dt
m
単位面積当たりの電流は
i env
だから電流値は、
t
e2nt E
t
i env
1
e
m
となる。ここで取り扱う時間tが電荷の運動のライフタイムτよりずっと
長い場合を考えよう。このとき、
であるから、電流と速度は、
e 2nt E
i~
m
となり、時間に依存しない量となる。
お話:オームの法則
2
よって面積Sを通過する電流Iは I S e nt E
m
であり、電界強度が一定なら、距離Lで電位降下はV=EL
となるから、
S e2nt
I
V
L m
電流は電圧に比例する。
これがオームの法則である。
e2nt
係数
を物質の電気伝導率という。
m
1
m
r
係数
を物質の電気抵抗率という。
2
e nt
抵抗は R L r L 2m
である。
S
S e nt
1-4 練習問題
問2
初速18 km/hで平らな凍結した路面に滑りこんだY君の乗った橇が
静止するまでに進む距離を求めよ。ただし、路面と橇との間の動摩
擦係数は0.05とする。
1-4 練習問題
問:本日の授業で空気抵抗中の物体の速度v と位置z は
次の式で書けることを学んだ。
mg
m t mg
v
v0 e
C
C
C
t
m mg
mg
m
z
v0 1 e
t
C C
C
C
この運動はC→0 のとき、通常の自由落下運動の速度、
位置と一致することを示せ。
1-4 練習問題
問:Z 方向に重力加速度を受けて落下運動する質量m
の物体が速さv で運動するとき、v及びv 2 に比例する抵
抗力F =-Cv +D v 2 を受けるとする。十分時間がたった
後、この物体の速度がどうなるか考えよ。
mg Cv Dv2 0
C C 2 4mgD
v
2D
1-4 練習問題
問1:角運動量ベクトル L t r t p t
d L t
を時間微分すると
r t F t
dt
となる。図のようにX-Y平面において半径rで、
一定角速度ωで反時計回りに回転している
質量mの角運動量ベクトルを時間微分した
とき得られるベクトルの大きさはいくらか。
Y
m
θ
X
M
2.0x10-7
問2:図に示すように同じ質量mの物体を両端につけたばねが外
力を受けずに振動を続けているとき、ばねの振動の角振動数を
書け。
m
k
m
1-4 練習問題
問1 d L t
dt
Y
r t F t
r t ma t
m
r t m r t
2
0
θ
X
M
2.0x10-7
問2
k
K
k
2k
m
m
2
m
k
m
1-4 演習問題
問4
Z 方向に運動する質量m の物体が速さv で運動するとき、v 2 に比
例する抵抗力F = -D v 2 を受けるとする。十分時間がたった後、こ
の物体の速度がどうなるか考えよ。
1-5 単振動と円運動
再び。X-Y平面において半径rを一定角速度ωで回転している質量
mの物体を考えよう。
位置ベクトルは
Y
r r cos t, r sin t
であるから、
運動量ベクトルは
m
p mr sin t, mr cos t
力ベクトルは
F mr2 cos t, mr2 sin t
運動エネルギーは
1
mr 2 2
E
p p
2m
2
θ
X
1-5 等角速度円運動
2
2
F
mr
cos
t
,
mr
sin t
・物体には
の中心向きの力が常に働いている。大きさは
F mr 2
である。
・力によって運動の向きは刻々と変わる。
よって運動量は時間によって変化する。
p mr sin t, mr cos t
・しかし物体の速さの大きさは変わらない。 v r
運動量の大きさも変わらない。
p mr
2
mr
・よって運動エネルギーは時間一定である。
2
2
1-5 等角速度円運動
これらはベクトルは時間変化するが、その絶対値は一定である
性質を持っている。
では、ベクトルそのものが時間不変であるベクトルはあるか?
L t r t mv t
という外積ベクトルを考えよう。
このベクトルの成分はなんと、
L t r t p t 0,0, mr 2
となる。大きさは L mr 2 である。
Lベクトルを角運動量という。これは常に時間一定ベクトル。
不思議ではないか
1-5 等角速度円運動
円運動のX成分だけ取り出してみよう。
x r cos t
Y
p x mr sin t
m
Fx mr 2 cos t
θ
Fx m x
2
Fx kx
X
k m 2
即ち等角速度円運動のひとつの成分は、単振動の運動をする。
周期は
2
m
T
2
k
角振動数は
k
m
1-5 単振動
運動方程式は、
d 2x
m 2 kx
dt
で、このような形の方程式の解は
k
x a cos(t ),
m
の形になる。このような形の一つの角振動数の三角関数で表される
ような運動を、単振動(調和振動)という。
例えば、右図のような、ばね定数k、質量m
m
のおもりがついたばねの運動は単振動周期
k
運動である。
単振動は、半径aの円周上を定角速度ωで回転する点の正射影と
同じ運動である。
1-5 単振動
F君の文句:ばねの自励運動は典型的な相対運動だ、と先生は解
説された。下図の場合、重心はばねの真ん中にあり、それは物体m
の二分の一の変位で動いているのではないですか?重心が動くな
らこれは純粋相対運動ではないと思う。
m
k
Y君の答え:大変良い指摘です。しかし、
ばねをとめている壁は大変重い。しかし運動量を保存するため
に物体mの運動とは逆位相で少しは動いていると考えるのが自然
だろう。重心は壁に限りなく近く、そしてそこは不動である。よってこ
のばねは純粋相対運動である。では質問、上図の場合の換算質量
を求めよ。
1-5 バネの難問
2つの質量mの物体がそれぞれバネ常数kに繋がれて振動して
いる。さらに物体同士が新たなバネで繋がれている場合の運動
を調べよう。
2
1
k
m
k*
m
k
Na君の予言:・1と2が同位相で動く時角振動数はAである。
・1と2が逆位相で動く時角振動数はBである。
・よって1と2はAとBの角振動数の合成振動
になる。
No君、AとBを理由を付けて予想せよ。
1-5 バネの難問
物体1と2の運動の式はそれぞれの変位をx1,x2とすると、
x1
x2
d 2 x1
*
2
m 2 kx1 k x1 x2
1
dx
d 2 x2
*
m
m
k
m
kx
k
x1 x2
k*
2
2
dx
となる。上式は X= x1+x2, Y= x1-x2 とおいて解くように教
わった。
d2X
m 2 kX
dx
d 2Y
m 2 k 2k * Y
dx
k
1-5 バネの難問
X及びYは振動数、
k
m
*
と k 2k
m
で振動する単振動である。
k
X X 0 cos
t
m
とおけば、
k 2k *
Y Y0 cos
t
m
X Y X0
k
Y0
k 2k *
x1
cos
t cos
t
2
2
m
2
m
X Y X0
k Y0
k 2k *
x2
cos
t cos
t
2
2
m
2
m
ふたつのバネを新たなバネでつなぐことにより、2つの異なる振
動が生じた。不思議!
1-5 バネの簡単な問題
問 変位に比例する力が働く質量mの物体の運動方程式を
と書く。
d 2x
m 2 kx
dt
(1)
k/m
とする時、
(a)(ⅰ) x A cos t
(ⅱ) x A sin t
(ⅲ) x B sin t B cos t
は、いずれも式(1)の解である事を示せ。但し、A,B,δ、εは任意
定数である。
1-5 バネの簡単な問題
問 変位に比例する引力が働くとき、質量mの物体の運動方程
式は
d 2x
m 2 kx (1)
dt
で表される。
k/m
とする時、
(b)次の初期条件が与えられた時の解を
x A cos t
の形に書いてみよ。
(ⅰ)t=0でx=a,v=0
(ⅱ)t=0でx=0,v=v0
(ⅲ)t=0でx=a,v=v0ただし、a,v0>0
1-5 バネの簡単な問題
問 変位に比例する力を受けて運動する質量mの質点の運動方程
式
(a)
d 2x
m 2 kx
dt
k/m
(1)
とする時
がある。ただしk>0とする。
x Aeit Beit
が(1)の解である事を示せ。但しA,Bは任意定数である。
(b)問(a)の解で初期条件がt=0でx=0,v=v0である時の解を求め
よ。
(c)質点に更に一定の力Fが加わった時の運動方程式は
d 2x
m 2 kx F
dt
である。この方程式の一般解を求めよ。
(d)問(c)の解で初期条件がt=0でx=0,v=v0である場合の解を求めよ。
1-5 バネの簡単な問題
問 角振動数 ω0 (固有振動数という)で単振動するば
ねに外力を加える。外力は A1, A2, ω1, ω2 を任意の
定数として
F = A1sinω1t + A2sinω2t
の形に書けるという。ω1 または ω2 がω0 に近いとき、
どのようなことが起こるか?
1-5 円運動と単振動
地球の重力により、図の矢印の方向に
運動する2つのシャトルを考えよう 。
シャトルAは北極から南極に貫くトンネ
ルを通る。シャトルBは地表すれすれを
一定速度で周回する。地球は真球であ
り、半径R、密度は均質な質量Mである。
シャトルは質量mであり、十分小さい。
トンネルも十分小さい。地球中心を原
点Oにとる。トンネルを貫く軸をY軸にと
り、図のようなX-Y平面をシャトルは運
動する。Z軸は紙面鉛直上向きが正で
ある。空気の抵抗は考えないとする。
地球は自転していないとする。
時間ゼロでシャトルは北極点におり、
右回りとする。
m
地球
北極点
Y
(0,R,0)
B(x,y,0)
A
θ
O
X
1-5 円運動と単振動
地球とシャトルの間に働く力は、 F G
GM
F mg だから、 g 2
R
mM
GM
m 2
2
R
R
である。
M= 5.974x1024 kg R= 6.37x106 m
計算すると g =9.81 m/s2 である。
重力加速度は地表いたるところで一定であり、地球の中心方向を
向いているから、X-Y平面上では a g cos , g sin ,0
の形をしている。
GM
2
加速度の大きさ a R g 2
R
角速度は
周期は
GM
R3
ケプラーの第三法則
R3
R
R
T 2
2 R
2
=5060 s !
GM
GM
g
1-5 円運動と単振動
2 R
GM
gR =7.9x103 m/s !
速度の大きさは v R
T
R
運動量の大きさは P mv mR m gR
運動エネルギーは
P 2 mGM mgR
E
2m
2R
2
もしシャトルの重さが10トンだとすると、 E=3.1x1010 J !
最後にシャトルの位置は、時刻ゼロで北極点、右回りだから
r t R cos t , R sin t ,0
2
2
1-5 円運動と単振動
地球トンネルを動くシャトルの場合を考えよう。
(0,y,0)にいるシャトルに働くY方向の力は、(x,y,0)にいる周回シャ
トルが受ける力のy成分に等しい。
d2y
2
Fy ma y m 2 m R sin t m 2 R cos t
dt
2
m 2 y
だから、運動の式は
加速度は
Fy m 2 y
d2y
a 2 2 y
dt
となる。これはバネの問題と同じである。
1-5 円運動と単振動
式を解くまでもなく答えは求められて、
シャトルの位置は(y軸上) y R sin t R cos t
2
dy
3
v
t
R
sin
t
gR
sin
t
7.9
10
sin t
速度は
dt
運動量は P t mv m gR sin t
運動エネルギーは
周期は
2
mgR 2
E
sin t
2
R
T
2
5060s !
g
1-5 円運動と単振動
地球トンネルを動くシャトルの運動のまとめ
1.北極にいるときの
速度はゼロ、加速度の大きさは 2 R g
2.地球の中心で速度最大=7.9x103m/s,これは周回シャトルの
速度と同じ。加速度はゼロ。
mgR
3.運動エネルギーは北極でゼロ、地球中心で最大
2
これは周回シャトルの運動エネルギーと同じ。
4.北極から南極まで行って帰ってくるのに5060秒かかる。
これは周回シャトルの1周期と同じ。
5.運動は往復周期振動運動。バネの運動と同じ。
1-5 円運動と単振動
GM
万有引力を見直してみよう。 F m 2
R
地球の密度をρとすれば、
だから
地表での重力加速度は
4
M R 3
3
4G
F m
R
3
4G
ag
R
3
地球トンネルのシャトルが感じる加速度の大きさは、
4G
a y
y
3
2
このことは、地球の中心から距離yにあるシャトルが受ける重力的
力は地球と同じ密度を持つ半径yの球状物体から受ける力と同じ
であることを示している。
1-5 円運動と単振動
重力の大きさ
問: 前ページの議論を参考にして、あなたが地球から受ける重
力の大きさを中心からの距離の関数として下のグラフに描け。
0
R
(半径)
距離
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
質量mの静止していた物体が力Fを受けてΔt秒間にΔrだけ
移動したとしよう。
物体が受ける仕事はW=FΔrである。
Δt秒間にΔrだけ移動したのだから
r
その間の平均速度は vav
である。
t
しかし最初はv=0であった。ということは、
Δt秒後は v final
r
2
になる。
t
Δr
Δt
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
仕事mechanical workは、
W F r Fvav t Fv final
t
2
Δr
Δt
と書くことができる。
力積(impact)はFΔtであり、これは運動量の変化量である。
静止していた物体は、力を及ぼされたことにより運動量を獲
得する。
mv final F t
仕事によって物体は力学的運動エネルギーを獲得する。
K W Fv final
t 1 2
mv final t
2 2
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
位置r1からrnまでに物体に与えた(損した)総仕事量を
求めたい。力の向きを考慮して
n
W F j r j 1 r j
j 1
もし、仕事が始めと終わりの点のみで決まり、途中の経
路によらないとする。このとき力と仕事の関係を
U r F (r) d r
r
r1
と書くことができる。微分形式で書くと
U U U
F (r ) gradU r
,
,
x
y
z
Uを位置のエネルギー、ポテンシャルエネルギーという。
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
与えた仕事により物体は運動エネルギーを獲得するので、
ポテンシャルエネルギーの変化量+運動エネルギーの
変化量=0となる。
即ち、位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの
和はいつも一定である。
F ( r ) gradU r
力が
のような位置の関数で表
されるとき、この力を保存力 Conservative force という。
このとき、
位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和はい
つも一定である。
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
もし、物体が保存力の力によりある地点から移動して、再
び元に戻ったとする。このときポテンシャルエネルギーは
出発時点ともとに戻った時点では変わらない。よって運動
エネルギーも元に戻る。仕事ゼロ。エネルギーはもちろん
保存する。
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
問: 以下の力は保存力か?
1)
Fx kx
Fy ky
2)
kx
Fx 2
x y 2 c2
3)
Fx 4kx 3ky
保存力
ky
Fy 2
x y 2 c2
Fy 2kx
保存力
保存力ではない
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
問 スカラー関数Aは gradA 0 が常に成り立つこと
を示せ。
A A A
gradA(r ) , ,
x y z
gradA x
gradA z gradA y
y
z
A
A0
y z
z y
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
1)
もし
Fx kx
Fy ky
は保存力か?
U U U
F gradU (r )
,
,
ならば、
y
z
x
Fy Fx
Fx
2U Fy
0
y
yx x
x
y
Fy
2U Fz
z
zy y
Fz Fx
0
y
z
Fz
2U Fx
x
xz z
Fx Fz
0
z
x
F 0
kx
ky
0
y
x
ならば、Fは保存力である。
保存力&一回りで仕事ゼロ
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
2)
kx
Fx 2
x y 2 c2
ky
Fy 2
x y 2 c2
Fx
kx
2kxy
2
2
2
2
2
2 2
y y x y c
x y c
Fy
ky
2kxy
2
2
2
2
2
2 2
x y x y c
x y c
保存力&仕事ゼロ
1-6仕事とエネルギーとポテンシャルの問題
Fx 4kx 3ky
3)
Fy 2kx
Fx
4kx 3ky 3k C(0,b)
y y
B(a,b)
Fy
2kx 2k
x x
O
A(a,0)
保存力ではない。一周した場合
仕事あり。
もし、 Fx 4kx 2ky なら保存力だった。だから、余るのは
kyである。OA,BCについて力kyの仕事が、一周したときの仕事。
A
O
A
Fx dx kydx 0
仕事は-kba
O
C
B
C
Fx dx kydx kba
B
簡単な問題
重力がなく、空気抵抗もない空間で、図のように
バネにつながれた質量mの物体を、自然長を
原点として、原点からx0だけ引き伸ばし、時刻
k
ゼロで手を離した。
1)時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。
m
x
2)物体に働く力、F(t)を求めよ。
3) 力のF(t)のポテンシャルエネルギーを求めよ。
4) x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。
5) 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。
6) -x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。
7) 0からx0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。
簡単な問題
k
t
m
1)
x x0 cos
2)
F t kx kx0 cos
3)
4)
F gradU
W
0
x0
U
k
t
m
1
kx 2
2
k
F dx x0 2
2
x0
k 2
x0
2
5)
W
6)
k 2
W F dx x0
x0
2
x0
k 2
W F dx x0
0
2
7)
0
0
F dx
k
m
x
簡単な問題
以下の力は保存力か?
1.
F kx,0
保存力
2.
F kx, kx
保存力ではない
3.
万有引力
4.
粘性抵抗力
Mm
F G 3 r 保存力
r
保存力ではない
簡単な問題
力 F ( x, y ) は保存力であり、力の
方向を右図の上に書くと放射状の矢印
になる。以下の力は保存力か否か、を
答え、力の方向を右図にならって描け。
1) F ( y, x)
2) F x, x
Y
O
X
簡単な問題
Y
力 F ( x, y ) は保存力であり、力の
方向を右図の上に書くと放射状の矢印
になる。以下の力は保存力か否か、を
答え、力の方向を右図にならって描け。
1) F ( y, x)
2)
Y
O
O
X
F x, x
Y
X
O
X
簡単な問題
問:平面内で運動する質点に働く力 f の直角座
標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数)と書けたとす
る。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力な
らポテンシャルエネルギーを求めよ。
問:平面内で運動する質点に働く力 f の直角座
標成分が fx=axy, fy=by2 (a,bは定数)と書けたと
する。fが保存力であるかどうか調べよ。
X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径r
の円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合
のfのする仕事を求めよ
簡単な問題
問:平面内で運動する質点に働く力 f の直角座標成分が
fx=axy, fy=ax2/2(aは定数)と書けたとする。fが保存力であ
るかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギー
を求めよ。
1
U ax 2 y C
2
問:X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円
周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕
事を求めよ。
円周:
弦:
1
W f x dx f y dy b a r 3
3
1
a 3
W b r
3
2
F君の疑問
F君:保存力がよくわからんのですが
先生:君の頭では当然だろう。
F君:それじゃ困るじゃないですか・・
先生:その通り。
F君:たとえば、以下のような2次元の力を考えます。
F kx, kx
先生の解説によるとこれは保存力ではありません。
先生:その通り。
F君:しかし、x成分はばねの力です。ばねの力は保存力だった
んじゃないですか?
先生:その通り。
F君:例えば、x0→0 →-x 0 → 0 → x 0 の経路を考えた時、Fの
する仕事の合計はゼロじゃないですか?だったらFは保存力じゃ
ないのかな?
F君の疑問
先生:あらゆる経路を考えたとき仕事の合計がゼロにならなけれ
ばならないのです。一つでも例外があればダメ。
F君:つまり部分点なし?
先生:無し!
(0,0) → (x1,0) → (x1,y1) → (0,y1) → 0
の経路でのFのする合計の仕事を求めてみよう。
F君:それは簡単です。
1 2
1 2
W k x1 x1問
y1 題 x1 0 kx1 y1
2
2
F君:やや!なんと合計はゼロにならないじゃないですか?
おかしいな?
先生:少しもおかしくないぞ、次の問題を考えてみよう。
F君の憂鬱
y
ジェット気流が図の矢印方向に
B(0,q)
吹き、A点(p,q)にいる飛行機は水平
右方向の力を受ける。ジェット気流は
上空程強く力は高さに比例するとする。
A
F jet (ay,0)
もちろん重力の力も下向きに飛行機
に働く。
O
F gr (0, mg )
(1)これらの力の合計の力は保存力かどうかを、A→B→OとA→O
との経路で飛行機がもらう仕事を求めて考察せよ
(2)飛行機がO点に到達するのにもっとも消費エネルギー少なく到
達する経路はどのような経路か?
x
F君の憂鬱
A→B→Oでもらう仕事:
WABO aydx mg dy aqp mgq
0
0
p
q
A→Oでもらう仕事:
WAO
O
A
0
q
F dr aydx mg dy a xdx mg dy
q
q
q
q
p
0
aqp
mgq
2
0
0
F君の憂鬱
F君:なるほど、ジェット気流の仕事は経路によって違いますね。
これに対して重力は同じ・・・・わかったかも!
重力は保存力、ジェット気流力は非保存力、合計の力は非保存力
ということですか?
先生:その通り。
F君:保存力は一回りして元に戻っても損得なし、
非保存力は損か得かあり、ということですか?
先生:その通り。
F君:それじゃ私が解説してあげましょう!
先の問題 F kx, kx は、 F kx,0 が保存力、
F 0, kx
先生:その通り。
が非保存力ですね。合計は非保存力。
F君の憂鬱
F君:非保存力がぱっとわかる方法はないんでしょうか?
先生:ここいらが、F君の限界か?
F君:・・・・・・・・・・
先生:
F 0
F君:・・・・数式は苦手・・・・・
先生:文句言うな。
F君:そこをなんとか、タダでもう少し教えてください、お願いします。
先生:力ベクトルFが、 F gradU の形をしているとき、必ず
F 0 なんです。
F君:ふ~んそんなもんか?
先生:ふ~んじゃない、既に勉強したことです。
F君:じゃあ、ばねの力はどうやればできるんですか?
先生:既に勉強したことです。
U
1 2
kx C
2
F gradU kx, 0, 0
F君の憂鬱
F君:じゃあ、これはどうかな?
1 2 1 2
U kx ky
2
2
先生:
F gradU kx, ky, 0
F君:2次元バネですね。
先生:そうだね、しかし、決して F kx, kx,0 にはならない。
F君:なるほど、なんか名案ないかな?
1
U kxy で勝負!
2
先生:名案だが、残念でした。 F gradU ky, kx, 0
F君:惜しい・・
先生:ちょっとも惜しくない。
F君:
F kx,0,0 F kx, ky, 0 F ky, kx, 0
は保存力で、
F kx, kx, 0
は保存力ではない・・・・・不思議・・・・
F君の憂鬱
F君:納得いかないので、
F ky, kx, 0
について、(0,0) → (x1,0) → (x1,y1) → (0,y1) → 0
の経路でのFのする合計の仕事を求めさせて下さい。
先生:どうそどうぞ、
F君:
W k 0 x1問
y1 題
x1 y1 0 0
なるほど、2経路目と3経路目が打ち消し合うんですね。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
先生、大発見しました!
F君の憂鬱
F君:
U ax by cz
F a, b, c
です。
すなわち、場所によらず一定の力は必ず保存力です!
先生:なるほど。
F mg , 0, 0
F君:たとえば、重力は
これは自信をもって保存力です。
先生:F君にしてはよくできました。
ではいじわる問題。
「垂直抗力により生じる摩擦力は保存力か?」
F君:私に任せなさい、
垂直抗力により生じる摩擦力は Nμ です。一定です。
よって保存力です。
でも摩擦でエネルギーは必ず失われるな?おかしいな?
どうも引っかかったようです。
2-1惑星と人工衛星
万有引力
ケプラーの第一法則:楕円軌道
ケプラーの第二法則:面積速度一定
(角運動量一定)
ケプラーの第三法則:周期の2乗と軌道長軸半径の3
乗の比は一定
2-1惑星と人工衛星
F a r r
このような力を中心力という。
万有引力は中心力である。
そして保存力である。
ポテンシャルエネルギーは
Mm
F G 3 r
r
Mm
U G
r
Fを満たす運動の軌道を調べよう。
2
d r
Mm
F m 2 G 3 r
dt
r
2-1惑星と人工衛星
r r cos , r sin , 0 とおく。
dr
r cos r sin , r sin r cos , 0
dt
d2r
2
dt
, r r sin 2r r cos , 0
r r 2 cos 2r r sin ,
2
中心力だから、
2r r 0
であり、
2rr r 2 0
2-1惑星と人工衛星
よって、
r 2 rr C
これを角運動量保存則という
中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。
角運動量ベクトルは L r p
問:
である。
r r cos , r sin , 0 のとき、
運動量ベクトル成分を求めよ。
角運動量ベクトル成分を求めよ。
rr C のとき、角運動量が保存することを確かめよ。
2-1惑星と人工衛星
問: r r cos , r sin , 0 のとき、
運動量ベクトル成分
p m r cos r sin , m r sin r cos , 0
角運動量ベクトル成分
L r p 0, 0, mrr
もし、 rr C
なら L 0, 0, mC 0, 0, L
2-1惑星と人工衛星
再び、
d2r
2
2
m 2 m r r cos , m r r sin , 0
dt
d2r
Mm
F m 2 G 3 r
dt
r
だから、大きさを比較して
GMm
mr mr
2
r
mr 2 L を使うと、
2
L2
M
r 2 3 G 2
mr
r
2-1惑星と人工衛星
よって、中心力
d2r
Mm
F m 2 G 3 r
dt
r
から、
mr 2 L 角運動量一定が得られ、
rの運動について
L2
M
r 2 3 G 2
mr
r
が得られる。
この式は難問です・・・・・・
2-1惑星と人工衛星ー宿題
問
D
1 cos
r
L2
M
r 2 3 G 2
mr
r
は
を満たす関数である。
DをL,m,M,Gで表せ。
L2
D 2
m GM
D
1 cos
問 以下の条件での
r
ε=0のとき
ε <1のとき
ε >1のとき
rの軌道の絵をかけ。
2-1惑星と人工衛星
D
1 cos
r
L2
M
r 2 3 G 2
mr
r
ε=0のとき円軌道
L2
D 2
m GM
は
を満たす。
L2
D 2
m GM
ε <1のとき楕円軌道
ε >1のとき双曲線軌道
軌道の形は運動エネルギー(速度)によって決まる。
2-1惑星と人工衛星
XY平面上で
1
1 2 cos の絵を描け。
r
10
8
6
4
2
0
-2 0
-10 -8 -6 -4 -2
-4
-6
-8
-10
系列2
系列1
2
4
6
8 10
2-1惑星と人工衛星
運動エネルギーを考えよう。
D
1 cos
r
r
D 2 sin
r
L2
D 2
m GM
mr 2 L
L
Dr sin
m
dr
v
r cos r sin , r sin r cos , 0
dt
2
2
L
L
v 2 v v r 2 r 2 2 2 sin 2 2 2 2 2
D m
r m
2
2
2
1
1
1
L
sin
1
2
2
2 2
mv m r r
2
2
2
2
2 m
D
r
2-1惑星と人工衛星
2
2
2
1
1
1
L
sin
1
2
2
2 2
K mv m r r
2
2
2
2
2 m
D
r
2 sin 2
1
1
DmMG
2
2
2
D
r
ε=0のとき運動エネルギー最少
ε が大きくなると運動エネルギー大きくなる。
2-1惑星と人工衛星
Kとε の関係をもっと調べよう
2
2
2
1
1
1
L
sin
1
2
2
2 2
K mv m r r
2
2
2
2
2 m
D
r
2 sin 2
1
1
D
DmMG
2
2
1 cos
2
D
r
r
1
2 sin 2
1 cos
mMG
2
r
r 1 cos
mMG 1 1 2 cos 2
r
2
1 cos
mMG 1
1 2 1 cos
r
2
2-1惑星と人工衛星
mMG 1
K
1 2 1 cos
r
2
ε=0のとき運動エネルギー最少
もともとポテンシャルエネルギーは U G Mm
r
だから、
1 Mm
K U G
2
r
ε が大きくなると運動エネルギー大きくなる。
K U 0 になる条件は
mM
K G
r
2-1惑星と人工衛星
1 2 1 cos 2
になるチャンスは、
のとき。
1
楕円、円運動ではK+U<0であり、無限遠方には行くことができない。
1のときはじめて、重力ポテンシャルに打ち勝って無限の彼方
に行くことができる。その時の運動エネルギーは、
mM
K G
r
mM
K G
mgR
地球上では、
R
1
K
mv 2から、
v 2 gR
速度は
2
2-1惑星と人工衛星
v
2 gR
既に出た、
を第二宇宙速度という。
v
gR を第一宇宙速度という。
問:第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味を考えよ。
問:双曲線軌道をとり地球に近づいた小惑星は、地球をの近く
を通り過ぎた後、再び地球に近づくのはいつか?
2-1惑星と人工衛星
地球を周回する人工衛星問題を纏めよう。
シャトルに地球が及ぼす力は、
Mm
F ma G 2
である。
r
Mm
r~Rなら、 F ma ~ G 2
R
加速度の大きさ
角速度は
線速度は
周期は
m
r
R
地球M
GM
a R g 2
R
GM
第一宇宙速度
7.9 km/s
R3
GM
GM
v r ~ R
gR
3
R
R
2
R3
R
R
T 2
2 R
2
GM
GM
g
=5060 s !
2-1惑星と人工衛星
一般の場合:
力は、
m
Mm
F ma G 2
r
2
GM
R
加速度の大きさ a r 2 2 g 2
r
r
角速度は
線速度は
周期は
GM
3
r
R
地球M
g R
r r
GM
v r
r
2
r
g
R
r
r3
2 r
T
2
GM
R
r
g
ケプラーの第3法則
2-1惑星と人工衛星
再び地上すれすれの人工衛星の場合 r~R
速度:
r
v gR
1 2 mgR
mM
運動エネルギー: E mv
G
2
2
2R
ポテンシャルエネルギー
m
R
U G
R
地球M
Mm
Mm
dr
G
r2
R
Mm
Mm
Mm
E U G
G
G
2R
R
2R
2-1惑星と人工衛星
m
エネルギーの考え方:
U=0: 地球の重力の及ばない無限遠方
r
R
地球M
K+U<0
地球の重力に捕まっている運動。
無限遠方には決して行けない。
K+U=0
地球の重力ポテンシャルエネルギーに
丁度打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。
無限遠方で運動エネルギーゼロ。
K+U>0
地球の重力ポテンシャルエネルギーに
遥かに打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。
無限遠方で運動エネルギー正。
2-1惑星と人工衛星
v gR
E U G
の場合はどうか?
K+U<0
m
Mm
2R
地球の重力に捕まっている運動。
無限遠方には決して行けない。
r
R
地球M
である。
第二宇宙速度
v 2gR
K U 0
の場合はどうか?
K+U=0
である。
地球の重力ポテンシャルエネルギーに
丁度打ち勝つ運動エネルギーを持つ運動。
無限遠方で運動エネルギーゼロ。
2-1惑星と人工衛星
再び一般の場合:
m
r
周期は:
2
r3
2 r
T
2
GM
R
r
g
R
地球M
地球の自転周期をT0とする。
2 r
T0
R
T=T0の場合のrは?
1/ 3
T0 R g
r
4 2
2
2
r
g
は静止衛星の地球の中心からの距離。
中間テスト
1.日時:
12月22日(木) 4,5限
試験時間:90分程度
2.場所:
1321番教室
3.試験範囲:
教科書1部、2部、12月1日までの授業、12月15日
までの演習・宿題内容、及び補講内容。
4.注意:
・集合時刻厳守のこと
・途中退出は認めない
・全員受験必須
・資料持込不可
2-2加速度系での運動
L t mr t v t
r t mv t r t p t
という外積ベクトルが角運動量ベクトル。
X-Y平面を半径r角速度ωで等速度円運動している質量
mの物体の角運動量は
L t mr t v t 0, 0, mr 2
角運動量の大きさは、質量に比例する。角速度に比例する。
半径の2乗に比例する。半径が大きいほうが運動量大きい。
2-2加速度系での運動
d L t を力のモーメントという。
N
さらに
dt
d L t d
N
r t p t
dt
dt
v t p t r t F t r t F t
力Fと位置ベクトルrの向きが平行か反平行なら必ず、
よって、
r t F t 0
d L t
N
0
dt
力のモーメントはゼロ、角運動量ベクトルは時間不変。
2-2加速度系での運動
力の向きが、位置ベクトルと反対向きの場合を中心力
という。
例)円運動、バネの運動など
中心力で運動する物体の角運動量は不変である。
ー角運動量保存則ー
地球周回運動する衛星に働く力は地球の中心向きであり角運
動量は保存する。角運動量の大きさは、
L m r v m r r mr 2
m GMr mR gr
GM
r3
ケプラーの第2法則
2-2加速度系での運動
問:右図のように紐に質量mの物体をつけて回転運動
をさせる。始め紐の長さは2bである。角速度をω0とした。
1.物体mに働く力の大きさと向きを書け。
2
F mr 2mb
2.物体mの速度の大きさと向きを書け。
2
0
2b
v r 2b0
3.物体mの運動量の大きさと向きを書け。
p mv 2mb0
4.物体mの運動エネルギーの大きさを書け。
2
p
K
2mb202
2m
5.物体mの角運動量の大きさと向きを書け。
L rp 4mb20
6.紐を引っ張る力Tの大きさと向きを書け。
T
ω0
m
2-2加速度系での運動
問:次に中心方向に紐を引っ張って半径を半分のbにし
たところ、角速度はωになった。
2b
ω0
7. ωを求めよ。
8.物体mの速度の大きさは何倍になったか?
9.物体mの運動エネルギーは何倍になったか?
10.紐を引っ張る力Tの大きさは何倍になったか?
11.運動エネルギーの変化を議論せよ。
T
ω
b m
m
2-2加速度系での運動
7. 中心力は角運動量を変えないから、
L m 2b 0 mb 2
2
40
8.速度は 2b0 から 4b0 に2倍になった。
9.運動エネルギーは4倍になった。
10.紐を引っ張る力Tの大きさは
T 2mb02 から 16mb02 へ8倍になった。
11.運動エネルギーの変化:
半径をrとすると、 L mr 2 4mb20
4
2
16b
2
0
T
mr
m
張力は
3
r
4
2
b
b
2 2b
16b 0
8mb 0
2
2
W Tdr m
dr
6
mb
0
2b
2b
r3
r2
b
運動エネルギーはW仕事分だけ増加した。
4
2b
ω0
m
T
ω
b m
2-2加速度系での運動
右図のように紐に質量mの物体をつけて角速度
ω0の回転運動をさせる。始め紐の長さは2bで
ある。そして中心方向に紐を引っ張って半径
を半分のbにしたところ、角速度ωは4倍の、
4ω0になった。そして、線速度vは2倍の4bω0に
なった。
あなたが、物体mの中に居るとしよう。
紐で引っ張られて中心方向に移動すると、上述の
ように物体の移動速度が大きくなる。あなたは物理
を良く勉強しているので、物体mが進行方向に押さ
れて速度が速くなったと思うだろう。しかし、実際は
物体mは中心方向にしか引っ張られていない。
不思議ではないか!
2b
ω0
m
T
ω
b m
2-2加速度系での運動
時刻tにおいて物体は中心から位置rのところ
にいるとする。そして一定速度-vで中心方向に
引っ張られているとしよう。
r
ω0
m
物体の角運動量が時間にたいして一定である特徴を
つかって解析してみよう。
L mr
2
である。Lは時間に対して一定だから
dL dmr 2
dr
2 d
2mr mr
0
dt
dt
dt
dt
d
dr
mr
2m 2mv
dt
dt
T
ω
b m
2-2加速度系での運動
d
mr
dt
は物体の回転方向の運動量の時間微分なので
回転方向に働く力である。
d
F mr
2mv
dt
とは、回転方向に
これを
2mv
の力が働くことを意味している。
コリオリ 力
という。
コリオリ力によって回転方向の速度がどのように変化するかを
調べよう。
2-2加速度系での運動
角運動量保存とは、
dL dmr 2
dr
d
dr
2 d
2mr mr
mr 2 r
0
dt
dt
dt
dt
dt
dt
だから、 2 dr r d 0
dt
dt
d r
dr
d
回転線速度の変化率は、
である。
r
dt
dt
dt
dr
上の関係式を用いると、 d r
dt
dt
となる。よって、紐が2bからbまでの線速度の変化分△(rω)は、
r
b
v
0
b
b
d r
dr
v
dt dt dr
0
2b
dt
dt
2-2加速度系での運動
L m4b20 mr 2
4b 20
だから、
であり、線速度の変化分△(rω)は、
2
r
4b20
r
dr 2b0
2
2b
r
b
紐が2bのとき、線速度は 2b0 だったから、
紐がbになったときの線速度は 4b0 である。
2-2加速度系での運動
問 あなたは小さな一定角速度ωで反時計回りに回転している
大きな平らな円盤の上&端に立っている。
1)今、あなたは速度vで円盤の上を円盤の中心に向かって走
り出したとする。あなたが受ける力の大きさと向きを答えよ。
2)円盤の中心に到達したあなたは、今度は元いた地点に向
かって、同じく速度vで走り出した。ことき、あなたが受ける力
の大きさと向きを答えよ。
2-2加速度系での運動
問 質量mの小さな固い物質が等速度vで
x軸に平行に走っている。時刻t=0でY軸上
r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△t秒間を要して反
射し、向きをY軸方向に変えて同じ速度vで
運動を続けたとする。
1)t<0のとき、物質の位置と運動量の
x、y成分を書け。
2)t>0のとき、物質の位置と運動量の
x、y成分を書け。
3)壁との衝突により物質mが受ける力積のx、y成分を書け。
4)t<0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。
5)t>0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。
6)壁との衝突により物質mが受ける力のモーメントの
衝突している時間の合計の大きさと向きを書け。
2-2加速度系での運動
問 質量mの小さな固い物質が等速度vで
x軸に平行に走っている。時刻t=0でY軸上
r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△t秒間を要して反
射し、向きをY軸方向に変えて同じ速度vで
運動を続けたとする。
1)t<0のとき、物質の位置と運動量
( x, y ) ( vt , r0 ), ( px , p y ) ( mv, 0)
2)t>0のとき、物質の位置と運動量の
( x, y ) (0, vt r0 ), ( p x , p y ) (0, mv )
3)壁との衝突により物質mが受ける力積のx、y成分を書け。
( I x , I y ) ( mv, mv )
4)t<0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。
mr0 v 紙面上向き (0, 0, mr0v )
2-2加速度系での運動
問 質量mの小さな固い物質が等速度vで
x軸に平行に走っている。時刻t=0でY軸上
r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△t秒間を要して反
射し、向きをY軸方向に変えて同じ速度vで
運動を続けたとする。
5)t>0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。
ゼロ
6)壁との衝突により物質mが受ける力のモーメントの
衝突している時間の合計の大きさ(時間積分)と向きを書け。
(0, 0, mr0 v )
中間テスト
1.日時:
12月22日(木) 4,5限
試験時間:90分程度
2.場所:
1321番教室
3.試験範囲:
教科書1部、2部、12月1日までの授業、12月15日
までの演習・宿題内容、及び補講内容。
4.注意:
・集合時刻厳守のこと
・途中退出は認めない
・全員受験必須
・資料持込不可
補習情報
物理学基礎・物理学基礎演習:12月14日(水)3,4限
線形代数学Ⅱ:12月20日(火)1,2限
3-1 重心座標
複数の物体の運動は重心の運動と相対運動に分けられる。
質量mA、位置 rAとmB、rBとの2つの物体の運動を考えよう。
簡単のために2次元平面運動とする。
物体の位置は r A x , y ,0 r B x , y ,0
A
A
B
B
重心の位置は r G x , y ,0 m A r A mB r B
G
G
m A mB
m A x A mB x B m A y A mB y B
,
,0
m A mB
m A mB
3-1 重心座標
rAとrBを重心を使って表すと、
r A x A , y A ,0
mA x A mB xB mB x A mB xB mA y A mB yB mB y A mB y B
,
,0
m A mB
m A mB
m A mB
m A mB
mB x A mB xB
mB y A mB y B
xG
, yG
,0
mA mB
mA mB
r B xB , yB ,0
m A x A m A xB
mA y A mA y B
xG
, yG
,0
mA mB
mA mB
3-1 重心座標
従って2つの物体の運動量を重心の速度を用いて表すとそれぞれ、
x
x
y
y
m
v
m
v
m
v
m
v
B A
B B
B A
B B
x
y
P A m Av G m A
, m Av G m A
,0
m A mB
m A mB
x
x
y
y
m
v
m
v
m
v
m
v
A A
A B
A A
A B
x
y
P B mB v G mB
, mB v G mB
,0
m
m
m
m
A
B
A
B
全体の運動量は当然以下のようになる。
P P A PB
m
x
y
m
v
,
m
m
v
,0
A
B
A
B
G
G
3-1 重心座標
それでは2つの物体の運動エネルギーを重心の速度を用いて
表すとどうなるのか?
KA
1
PA PA
2m A
1
m A v Gx 2 v Gy 2
2
1
1
2
mA v G mA
2
2
1
1
2
K B mB vG mB
2
2
x
x
m
v
m
v
1
B A
B B
m A
2
m A mB
m2B v 2A v 2B 2v A v B
mA mB
2
m2A v B2 v 2A 2v B v A
mA mB
2
2
mB v A m B v B
m A mB
y
y
2
3-1 重心座標
従って全体の運動エネルギーは
1
1 mBm A
2
K K A KB mA mB vG
v 2B v 2A 2v B v A
2
2 mA mB
1
1 mB m A
2
mA mB vG
vA vB vA vB
2
2 mA mB
第1項は重心の運動エネルギー
第2項はAとBの相対運動の運動エネルギー
mB m A
m A mB
を換算質量という。
3-1 重心座標
物体A,Bの運動のまとめ
mA r A mB r B mA x A mB xB mA y A mB yB
,
,0
1:重心r G xG , yG ,0
mA mB
mA mB
mA mB
2:全運動量:重心の速度に総質量をかけたもの。
P P A PB
x
y
m
m
v
,
m
m
v
,0
A B
A
B
G
G
3:運動エネルギー:総質量*重心の速度の2乗*0.5
+換算質量*AとBの相対速度の2乗*0.5
1
1 mBm A
2
K mA mB vG
vA vB vA vB
2
2 mA mB
3-1 重心座標
例1 一体並進運動& m mA mB
mAvG mB vG
r A rB
1:重心 r G xG , yG ,0
2
2:全運動量: P P A P B 2mv x , 2mv y ,0
G
2
K
mv
3:全運動エネルギー:
G
G
3-1 重心座標
例2 原点回りに半径rで相対して、角速度ωの回転円運動
rG xG , yG ,0 0,0,0
1:重心
2:全運動量: P P A P B 0,0,0
Y
3:全運動エネルギー:
mA
1m
K
v A v B v A v B mr 2 2
22
X
mB
3-1 重心座標
問
1)あなたm1が速度v1で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか?
2)直径1mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか?
3-1 重心座標
例3 衝突問題に取組もう
固い小さな物体m1、m2の衝突を考える。最初、m1は速度v0でm2
に向かって進み、m2は原点に静止している。空気等の抵抗は無
い。重力等の力は働かない。時刻ゼロで衝突後、物体m1、m2は
速度v1、v2で進むとする。
衝突後
衝突前
m1
m2
m1
m2
v0
v1
v2
A 衝突前:
m1
m1 r 1 m2 r 2
m1
r1
v0t ,0,0
1:重心 r G
m1 m2
m1 m2
m1 m2
2:全運動量:
P m1 v0
m1 2
3:全運動エネルギー: K 2 v 0
3-1 重心座標
B 衝突後、運動量と運動エネルギーが保存されるとき
全運動量保存:
m1v0 m1v1 m2v2
m1 2 m1 2 m2 2
v0
v1
v2
2
2
2
m1 m2
2m1
v1
v0 v2
v0
m1 m2
m1 m2
全運動エネルギー保存:
上2式を解いて、
衝突後:
1:重心
2:全運動量:
m1 r 1 m2 r 2 m1
rG
v0t,0,0
m1 m2
m1 m2
P m1 v0
m1 2
v0
3:全運動エネルギー: K
2
3-1 重心座標
問 物体m1 は衝突によりm 2 に運動エネルギーを与える。衝突前
のm1の運動エネルギーをE0、衝突後のm2の運動エネルギーをE2
とする。エネルギー伝達率E2/E0 が最も大きくなる条件と、その時
のE2/E0の値を求めよ。
エネルギー伝達率E2/E0が最も大きくなる条件:m1=m2
その時のE2/E0 = 1
問 v2の最大値は何v0か?またその時のエネルギー伝達率はい
くらか?
v2が最も大きくなる条件は:m2/m1 =0
Max v2= 2v0
そのときのエネルギー伝達率 = 0
3-1 重心座標
C 運動量はあらゆる場合に保存される、宇宙不変の大原則である。
これに対し、運動エネルギーは保存されるとは限らない。
・例えばポテンシャルエネルギーに変化したりする。
熱エネルギーにも変わる、光エネルギーになる場合もある。
・もし、初め、全エネルギーが運動エネルギーだとする。
運動エネルギーが保存されないイベントがおこった場合、当然運
動エネルギーは小さくなる。
よって、
m1 2 m1 2 m2 2
m1v0 m1v1 m2v2
v0
v1
v2
2
2
2
である。典型的なのは、衝突後一緒に運動する場合である。
m1
衝突前
v0
m2
衝突後
m1 m2
v1
3-1 重心座標
このとき運動量の式は、
m1v0 m1 m2 v1
m1v0
v1
m1 m2
m1
衝突前
v0
衝突後
m1 m2
m2
v1
衝突後の運動エネルギーは
m1 2 m2 2 1 m1
v1
v1
m1 v02
2
2
2 m1 m2
m1 2 1 m1
2
v
m
v
これは当然、
2 0 2 m1 m2 1 0
である。衝突後、運動エネルギーが減少する衝突を非弾性衝突という。
3-1 重心座標
問
1)あなたm1が速度v0で道を歩いていた。枯葉m2が速度v2で体に衝
突した。その後一緒に移動したとする枯葉衝突後のあなたと枯葉の
凡その運動エネルギーはいくらか?
m1 2 m2 2 1 m1
1
2
v1
v1
m1 v0 ~ m1 v02
2
2
2 m1 m2
2
2)直径1mの小さな隕石m1が地球m2に第二宇宙速度でぶつかっ
て地球にめり込んだとする。地球は静止していたとすると、衝突後
の地球と隕石の凡その運動エネルギーはいくらか?
m1 2 m2 2 1 m1
v1
v1
m1 v02 ~ 0
2
2
2 m1 m2