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近似アルゴリズム輪講
第3章 シュタイナー木とTSP
メトリックシュタイナー木問題
• シュタイナー木問題
– 辺に非負のコストが与えられているグラフ、要
求点、シュタイナー点が与えられたとき、全て
の要求点(および任意のシュタイナー点)を含
むコスト最小の木を求める問題。
• メトリックシュタイナー木問題
– 辺のコストが三角不等式を満たすメトリック(距
離空間)に限定した問題。
定理：
シュタイナー木問題からメトリックシュタイナー木問題へ
の近似率保存リダクションが存在する
• シュタイナー木問題のインスタンスIのグラ
フG=(V,E)
↓多項式時間で構成可能↑
• メトリックシュタイナー木問題のインスタン
スI’のグラフG’=(V’,E’)
スパンニング木
• 連結グラフGの全ての頂点を含む部分木
のこと
R上のMSTのコストは
2・OPT以内
タイトな例
1
2
巡回セールスマン問題(TSP)
• 辺に非負のコストが付随する完全グラフが
入力としてあたえられて、全ての点をちょう
ど一度ずつ通る最小コストの閉路を求める
問題
定理：
任意の多項式時間で計算可能な関数α(n)に対して、P=NPでない
限り、TSPをα(n)以内の近似率で近似することは不可能
• 背理法を用いて証明
– 一般のTSP問題に対して、近似率α(n)の多項
式時間近似アルゴリズムAが存在したと仮定
– AがNP困難なハミルトン閉路の存在判定問題
を多項式時間で解けるため、P=NPとなる
2近似アルゴリズム
1. GのMST Tを見つける
2. このMSTの各辺を2重化してオイラーグラ
フを求める
3. このグラフでオイラーツアーtを求める
4. Gの各点をtで最初に現れる順番で並べ
て得られるツアーCを出力する
タイトな例
3/2近似アルゴリズム
1. GのMST Tを見つける
2. Tの奇数次数の点全体の最小コスト完全
マッチングMを求める。MをTに付け加え
てオイラーグラフを求める
3. このグラフでオイラーツアーtを求める
4. Gの各点をtで最初に現れる順番で並べ
て得られるツアーCを出力する
タイトな例