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【第六講義】非線形微分方程式
【前回の復習】
【質問】２次元写像で次のリアプノフスペクトルを持つアトラクタの名称を答えよ．
(a) (-,-) (b) (-,0) (c) (-, +)
(a)周期アトラクター ：
i=0よりリアプノフ次元は，0.
(b)準周期アトラクター ：i=1よりリアプノフ次元は，1.
(c)カオス的アトラクター ：i=1よりリアプノフ次元は，1+α.
【質問】３次元写像で次のリアプノフスペクトルを持つアトラクタの名称を答えよ．
(a) (-,-,-) (b) (-,-,0) (c) (-,0,0) (d) (-,-,+)
【回答】
(a) i=0よりD=0. 周期アトラクタ
(b) i=1よりD=1. １トーラスアトラクタ
(c) i=2よりD=2. ２トーラスアトラクタ
(d) i=1よりD=1+α. カオス的アトラクタ
【状態方程式】
【状態量】
物理系の物理的状態を記述する時間変動量
【例】バネ振り子の状態量：変移 x(t) ，速度 v(t)
フックの法則：バネの作用は，伸びに比例
F = -k x
速度は，変移の時間微分
dx/dt = v
運動方程式：作用は，運動量mvの時間微分
F
mdv/dt = F = -kx
x(t)
【状態方程式】
状態の時間変化を決定する規則
v(t)
dx/dt = v, dv/dt = -(k/m)x
状態方程式が得られたならば，バネ振り子の運動は決定論的に予測することができる．
【微分方程式の初期値問題】
【状態空間】
状態量で張られる空間
v
【自由度】
状態空間の次元
右辺：ベクトル場
dx/dt = v
dv/dt = -(k/m)x
現在の時刻 t =0
x(0)
v(0)
x
【初期値問題】
与えられた初期条件を通過する解(軌道)を求める問題．
初期条件の数量はモデルの自由度に等しい．
系が決定論的であるとは，状態空間の中の交通標識が，
固定されており，永久に変化しないことを意味する．
初期条件が同じであれば，状態空間の中の軌道は，
常に同じであり，現象の決定論的予測が可能となる．
【双対性】
【双対性】自然界における物理法則は，異なる系においても対応関係を持つ．
【質問】電気・磁気系における状態量および機械系における状態量を４つづつ挙げよ．
電気・磁気系
v
電圧
容量
q=Cv
q
電荷
状態量対応表
抵抗
v=Ri
時間微分
d /dt
存在しない
機械系
i
電流
f
作用
誘導
f=Li
弾性
f=kx
f
磁束
x
変移
ファラデーの
電磁誘導則
ハイゼンベルグの
不確定性原理
状態量対応表
抵抗
f=mv
v
速度
時間微分
d /dt
慣性
p=Mv
存在しない
p
運動量
ニュートンの
運動方程式
【不確定性原理】量子レベルの挙動において，変移と運動量は同時に観測不可能．
【等価な状態方程式】
i
【例】発振器の状態量：電圧 v(t)，電流 i(t)
電荷は，電圧×容量
q=Cv
電流は，電荷の時間微分
C dv/dt = -i
電圧は，磁束の時間微分
C
+
V
-
L
df/dt = Ldi/dt = v
dx/dt = v
dv/dt = -(k/m)x
物理系は異なるが等価な
状態方程式となる．
C dv/dt = i
L di/dt = -v
【アナログコンピュータ】目的の微分方程式と等価な状態方程式を持つアナログ回
路を構成し，回路を物理的に動作させて高速に解をシミュレートする計算機．
【ベクトル場と写像】
【定義：ベクトル場 】n次元ベクトル関数F : Rn→Rnをベクトル場という
〔注〕連続力学系，フロー系ともいう
【定義： 軌道】dx(t)/dt=F(x(t))を満足する曲線 {x(t) W : x(0)=x, t R1}
【 定義：平衡点】F(O) = 0を満たす１点集合{OW}
【定義：Poincaré写像】相空間Wにおける平面上の写像P
〔注〕軌道が横断的に交わる領域で定義される
〔注〕連続区分線形ベクトル場の写像Pは，
C1級（１回微分可能，微係数は連続）
P 2x
Px
x
【平衡点】
【定義：平衡点 】F(x*)=0を満たす点を平衡点，漸近安定な平衡点を安定平衡点という．
【質問】平衡点の漸近安定性の必要十分条件を述べよ．
【周期軌道】
【定義：周期軌道 】{x(t) = x(T+t) } を満たす軌道を周期軌道といい，漸近安定な
周期軌道を周期アトラクタという．
【質問】周期軌道の漸近安定性の必要十分条件を述べよ．
【カオス的不変集合】