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F行列
電気回路の縦続接続を扱うのに便利、電気回路以外でも広く利用されている
I1
V1
I1
I2
A B
C D
二端子対回路の入出力電圧、電流の関係を
V2
I2
電流 I2 の向きに注意 !
V1 AV 2 BI
2
I 1 CV 2 DI
2
V1 A
I1 C
B V 2
DI2
F行列、 K行列、伝送行列、縦続行列などと呼ぶ
相反回路なら AD BC 1
A, B, C, Dを、Fパラメータ、四端子定数などと呼ぶ
V
A 1
V2 I2 0
出力端開放時の電圧帰還率(電圧増幅率の逆数)
V
B 1
I 2 V2 0
出力端短絡時の伝達インピーダンス
I
C 1
V2 I2 0
出力端開放時の伝達アドミタンス
I
D 1
I 2 V2 0
出力端短絡時の電流帰還率(電流増幅率の逆数)
F行列の求め方
例題9.8
I1
V1
I2
Z
A
C
I1
V2
B 1
1
D
Z
Z
0
1
V2
B 1
D 0
Aは、I2 = 0 (出力端開放)時の V1 / V2
V
B 1
I 2 V2 0
Bは、V2 = 0 (出力端短絡)時の V1 / I2
I
C 1
V2 I2 0
Cは、I2 = 0 (出力端開放)時の I1 / V2
I
D 1
I 2 V2 0
Dは、V2 = 0 (出力端短絡)時の I1 / I2
A=1
B=0
C = 1/Z
D=1
I2
V1
A
C
V
A 1
V2 I2 0
Z
1
V
A 1
1
V2 I2 0
V
B 1
Z
I 2 V2 0
I
C 1
0
V2 I2 0
I
D 1
1
I 2 V2 0
F行列の縦続接続
I1’
V1’
I2 ’
I1”
A’ B’
C’ D’
I1’
V2’
I2 ’
V1 ' A '
I1 ' C '
V1’
I1’
A” B”
C” D”
I1”
B ' V 2 '
D ' I 2 '
V1 ' A '
I1 ' C '
I1’
V1”
I2”
V 2 ' V1 "
I 2 ' I1"
B ' A"
D ' C "
V2”
I2”
V1 " A "
I1" C "
B " V 2 "
D " I 2 "
B " V 2 "
D " I 2 "
I2”
A B
C D
V 2”
I2”
V1 ' A
I1 ' C
B V 2 "
D I 2 "
縦続接続された回路における
F行列は、個々の回路のF行
列の積で表される
縦続接続によるF行列の求め方
例題9.9 下の回路のF行列を求めよ
Z1
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z1
Z2
Z2
Z3
A
C
A
C
Z3
1
0
B
D
B 1
D 0
1
Z1
1
1 Z
3
例題9.10 下の回路のF行列を求めよ
0
1
1 0
Z1
1
Z1
1
Z2
Z3
1 1
Z 3
0
1
1
0
Z2
1
Z 1Z 2
Z3
Z2
1
Z3
Z1 Z 2
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z12
Z13
1
1
Z
3
Z12
Z23
Z13
Z23
入出力を逆にした場合
1 I1
V1
I2 2
A B
C D
V2
1’ I1
I2 2’
2 I2’
I1’ 1
V2
D B
C A
2’ I2’
V1 A
I1 C
B V 2
DI2
V 2 A
I 2 C
B
D
1:n
V 2 V 2 D
I 2 ' I 2 C
V1
I1’ 1’
V1
I1
V2
I2
B V1
A I1
B V1 V1
A I 1 I 1 '
入力と出力を逆にすると、F行列の A と D が入れ替わる
入力と出力を逆にすると、
V1
I2
V1 1 D
I
C
1
相反回路なら 1
理想変成(圧)器のF行列
I1
1
1
V2 ,
I 1 nI 2
1
V 1
n
I 1 0
0 V 2
I
n 2
n
I1
n:1
I2
V1
I1
V2
I2
n
K
0
0
1
n
理想変圧器が含まれるF行列
A'
例題9.11 下の回路のF行列 K を求めよ。ただし、 K '
C'
B'
とする。
D'
1:n
1:n
K’
K’
A'
C'
A'
K
C'
B'
D'
1
n
0
1
B'
n
D'
0
0
n
A'
0
n
C'
n
n
nB'
nD'
1
K n
0
0 A'
C'
n
A'
B'
n
D'
nC'
B'
n
nD'
一般的に、縦続接続の順序を入れ替えても、同じF行列にはならない
一般の変圧器に対するF行列
I1
V1
M
L1
I2
L2
入力と出力の電圧、電流を図のようにとると、
V2
もし、このように
表示すると
Zm
Zp
Zs
V1 j L1 I 1 j MI
2
p.94 式(6.22)
V 2 j MI 1 j L 2 I 2
V 1 j L1
V 2 j M
j M I1
j L 2 I 2
変圧器に対するZ行列
Z p
Z
Z m
Zm
Zs
とも書ける
Y行列は、Z行列の逆行列を計算すれば求められる
F行列は、次に述べるZ行列とF行列との関係式を用いれば求められる
演習問題(9・5)
Z行列、Y行列との関係
Z行列との関係
I1
A B
C D
V1
V1 z 11
V 2 z 21
I2
I1
V2
上式を、V1=, I1=の式に書き直すと、
電流 I2 の向きに注意 !
V1
F行列の定義では、
I 1 CV 2 DI
I1
2
2
A
z 11
B
,
z 11
z 21
1
z 21
y 22
y 21
V2
z 11 z 22 z 12 z 21
z 21
z 22
z 21
,
B
C
1
,
D
z 21
z 22
z 21
I 1 y 11V1 y 12 V 2
y 12 V1
y 22 V 2
,
I2
I2
z 21
I 1 y 11
I
2
y 21
A
V2
z 11 z 22 z 12 z 21
z 21
Y行列との関係
V 2 z 21 I 1 z 22 I 2
I2 の向きがZ行列の定義では反対
I2
V1 AV 2 BI
V1 z 11 I 1 z 12 I 2
z 12 I 1
z 22 I 2
I 2 y 21V1 y 22 V 2
1
y 21
,
C
y 11 y 22 y12 y 21
y 21
,
D
y11
y 21
諸行列間の関係
y 11
Y
y 21
y 12
1 z 22
y 22
Z z 21
z 12
1 D
z 11 B 1
K
A
z 11
Z
z 21
z 12
1 y 22
z 22
Y y 21
y 12
1 A
y 11 C 1
K
D
A
K
C
B
1
D
y 21
y 22
Y
1
1 z 11
y 11 z 21 1
Z
z 22
ここで、
Z z 11 z 22 z 12 z 21
Y y 11 y 22 y 12 y 21
K AD BC
出席レポート問題 (11/24)
以下の二端子対回路に対するZ行列とY行列を求めよ。ただし、Kの四端子定
数の値は既知であり、A, B, C, Dである。
n:1
K
ヒント: まず、全体のF行列を求めて、諸行列間の関係から求めると簡単
※ 次回の講義(12/1)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
インピーダンスp型回路⇔T型回路間での変換
Z12
Z1
Z31
Z23
Z3
p形回路
Z 12
Z 23
Z 31
Z 1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
Z3
Z 1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
Z1
Z 1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
Z2
Z2
T形回路
Z1
Z2
Z3
Z 31 Z 12
Z 12 Z 23 Z 31
Z 12 Z 23
Z 12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31
Z 12 Z 23 Z 31
※ 上記の関係式の導出を、本日の出席レポートとします。
来週の講義(12/8)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
アドミタンスp型回路⇔T型回路での変換
Y12
Y31
Y1
Y23
Y3
p形回路
Y12
Y 23
Y 31
Y1Y 2
Y1 Y 2 Y 3
Y 2Y3
Y1 Y 2 Y 3
Y 3Y1
Y1 Y 2 Y 3
Y2
T形回路
Y1
Y2
Y3
Y12 Y 23 Y 23 Y31 Y31Y12
Y 23
Y12 Y 23 Y 23 Y31 Y 31Y12
Y31
Y12 Y 23 Y 23 Y 31 Y 31Y12
Y12
-Y変換
1
2
1
2
Z12
Z1
Z31
Z2
Z23
Z3
等価
3
3
形回路
1
Y形回路
2
Z12
Z31
1
Z23
3
Z2
2
Z3
3
p形回路
Z1
3
3
T形回路
演習問題
(9.4) Z行列を求める
Z4
Z1
Z4
Z2
Z1
Z3
Z3
Z4
Z1
→Y変換
Z2
Z3
Z2
Za
Zc
Zb
Z3
演習問題
Za
Zc
→Y変換より
Zb
Za
Zb
Z3
Zc
T形回路のZ行列
(教科書p.183 例
題9.6)より
Z a Z b Z 3
Z
Zb Z3
Z 1Z 4
Z1 Z 2 Z 4
Z 1Z 2
Z1 Z 2 Z 4
Z 2Z 4
Z1 Z 2 Z 4
Zb Z3
Zc Zb Z3
Z 1Z 4 Z 1Z 2
Z Z Z Z3
2
4
1
Z 1Z 2
Z3
Z 1 Z 2 Z 4
Z3
Z1 Z 2 Z 4
Z 2 Z 4 Z 1Z 2
Z3
Z1 Z 2 Z 4
Z 1Z 2
演習問題
(9.4) Y行列を求める
Y4-1
Y1-1
Y4-1
Y2-1
Y1-1
Y2-1
Y3-1
Y3-1
Y4-1
Y4-1
-1
-1
Y1
Y→変換
Ya-1
Y2
Y3-1
Yb-1
Yc-1
演習問題
Y→変換より
Y4-1
Ya
Y1Y 2
Y1 Y 2 Y3
Ya-1
Yb
-1
Yb
Yc-1
Yc
p形回路のY行列
(教科書p.178 例
題9.2)より
Y 4 Y a Y b
Y
(Y 4 Y a )
Y 3Y1
Y1 Y 2 Y 3
Y 2Y3
Y1 Y 2 Y 3
(Y 4 Y a )
Y4 Yc Ya
Y1Y 2 Y 3Y1
Y Y Y Y4
2
3
1
Y1Y 2
Y4
Y1 Y 2 Y 3
Y1Y 2
Y1 Y 2 Y 3
Y 2 Y 3 Y1Y 2
Y4
Y4
Y1 Y 2 Y 3
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z
存在しない
(p.182 10行目)
Z
Z
Z
Z
Z
(p.182 式9.25)
Z1
Z2
Z1
0
0
Z2
[Y]
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
(p.178 例題9.1)
存在しない
(p.178 図9.6)
1
Z
1
0
0
1
Z 2
1:n
存在しない
存在しない
[K]
1
0
Z
1
(p.186 例題9.8 式9.41)
1
1
Z
0
1
(p.186 例題9.8)
存在しない
(p.185 図9.19)
1
n
0
0
n
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z1
Z1 Z 2
Z2
Z2
[Y]
Z2
Z2
Z2
Z1
Z1
Z1
Z1
Z3
Z2
Z1 Z 2
Z1 Z 2
Z2
Z1
Z2 Z3
Z2
(p.183 例題9.6)
Z2
Z1
Z3
Z1(Z 2 Z 3 )
Z
Z 1Z 3
Z
Z
(Z1 Z 2 )Z 3
Z
Z 1Z 3
Z Z1 Z 2 Z 3
1
Z
1
1
Z 1
[K]
1
Z1
1
1
Z 1 Z 2
1
1
Z
Z2
1
1
Z 2
1
Z2
1
Z 2
Z2 Z3
Z
Z2
Z
Z2
Z
Z1 Z 2
Z
Z Z 1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
1
1
Z
Z2
1
1
Z 2
1
Z2
1
1
Z 2 Z 3
Z1
1
Z2
1
Z 2
1
1
Z1
Z1
1
Z2
Z
1 2
Z1
(p.187 例題9.9 式9.43)
Z
Z1
1
Z
Z
2
2
Z
1
1 3
Z
Z 2
2
Z Z 1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z 1
(p.187 例題9.10 式9.44)
Z2
1
Z2
Z3
Z2
Z
1
Z 1 Z 3
Z 1
Z Z1 Z 2 Z 3
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
Y
存在しない
(p.182 10行目)
Y
Y1
Y2
1
Y
1
Y
1
Y
1
Y
1
Y
1
0
0
1
Y 2
[Y]
Y
Y
Y
Y
(p.178 例題9.1)
存在しない
(p.178 図9.6)
Y1
0
0
Y2
1
0
1
Y
1
(p.186 例題9.8)
1
Y
0
1
(p.186 例題9.8 式9.40)
存在しない
(p.185 図9.19)
1:n
存在しない
[K]
存在しない
1
n
0
0
n
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
1
1
Y
Y2
1
1
Y 2
Y1
Y2
1
Y
1
1
Y1
Y2
Y1
Y1
Y3
Y2
Y2
Y1
Y3
[Y]
1
Y2
1
Y 2
Y1
1
1
Y1 Y 2
1
1
Y
Y2
1
1
Y 2
Y 2 Y3
Y
Y2
Y
Y1
Y1
[K]
Y1
Y1 Y 2
1
Y2
1
1
Y 2 Y 3
1
Y
Y1 Y 2
Y
Y1 Y 2
Y2
Y1 (Y 2 Y 3 )
Y
YY
1 3
Y
Y2
Y2
Y1Y 3
Y
(Y1 Y 2 )Y 3
Y
Y Y1 Y 2 Y3
Y2
Y Y1Y 2 Y 2 Y 3 Y 3Y1
Y1 Y 2
Y2
Y2
Y 2 Y3
(p.178 例題9.2)
Y2
1
Y1
Y2
1
Y
1
1
Y1
1
Y2
Y1
1
Y 2
1
Y2
Y
1
Y1
Y1Y 3
Y2
Y
1
2
Y 3
Y Y1 Y 2 Y3
Y3
1
Y2
Y
Y
2
Y2
Y1
1
Y 2
Y Y1Y 2 Y 2 Y 3 Y 3Y1
1
基本2端子対回路のパラメータ
[Z]
Z1
Z1 Z 2
2
Z Z
1
2
2
Z1
Z 2 Z1
2
Z1 Z 2
2
[K]
Z1 Z 2
2Z Z
1 2
Z1 Z 2
2 Z 1 Z 2
Z1 Z 2
2 Z 1Z 2
Z1 Z 2
2 Z 1 Z 2
Z1 Z 2
Z Z
1
2
2
Z 2 Z 1
Y1 Y 2
2
Y Y
1
2
2
Y 2 Y1
2
Y1 Y 2
2
Y1 Y 2
Y Y
2
1
2 Y1Y 2
Y1 Y 2
2 Z 1Z 2
Z 2 Z1
Z1 Z 2
Z 2 Z 1
(p.183 例題9.7 式9.29)
Y1
Y1 Y 2
2Y Y
1 2
Y1 Y 2
2 Y1Y 2
Y1
(p.183 例題9.7 式9.29)
Y1 Y 2
2 Y1Y 2
Y1 Y 2
2 Y1Y 2
M
L1
[Y]
L2
j L1
j M
j M
j L 2
Y1 Y 2
Y1 Y 2
Y1 Y 2
2
(p.179 例題9.3 式9.13)
L2
Z
M
Z
M
Z
L1
Z
L1
M
1
j M
Z j ( L1 L 2 M )
2
Z
M
L2
M
Z j ( L1 L 2 M )
2