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F行列
電気回路の縦続接続を扱うのに便利、電気回路以外でも広く利用されている
I1
V1
I1
I2
A B
C D
二端子対回路の入出力電圧、電流の関係を
V2
I2
電流 I2 の向きに注意 !
V1  AV 2  BI
2
I 1  CV 2  DI
2
V1   A
  
 I1  C
B  V 2 
 
DI2 
F行列、 K行列、伝送行列、縦続行列などと呼ぶ
相反回路なら AD  BC  1
A, B, C, Dを、Fパラメータ、四端子定数などと呼ぶ
V 
A 1
V2  I2 0
出力端開放時の電圧帰還率(電圧増幅率の逆数)
V 
B   1
 I 2  V2  0
出力端短絡時の伝達インピーダンス
I 
C  1
V2  I2 0
出力端開放時の伝達アドミタンス
I 
D  1
 I 2  V2  0
出力端短絡時の電流帰還率(電流増幅率の逆数)
F行列の求め方
例題9.8
I1
V1
I2
Z
A

C
I1
V2
B 1
 1
D 
Z
Z
0

1

V2
B  1

D  0
Aは、I2 = 0 (出力端開放)時の V1 / V2
V 
B   1
 I 2  V2  0
Bは、V2 = 0 (出力端短絡)時の V1 / I2
I 
C  1
V2  I2 0
Cは、I2 = 0 (出力端開放)時の I1 / V2
I 
D  1
 I 2  V2  0
Dは、V2 = 0 (出力端短絡)時の I1 / I2
A=1
B=0
C = 1/Z
D=1
I2
V1
A

C
V 
A 1
V2  I2 0
Z

1
V 
A 1
1
V2  I2 0
V 
B   1
 Z
 I 2  V2  0
I 
C   1
0
V2  I2 0
I 
D  1
1
 I 2  V2  0
F行列の縦続接続
I1’
V1’
I2 ’
I1”
A’ B’
C’ D’
I1’
V2’
I2 ’
V1 '  A '
  
 I1 ' C '
V1’
I1’
A” B”
C” D”
I1”
B '  V 2 '
 
D '  I 2 ' 
V1 '  A '
  
 I1 ' C '
I1’
V1”
I2”
V 2 '  V1 "
I 2 '  I1"
B '   A"

D '  C "
V2”
I2”
V1 "   A "
  
 I1" C "
B "  V 2 " 


D "  I 2 " 
B "  V 2 " 


D "  I 2 " 
I2”
A B
C D
V 2”
I2”
V1 '  A
  
 I1 ' C
B  V 2 " 


D   I 2 "
縦続接続された回路における
F行列は、個々の回路のF行
列の積で表される
縦続接続によるF行列の求め方
例題9.9 下の回路のF行列を求めよ
Z1
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z1
Z2
Z2
Z3
A

C
A

C
Z3
1

0
B

D
B  1

D  0
1
Z1  
 1

1  Z
 3
例題9.10 下の回路のF行列を求めよ
0
1

1 0


Z1 

1
Z1

1

Z2 
Z3



1   1
 Z 3
0

1


1

0
Z2

1 
Z 1Z 2 
Z3 

Z2

1

Z3
Z1  Z 2 
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z12
Z13
 1
 1
Z
 3
Z12
Z23
Z13
Z23
入出力を逆にした場合
1 I1
V1
I2 2
A B
C D
V2
1’ I1
I2 2’
2 I2’
I1’ 1
V2
D B
C A
2’ I2’
V1   A
  
 I1  C
B  V 2 
 
DI2 
V 2   A
 
 I 2  C
B

D
1:n
V 2   V 2   D
  
 
 I 2 '   I 2   C
V1
I1’ 1’
V1
I1
V2
I2
 B  V1 
 
A   I1 
B   V1   V1 
  

A    I 1   I 1 '
入力と出力を逆にすると、F行列の A と D が入れ替わる
入力と出力を逆にすると、
V1 
I2
V1  1  D
 

I

 C
 1
相反回路なら   1
理想変成(圧)器のF行列
I1
1
1
V2 ,
I 1  nI 2
1
V 1  
   n
 I 1   0

0  V 2 
 
I

n 2 
n
I1
n:1
I2
V1
I1
V2
I2
n
K  
0

0
1
n 
理想変圧器が含まれるF行列
 A'
例題9.11 下の回路のF行列 K を求めよ。ただし、 K '  
 C'
B' 
 とする。
D' 
1:n
1:n
K’
K’
 A'

 C'
 A'
K  
 C'
B' 

D' 
1
n
0

1
B'  

 n
D'  
0

0
n 
 A'
 
0
  n
C'
n  
 n

nB' 

nD' 

1
K  n
0


0   A'

C'

n
A'
B'  

 n
D'  
 nC'
B' 
n 
nD' 
一般的に、縦続接続の順序を入れ替えても、同じF行列にはならない
一般の変圧器に対するF行列
I1
V1
M
L1
I2
L2
入力と出力の電圧、電流を図のようにとると、
V2
もし、このように
表示すると
Zm
Zp
Zs
V1  j  L1 I 1  j  MI
2
p.94 式(6.22)
V 2  j  MI 1  j  L 2 I 2
 V 1   j  L1
  
V 2   j  M
j M   I1 
 
j L 2   I 2 
変圧器に対するZ行列
Z p
Z  
Z m
Zm

Zs 
とも書ける
Y行列は、Z行列の逆行列を計算すれば求められる
F行列は、次に述べるZ行列とF行列との関係式を用いれば求められる
演習問題(9・5)
Z行列、Y行列との関係
Z行列との関係
I1
A B
C D
V1
 V1   z 11
  
V 2   z 21
I2
I1
V2
上式を、V1=, I1=の式に書き直すと、
電流 I2 の向きに注意 !
V1 
F行列の定義では、
I 1  CV 2  DI
I1 
2
2
A
z 11
B 
,
z 11
z 21
1
z 21
y 22
y 21
V2 
z 11 z 22  z 12 z 21
z 21
z 22
z 21
,
B 
C 
1
,
D 
z 21
z 22
z 21
I 1  y 11V1  y 12 V 2
y 12   V1 
 
y 22  V 2 
,
I2
I2
z 21
 I 1   y 11

 

I
2

 y 21
A
V2 
z 11 z 22  z 12 z 21
z 21
Y行列との関係
V 2  z 21 I 1  z 22 I 2
I2 の向きがZ行列の定義では反対
I2
V1  AV 2  BI
V1  z 11 I 1  z 12 I 2
z 12   I 1 


z 22    I 2 
I 2   y 21V1  y 22 V 2
1
y 21
,
C 
y 11 y 22  y12 y 21
y 21
,
D 
y11
y 21
諸行列間の関係
 y 11
Y  
 y 21
y 12 
1  z 22


y 22 
Z   z 21
 z 12 
1 D


z 11  B   1
 K 

A 
 z 11
Z  
 z 21
z 12 
1  y 22


z 22 
Y   y 21
 y 12 
1 A


y 11  C  1
K 

D
A
K  
C
B
1

D
y 21
 y 22

 Y
1 
1  z 11


y 11  z 21  1
Z 

z 22 
ここで、
Z  z 11 z 22  z 12 z 21
Y  y 11 y 22  y 12 y 21
K  AD  BC
出席レポート問題 (11/24)
以下の二端子対回路に対するZ行列とY行列を求めよ。ただし、Kの四端子定
数の値は既知であり、A, B, C, Dである。
n:1
K
ヒント: まず、全体のF行列を求めて、諸行列間の関係から求めると簡単
※ 次回の講義(12/1)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
インピーダンスp型回路⇔T型回路間での変換
Z12
Z1
Z31
Z23
Z3
p形回路
Z 12 
Z 23 
Z 31 
Z 1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z 1
Z3
Z 1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z 1
Z1
Z 1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z 1
Z2
Z2
T形回路
Z1 
Z2 
Z3 
Z 31 Z 12
Z 12  Z 23  Z 31
Z 12 Z 23
Z 12  Z 23  Z 31
Z 23 Z 31
Z 12  Z 23  Z 31
※ 上記の関係式の導出を、本日の出席レポートとします。
来週の講義(12/8)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
アドミタンスp型回路⇔T型回路での変換
Y12
Y31
Y1
Y23
Y3
p形回路
Y12 
Y 23 
Y 31 
Y1Y 2
Y1  Y 2  Y 3
Y 2Y3
Y1  Y 2  Y 3
Y 3Y1
Y1  Y 2  Y 3
Y2
T形回路
Y1 
Y2 
Y3 
Y12 Y 23  Y 23 Y31  Y31Y12
Y 23
Y12 Y 23  Y 23 Y31  Y 31Y12
Y31
Y12 Y 23  Y 23 Y 31  Y 31Y12
Y12
-Y変換
1
2
1
2
Z12
Z1
Z31
Z2
Z23
Z3
等価
3
3
形回路
1
Y形回路
2
Z12
Z31
1
Z23
3
Z2
2
Z3
3
p形回路
Z1
3
3
T形回路
演習問題
(9.4) Z行列を求める
Z4
Z1
Z4
Z2
Z1
Z3
Z3
Z4
Z1
→Y変換
Z2
Z3
Z2
Za
Zc
Zb
Z3
演習問題
Za
Zc
→Y変換より
Zb
Za 
Zb 
Z3
Zc 
T形回路のZ行列
(教科書p.183 例
題9.6)より
Z a  Z b  Z 3
Z  
 Zb  Z3
Z 1Z 4
Z1  Z 2  Z 4
Z 1Z 2
Z1  Z 2  Z 4
Z 2Z 4
Z1  Z 2  Z 4
Zb  Z3


Zc  Zb  Z3
 Z 1Z 4  Z 1Z 2
Z  Z  Z  Z3
2
4
  1
Z 1Z 2

 Z3
 Z 1  Z 2  Z 4

 Z3
Z1  Z 2  Z 4

Z 2 Z 4  Z 1Z 2
 Z3

Z1  Z 2  Z 4
Z 1Z 2
演習問題
(9.4) Y行列を求める
Y4-1
Y1-1
Y4-1
Y2-1
Y1-1
Y2-1
Y3-1
Y3-1
Y4-1
Y4-1
-1
-1
Y1
Y→変換
Ya-1
Y2
Y3-1
Yb-1
Yc-1
演習問題
Y→変換より
Y4-1
Ya 
Y1Y 2
Y1  Y 2  Y3
Ya-1
Yb 
-1
Yb
Yc-1
Yc 
p形回路のY行列
(教科書p.178 例
題9.2)より
Y 4  Y a  Y b
Y  
  (Y 4  Y a )
Y 3Y1
Y1  Y 2  Y 3
Y 2Y3
Y1  Y 2  Y 3
 (Y 4  Y a ) 

Y4  Yc  Ya 
 Y1Y 2  Y 3Y1
 Y  Y  Y  Y4
2
3
  1
  Y1Y 2
 Y4
 Y1  Y 2  Y 3
 Y1Y 2
Y1  Y 2  Y 3
Y 2 Y 3  Y1Y 2

 Y4 

 Y4 

Y1  Y 2  Y 3
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z
存在しない
(p.182 10行目)
Z

Z
Z
Z

Z
(p.182 式9.25)
Z1
Z2
Z1

0
0 

Z2
[Y]
 1
 Z
1

 Z
 1
Z 
1 

Z 
(p.178 例題9.1)
存在しない
(p.178 図9.6)
 1
Z
 1
 0


0 

1 
Z 2 
1:n
存在しない
存在しない
[K]
1

0
Z

1
(p.186 例題9.8 式9.41)
1
1
 Z
0

1

(p.186 例題9.8)
存在しない
(p.185 図9.19)
1
n
0


0
n 
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z1
Z1  Z 2

 Z2
Z2
[Y]
Z2

Z2
Z2
Z1

Z1
Z1
Z1
Z3
Z2


Z1  Z 2 
Z1  Z 2

 Z2
Z1


Z2  Z3
Z2
(p.183 例題9.6)
Z2
Z1
Z3
 Z1(Z 2  Z 3 )

Z

Z 1Z 3

Z



Z
(Z1  Z 2 )Z 3 

Z

Z 1Z 3
Z  Z1  Z 2  Z 3
 1
Z
 1
1
 Z 1
[K]
1


Z1

1
1 

Z 1 Z 2 
1
 1

Z
Z2
 1
 1
 Z 2
 1
Z2 

1 
Z 2 
 Z2  Z3

Z

  Z2

Z

 Z2 

Z

Z1  Z 2 

Z

Z  Z 1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z 1
1
 1

Z
Z2
 1
 1
 Z 2
1


Z2

1
1 

Z 2 Z 3 
Z1

1


Z2

 1
 Z 2
 1
 1

 Z1

Z1 

1

Z2
Z
1 2
Z1




(p.187 例題9.9 式9.43)

Z 
Z1
1 

Z
Z
2
2


Z
1


1 3
 Z
Z 2 
2

Z  Z 1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z 1
(p.187 例題9.10 式9.44)
Z2


1

Z2 

Z3


Z2 
 Z
1
 Z 1 Z 3
Z 1 
Z  Z1  Z 2  Z 3
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
Y
存在しない
(p.182 10行目)
Y
Y1
Y2
1
Y
1

Y
1
Y
1

Y
1
Y
 1
0


0 

1 
Y 2 
[Y]
 Y

 Y
Y

Y 
(p.178 例題9.1)
存在しない
(p.178 図9.6)
Y1

0
0

Y2 

1
0

1
Y
1 
(p.186 例題9.8)
1

Y
0

1
(p.186 例題9.8 式9.40)
存在しない
(p.185 図9.19)
1:n
存在しない
[K]
存在しない
1
n
0


0
n 
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
1
1

Y
Y2
 1
 1
 Y 2
Y1
Y2
1
Y
 1
1
 Y1
Y2
Y1
Y1
Y3
Y2
Y2
Y1
Y3
[Y]
1 
Y2 

1 
Y 2 

Y1 

1
1 

Y1 Y 2 
1
1

Y
Y2
 1
 1
 Y 2
 Y 2  Y3
 Y

 Y2
 Y

 Y1

  Y1
[K]
 Y1 

Y1  Y 2 
1

Y2 

1
1 

Y 2 Y 3 
1

Y 

Y1  Y 2 
Y 
Y1  Y 2

  Y2
 Y1 (Y 2  Y 3 )

Y
 YY
1 3

Y

 Y2 

Y2 
 Y1Y 3


Y
(Y1  Y 2 )Y 3 

Y

 Y  Y1  Y 2  Y3
Y2
Y  Y1Y 2  Y 2 Y 3  Y 3Y1
Y1  Y 2

  Y2
 Y2 

Y 2  Y3 
(p.178 例題9.2)
Y2

1


Y1

 Y2

1

Y
1

1
Y1 

1

Y2 

Y1 
1
Y 2 
1
Y2
Y 

1


Y1
Y1Y 3 


Y2 
 Y
1
2

Y 3 
 Y  Y1  Y 2  Y3
Y3

1


Y2

 Y
 Y
 2

Y2 

Y1 
1
Y 2 
Y  Y1Y 2  Y 2 Y 3  Y 3Y1
1
基本2端子対回路のパラメータ
[Z]
Z1
 Z1  Z 2

2
Z  Z
1
 2
2

Z1
Z 2  Z1 

2
Z1  Z 2 

2

[K]
 Z1  Z 2
 2Z Z
1 2

 Z1  Z 2
 2 Z 1 Z 2
Z1  Z 2 
2 Z 1Z 2 

Z1  Z 2 
2 Z 1 Z 2 
 Z1  Z 2
Z  Z
1
 2
2

 Z 2  Z 1
 Y1  Y 2
 2
Y  Y
1
 2
 2
Y 2  Y1 
2 
Y1  Y 2 

2 
 Y1  Y 2
Y  Y
2
 1
 2 Y1Y 2
 Y1  Y 2
2 Z 1Z 2 
Z 2  Z1 

Z1  Z 2 
Z 2  Z 1 
(p.183 例題9.7 式9.29)
Y1
 Y1  Y 2
 2Y Y
1 2

 Y1  Y 2
 2 Y1Y 2
Y1
(p.183 例題9.7 式9.29)
Y1  Y 2 
2 Y1Y 2 

Y1  Y 2 
2 Y1Y 2 
M
L1
[Y]
L2
 j  L1

 j M
j M 

j L 2 

Y1  Y 2 

Y1  Y 2 
Y1  Y 2 
2
(p.179 例題9.3 式9.13)
 L2
 Z

 M
 Z

M 
Z 

L1 
Z 
 L1

 M
1

 j  M
Z  j  ( L1 L 2  M )
2
Z 

M 
L2

M 
Z  j  ( L1 L 2  M )
2