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第６回
モデリング２
曲線・曲面，その他の表現手法
芝浦工業大学情報工学科
青木 義満
曲線・曲面
 曲線・曲面



コンピュータ内部では，全て数式として表現
立体の稜線を表現するための曲線の式
面を表現するための曲面の式
 曲線・曲面の分類

数式の形式により，以下の3種類に分類



陰関数形式
パラメータ形式
陽関数形式
曲面の例
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 パラメトリック曲線・曲面
工業製品設計
 フォント（TrueType Font）
 ベジェ曲線・曲面


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1966年、ルノーの車体設計を行うための
曲面としてBezierによって提案
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パラメトリック曲線・曲面の利用
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陰関数形式
• 平面曲線： f(x, y) = 0
• 曲面： f(x, y, z) = 0
• 空間曲線： f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0
（曲面fと曲面gの交線）
xy平面上の原点中心，半径rの円
f x, y  x2  y 2  r 2  0
原点中心，半径rの球面
2
2
2
2


f x, y, z  x  y  z  r  0
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陰関数形式表現の特徴
 長所


交点計算に適している
例） 球面と，直線との交点
 x p   xv 
   
直線： P  tV   y p   t yv 
z  z 
 p  v
x
交点
2
2
2
2


f
x
,
y
,
z

x

y

z

r
0
球面：
2
2
2
2






tx

y

ty

z

tz

r
0
p
v
p
v
p
v
tに関する2次方程式
↓
交点
レイトレーシング法（光線追跡法）に適している
（後述）
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陰関数形式表現の特徴
 長所
数式で曲線，曲面の領域を区分可能
 位置，衝突判定に適する

f(x,y,z)<0 (球の内部)
f(x,y)=0
f(x,y,z)=0 (境界面)
f(x,y)>0
f(x,y)<0
f(x,y,z)>0 (球の外部)
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陰関数形式表現の特徴
 短所
 座標値を計算により求める必要
 適当な間隔でサンプリングするのに適さない


格子状の点列から多面体を形成
パラメータ形式，陽関数形式の方が適する
y
x
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曲線・曲面上の点列計算
→ 各軸に平行な格子線との
交点を計算
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パラメータ形式
 パラメータ（媒介変数）を介して，曲線・曲面を定
義する方法
 曲線：1つのパラメータtに対して，2D，3D空間内
の点を対応させる
 曲面：2つのパラメータ(u, v)に対して3D 空間内
の点を対応させる
平面曲線： x=f(t), y=g(t)
空間曲線： x=f(t), y=g(t), z=h(t)
曲 面 ： x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)
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パラメータ形式表現の例
 円のパラメータ形式表現
x  r cost
y  r sin t
0  t  2
パラメータtを変化させることで，
円を記述
c.f. 陰関数形式
f x, y  x2  y 2  r 2  0
 球面のパラメータ形式表現
x  r cosu cosv
パラメータu, vを変化させることで，
球面を記述
y  r sin u cosv
z  r sin v, 0  u  2 ,0  v  2
パラメトリック曲線，パラメトリック曲面
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パラメトリック形式の特徴
 CGで最も多用される曲線，曲面
 長所


曲線・曲面上の点列を求めることが容易
曲線の場合
ti  ti 1  t

曲面の場合
ui  ui 1  u
vi  vi 1  v
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曲線のパラメータ形式表現
x=f(t), y=g(t), z=h(t)
パラメータ値を繰り返し代入
→ 曲線・曲面上の点列
曲面のパラメータ形式表現
x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)
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パラメトリック形式の特徴
 短所

交点計算に適さない
（レイトレーシングには適さず）
x  r cosu cosv
 x p   xv 
   
y  r sin u cosv
直線： P  tV   y p   t yv 
 z   z  連立
z  r sin v, 0  u  2 ,0  v  2
 p  v
x p  txv  r cosu cos v
y p  tyv  r sin u cos v
z p  tzv  r sin v
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3元1次連立方程式
→ 解きにくい式
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パラメトリック曲線の描画アルゴリズム
x  f (t ), y  g (t )
0  t 1
t+Δt
t
Δt = 1/n ;
t=0;
x1 = f(0); y1 = g(0);
for( i=1; i <= n; i++ ){
t = t + Δt ;
x2 = f(t); y2 = g(t);
DrawLine ( x1, y1) to ( x2, y2);
x 1 = x 2 ; y 1 = y 2;
t+3Δt
t+2Δt
t+4Δt
t+5Δt
}
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陽関数形式
 1つの座標値の関数として他の座標値を求める形式
 平面曲線： y = f(x)
x→y
x,y→z
 曲面： z = f(x,y)
放物線（陽関数形式）
yx
放物線（陰関数形式）
x2  y  0
放物線（パラメータ形式）
2
z
x  t, y  t
2
(x,y)
x2 y 2
回転放物面（陽関数形式） z  2  2
a a
x2 y 2
回転放物面（陰関数形式） a2  a2  z  0
回転放物面（パラメータ形式）
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u 2 v2
x  u, y  v, z  2  2
a a
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２次曲線
 ２次多項式(陰関数形式)
ax2  by2  c  2dxy  2ex  2 fy  0
 円錐面の断面線
 楕円， 放物線， 双曲線
 楕円
2
2


陰関数形式
パラメータ形式
 放物線
 陽関数形式
 双曲線
 陰関数形式
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x y
 2  1　（ a, b  0）
2
a a
x  a cos , y  b sin 
y 2  4ax　（ x 
1 2
y）
4a
x2 y 2
 2  1　（ a, b  0）
2
a b
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パラメトリック曲線
 パラメータの陽関数形式： C=F(t)
 CGで用いられる曲線





エルミート（Hermite）曲線
ベジエ（Bezier）曲線
Bスプライン(B-spline)曲線
有理ベジエ(Rational Bezier)曲線
非一様有理Bスプライン曲線（NURBS）
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ベジエ曲線
与えられた点（制御点）に沿って，滑らかな曲線を描く方法
 例）３点 p0, p1, p2 に沿った曲線を描く

パラメータ tを用いて，点 p0と点 p1の中間点
を求めると，
p1
p01
p0
p02
p11
p2
p10 (t )  (1  t )p0  tp1
同様に，点 p1と点 p2の中間点を求めると，
p11 (t )  (1  t )p1  tp2
点p10と点 p11を結ぶ直線状の点p02 (t)は，
p02 (t )  (1  t )p10  tp11
 (1  t )2 p0  2t (1  t )p1  t 2p2
（
tの2次式  放物線）
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ベジェ曲線
p1
p0
p2
pi
pi+1
N個の点p1～p N，点 piを端点として r回目の中間点は，p
N
pir (t ) （ 1  t )pir 1 (t )  tpir11 (t )
これを繰り返して得ら れる点を結んだものが
ベジェ曲線
N個の点：　制御点
曲線上の点P(t)は，制御点Piの加重平均
として表される
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ベジェ曲線
3次ベジェ曲線
4個の制御点p0～p3
p(t ) （ 1  t )3 p0  3t (1  t )2 p1  3t 2 (1  t )p2  t 3p3
B03 (t )p0  B31(t )p1  B23 (t )p2  B33 (t )p3
3
  B3i (t )pi
i 0
重み係数
バーンスタイン関数
（Bernstein）
n!
B (t ) 
t i (1  t )ni
(n 1)!i!
n
i
n
n
B
 i (t )  1
i 0
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ベジェ曲線
３次ベジェ曲線
Bernstein関数
3次係数
0次係数
１次係数
2次係数
t=0
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t=1
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2次曲面
 2次多項式によって表現される代数曲面
ax2  by2  cz2  d  2eyz  2 fzx  2gxy  2hx  2iy  2 jz  0
 点対称： 2次曲面の中心
 中心有り： 有心
 中心無し： 無心
 9種類
 楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円錐面
楕円放物面，双曲放物面，楕円柱面，双曲柱面，
放物柱面
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二次曲面
2
2
2
x y z
 2  2 1
2
a b c
楕円面
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x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a b c
x2 y 2 z 2
 2  2  2 1
a b c
一葉双曲面
二葉双曲面
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二次曲面
2
2
2
x y z
 2  2 0
2
a b c
楕円錐面
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x2 y 2
z 2  2
a b
x2 y 2
z 2  2
a b
楕円放物面
双曲放物面
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二次曲面
2
2
x y
 2 1
2
a b
楕円柱面
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x2 y 2
 2 1
2
a b
双曲柱面
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y 2  4ax
放物柱面
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パラメトリック曲線・曲面
 Bezier 曲線・曲面
 B-Spline 曲線・曲面
 有理 B-Spline, NURBS
 細分割曲線・曲面
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Bezier曲面
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m x n 次 Bezier曲面式
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【参考資料】曲線・曲面描画ソフト
 Function View(フリーソフト)


作者：和田 啓助
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
 Bezier Curve Generator Ver.2.0（フリーソフト）

http://www.dsgn.im.hiroshima-cu.ac.jp/~shimbara/program/
 ISURFACE version 1.0.6 （フリーソフト）


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作者：戸野恵太
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/tono.html
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Bスプライン曲線
 制御点{Pi}とノット列{ti}によって曲線を定義
 複数の多項式曲線を接続して一本の曲線を作る
 接続点でのパラメータをノットで指定
 制御点の重み付けにBスプライン関数を用い，関数
の定義にノット列を使用


ノット値が一定間隔：一様Bスプライン曲線
そうでないもの：非一様Bスプライン曲線
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