Transcript ヒントの位置が指定された ナンプレの高速な生成法

パズル問題自動生成時代
株式会社タイムインターメディア
知識工学センターパズル推進室
稲葉 直貴
発表内容について
 様々な種類のパズルに応用できる汎用的な
問題自動生成アルゴリズムの紹介。
 NumberPlace,CrossSumと呼ばれるパズル
への本アルゴリズムの適用について説明し
それらを通じてより一般的なパズルに対する
問題自動生成アルゴリズム設計手法を提案。
発表の流れ
NumberPlace自動生成アルゴリズムの紹介
他のパズルにも応用できそうな部分を抽出
CrossSumの自動生成アルゴリズムを構築
NumberPlaceとは？
（１）縦横の全ての列に１から９を一つずつ入れる
（２）太線で囲まれた３×３のブロック内にも１から９を一つずつ入れる
●問題●
4
3
★解答★
5
1
2
4
3
6
8
9
5
1
7
9
2
5
4
9
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9
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6
1
7
今回考える問題について
入力：ヒント座標の集合
出力：入力座標に数字が配置された
ユニークな解を持つ問題図
4
3
5
1
9
2
5
4
5
4
7
3
ヒント
3
2
9
5
1
9
3
6
8
9
1
5
1
5
3
6
5
6
1
7
与えられた
ヒント配置で
問題を作成
問題作成の流れ
ヒントの位置を決める
問題作成の流れ
ヒントの位置を決める
解答盤面を作成する
7
4
3
8
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5
1
2
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2
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4
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4
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6
9
問題作成の流れ
ヒントの位置を決める
解答盤面を作成する
ヒント以外を除去する
7
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2
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2
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5
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2
3
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1
3
2
5
9
6
5
7
4
8
3
2
8
1
7
4
6
9
これで唯一解になっていれば完成！
問題作成の流れ
このヒントで解いてみる
7
4
3
5
1
2
9
1
2
3
5
4
5
2
4
1
7
3
3
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1
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1
1
3
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3
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5
3
6
3
8
5
4
3
5
6
1
4
空きマスの数：３７
問題作成の流れ
このヒントで解いてみる
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5
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9
8
ヒント数字を変更する
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5
6
3
5
6
1
4
空きマスの数：３７→３５
★この操作を繰り返して全マスが確定する状態にする
タネとなる初期解答図の生成
まず一つのパターンを用意
7
4
3
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6
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2
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5
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4
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3
2
8
1
7
4
6
9
解答パターンの生成
同じブロック内の列を
ランダムに選ぶ
まず一つのパターンを用意
解答盤面の性質を壊さず
数字をシャッフルする
7
3
4
3
7
8
6
9
5
1
2
9
6
1
2
3
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3
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1
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2
5
9
6
3
5
7
4
8
3
2
8
1
7
4
6
9
この処理を全マスに対して行う
解答アルゴリズム（ソルバー）について
★状態が「確定」する箇所だけを埋める
解答処理を高速に行うために…
 解くために用いる「手筋」の制限
（確定する全ての箇所が埋まるわけではない）
 再帰的な手続きを使用
（変化があった箇所だけをチェック）
問題を解く上で扱う要素
数字
候補
盤面の数字
4
6
1
5
2
3
2
1
2
9
9
5
3
8
6
2
5
5
4
2
8
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6
9
8
4
5
7
5
7
5
3
1
7
9
盤面に入る数字の候補
9
4
3
1
2
3
2
1
8
6
5
7
1
4
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1
２
３
1
２
３
４
５
６
４
５
６
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７
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９
1
２
３
1
２
３
４
５
６
４
５
６
７
８
９
７
８
９
「手筋」について
NumberPlaceの手筋には二種類が存在する
 「数字」を入れる規則
（どういうとき数字を入れられるか）
 「候補」を消す規則
（どういうとき候補が消せるか）
数字を入れる三つの規則
 あるブロックで３が入る候補が一つしか
存在しなければ、そのマスに３が入る
3
X X
X
X X
X
X X
 ある列で６が入る候補が一つしか
存在しなければ、そのマスに６が入る
X
X X X X 6
 あるマスに入る候補が７しかなければ
そのマスに７が入る
1 2 3 4 5
6 7 8 9
7
X X X
候補を消す三つの規則
あるマスに数字５が入るとき
 そのマスから５以外の候補を消す
 同じブロック内から５の候補を消す
 同じ列内から５の候補を消す
5
ここでは以上の規則だけを用いる
（全ての問題を解くには不十分）
用いる手続き
 数字を入れる手続き
位置(x,y)に値zを代入
 候補を消す手続き
位置(x,y)の候補から値zを消去
「数字を入れる手続き」の実行
数字を代入すると、その影響を受ける範囲で
「候補を消す手続き」が直ちに呼び出される
5
(2,4)に5を入れたことにより
赤く図示された範囲に対して
候補を消す手続きが実行される
「候補を消す手続き」の実行
 候補を消すと、その影響を受ける範囲で
新たに数字が確定するかチェックされる
★数字を入れる三つの規則を調べる
数字が確定する場合は再び
「数字を入れる手続き」が呼ばれる
(6,4)から候補5が消されたことで、
青く図示された範囲がチェックされる
5
解答アルゴリズム
数字が一つも入ってない状態から開始し、
既に数字が明かされている全ての箇所で
「数字を入れる手続き」を実行する
盤面の一辺の長さをNとしたとき
「数字を入れる手続き」の実行回数：N＾2
「候補を消す手続き」の実行回数：N＾3
★全体ではO(N＾3)で終了
実行時間：O(N)
実行時間：O(1)
問題生成アルゴリズム（ジェネレータ）
について
 貪欲法に基づいている
「解答後の空きマスの数」が少なくなるよう
問題盤面（ヒントの数字）を変更していく
 生成は確率的
常に成功するとは限らない
ヒント数字の変更手順
 全てのマスを順に見ていく
 ヒント位置であれば１から９まで変更
解答後の空きマス数をチェック
 前より空きマス数が下がれば
そのヒントを残し最初に戻る
下がらない、もしくは「解なし」
ならば数字を元に戻し次へ
 空きマスが０になる(成功)か
最後の数に到達(失敗)したら終了
4
3
5
1
9
2
5
4
5
4
7
3
3
7
4
5
9
8
3
6
8
6
1
5
1
5
3
6
5
6
1
4
変更を効率良く行うために
一箇所のヒントの変更に対し、毎回最初から
解き直すのは効率が悪いので段階を踏む
★この目的のため「局所ソルバー」が使われる
7
7
5
9
2
5
4
9
5
4
7
3
5
3
7
9
5
1
8
4
3
5
8
6
1
1
5
3
3
5
6
5
6
3
1
4
4
3
1
55 1
2
3
5
2
4
4
1
7
3
3
7
9
5 3
8
1
4
1
1
3
5
5
8
6
1
6
1
5
3
3
5
6
5
6
3
5
6
1
4
アルゴリズムの終了
成功した場合
最終的なヒントと解答後の盤面を出力
(成功時には全てのマスに数字が入っている)
 失敗した場合
あるヒント位置に対し唯一解となる問題図が
存在するかどうかを判定するのは困難なので
再チャレンジするか否かは人が判断する
(ヒントの数を増やす、位置を変える 等)
問題作成の流れ （まとめ）
解パターン生成
作成成功 作成失敗
ヒントを代入
空きマス０
解く
もう下がらない
空きマスを数える
減少
ヒントの変更
増加(orイコール)
ヒントを元に戻す
CrossSumとは？
（１） 白マスに１から９のいずれかの数字を入れる
（２） 三角マスの数字はそこから一列に連続している
白マスに入れられる数字の合計を表す
（３） 一列に連続する白マスに同じ数字は入らない
●問題●
４
★解答★
１５
４
３
３
１６
２０
２０
１２
１５
１ ２ １６
３ ８ ９
１２
５ ７
アルゴリズムの入出力
入力 ： 三角マス（ヒント）のパターン
出力 ： 上のパターンを持つ問題＆解答図
入力
出力
４
３
２０
１５
１ ２ １６
３ ８ ９
１２
５ ７
問題作成の流れ
解パターン生成
作成成功 作成失敗
ヒントを代入
空きマス０
解く
時間切れ
空きマスを数える
減少
ヒントの変更
増加(orイコール)
ヒントを元に戻す
解パターン生成 その１
適当な１から９の順列を用意
７ ５ ２ ３ ８ １ ９ ６ ４
この繰り返しで盤面を覆う
９ ６ ４ ７
９ ６ ４
９ ６
９
５
７
４
６
９
２
５
７
４
６
３
２
５
７
４
８
３
２
５
７
１
８
３
２
５
９
１
８
３
２
６
９
１
８
３
４
６
９
１
８
７
４
６
９
１
５
７
４
６
９
２
５
７
４
６
２
５ ２
７ ５ ２
４ ７ ５ ２
…
この上から三角マスをかぶせれば数字の重複は起こらない！
解パターン生成 その２
これだけでは
ランダム度が低い
上下左右を確認して
変更できる箇所を
適当に入れ替える
７
４
６
９
１
８
３
２
５
７
４
５
７
４
６
９
１
８
３
２
５
７
２
５
８
７
４
６
９
１
８
３
２
５
３
２
５
７
４
６
９
１
８
３
２
８
３
２
５
７
４
６
９
１
８
３
１
８
３
２
５
７
４
６
９
１
８
９
１
８
３
２
５
７
４
６
９
１
６
９
１
８
３
２
５
７
４
６
９
４
６
９
１
８
３
２
５
７
４
６
７
４
６
９
１
８
３
２
５
７
４
５
７
４
６
９
１
８
３
２
５
７
ヒントの代入
解答から一意に
ヒントが定まるので
それを代入する
８ １ ９ ２７６ ４
７ ５ ２６２ ３
７
９
２０
３
２４
１９
６
４ １８７ ８ ６ ５ ８ １１１ ３ １ ２
２２
２９
６ ８ ７ ３ ４ ２１３ ６ ９ ２ ５
１４
２３
１３
９ ９ ５ ２３７ ３ ９ ５ ６ １１１ ８
２０
１８
１ １ ４ ２ ８ ３ ２４２ ５ ２ ９
６
１７
８ １ ２ ４ ２５４ ２ ６ ４ ５ １９８
２６
４
３ ８
１ ９ ２ ７ ８ １６５ １ ３
２６
８
２１
２３
２ １ ５ ８ ７ １１６ ７ ８ ３ １
１１
１４
１３
５ ５ ６ １６８ ４ ６ ３ １ １２７ ６
２６
１８
７ ２ ７ ９ ３ ５ ９ ４ ７ ５
２４
１２
４ ７ ８ ７ ９ ８ １ ３ ５ ４
５
７
１６
７
５
４
１
８
１３
４
７
２
７
問題作成の流れ
解パターン生成
作成成功 作成失敗
ヒントを代入
空きマス０
解く
時間切れ
空きマスを数える
減少
ヒントの変更
増加(orイコール)
ヒントを元に戻す
CrossSumソルバーの構成
★３つの要素が互いに関係し合っている
盤面に入る数字
数字
その列に入る
数字の組み合わせ
盤面に入る
数字の候補
候補
ヒント
数字が入った場合の処理
可能な組の更新
４
｛３８９｝
｛４７９｝
｛５６９｝
｛５７８｝
その列から３の候補を消す
１５
３
１６
２０
３
１２
そのマスから他の候補を消す
候補が消された場合の処理
可能な組の更新１
マスで候補が一つなら入れる
※仮に列から３の候補が消えたら
３を含む組を消す
４
３
可能な組の更新２
※仮にマスからある組の候補が
全て消されたらその組を消す
３
１５
１６
２０
１２
列で候補が一箇所なら入れる
可能な組が更新された場合の処理
｛１５９｝
｛１６８｝
｛２４９｝
｛２５８｝
｛２６７｝
入らない候補を消す
※３,４,６,７は入らない
４
１５
３
１６
２０
１２
※５は必ず入る
入る数の候補が一箇所なら入れる
解答アルゴリズム
全ヒントに対し可能な数字の組み合わせの更新を行う
４
１５
３
１６
２０
１２
★最終的な結果は更新の適用順序にはよらない
問題作成の流れ
解パターン生成
作成成功 作成失敗
ヒントを代入
空きマス０
解く
時間切れ
空きマスを数える
減少
ヒントの変更
増加(orイコール)
ヒントを元に戻す
ヒントの変更
背景にある解を介してヒントを変更してやる
４
３
１２
４
１２
１ ２
３
３
１２
１３
全部埋まらない
１２
７
１２
１ ２ １２
３ ４ ５
１３
８
１
６ ７
「解」を変更
★少なくとも一つ解の存在が保証される
変更手順（例）
※左上のマスから順次数字を入れ替えていく。
４
３
１２
１２
１ ２ １２
３ ４ ５
１３
６ ７
※数字の変更は同時に
一箇所にのみ行われる。
入れ換えた結果space（解答後の空きマス数）が
下がったら、その数を残し、再び左上に戻る。
全てのマスが埋まる（成功）か、どの数字を変更しても
spaceが下がらず右下に到達（失敗）したら実行終了。
失敗後の処理
ナンプレでは失敗した盤面を捨ててやり直していたが‥
７ ５ ２６２ １３３ ２０８ １ ９ ３２６ １４４ ３０７
２４
４ ７７７
４
８ １６１ ９ ８ ７
１８
３２
６ １
９
３ ９ ７ ６ ８
２０
１３
２９
１３
９ ４ ９ ２３７
７ ８ ３０１ ９
２１
３２
１ ２
２ ５ ９ ６
１１
１４
１２
８ １
４
３ ６ ２１８
１６
１１
１４
３ １６８ １１１
５ ８ ６
１８
１０
１７
２ ４
６
７ １
１７
１２
１９
４
５ ９ ３ １７８ ４ ９
３
７
１７
２３
２６
３
９
８
９
７
１９
１９
４ ７ ５ ８ ６ ８ １
５
７７
２
４
１
１
８
７
１
７
問題点：盤面が大きくなると
面積に対して指数関数的に
成功確率が低下する。
問題作成の流れ （改良版）
解パターン生成
盤面の再生処理
ヒントを代入
作成成功 作成失敗
空きマス０
解く
時間切れ
空きマスを数える
減少
ヒントの変更
増加(orイコール)
ヒントを元に戻す
新たな解パターン生成
７ ５ ２６２ １３３ ２０８ １ ９ ３２６ １４４ ３０７
２４
７
２ ４ ２
１ ８ １６１ ９ ８ ７
４ ７７ １
１８
３２
５ ９ ６
７ ２０３ ９ ７ ６ ８
６ １ ２
１３
２９
１３
９ ９
５ ７ ８ ３０１ ９
９ ４ ９ ２３７ ５
２１
３２
７ ９
５ ７
８ ８
１ １１２ ５ ９ ６
１ ２ ６
１４
１２
１ ６
４ １６４ ２
７ １
９ ３ ６ ２１８
８ １ ８
１１
９ ３ １
２ ２
６ １８５１４ ８ ６
３ １６８ １１１ ５
１０
１７
１
３
２
２
７
８ ４
３ ７ １
２ ４
６ ３
１７
１２
１９
５ ９ ３ １７８ ４ ９ ５ １ １７７４ ３
２３
２６
５ ８ ９ ６
２ ９
１ ７
４
７ ３ ２ ９ １
１９
１９
８ ８
６ ４
９
４ ７ ５ ８ ６ ８ １ ７
５
７７
２
４
１
１
８
７
２
４
１
４
３
７
背後にある解に注目
解けなかった部分を除く
ランダムに再配置
これを種に再び問題生成
全てのマスが埋まるまで繰り返す
★完成図★
新たな種から生成される問題は
より唯一解に近づいている
（と期待される）
この操作を問題が完成するか
納得のいくまで繰り返す。
７ ５ １８２ １２３ ２５８ １ ９ ３２６ １４４ ３０７
２４
７
２
１
４ １２７
４
８ １６１ ９ ８ ７
２９
３２
６ ９ ５ ８ ７ １５３ ９ ７ ６ ８
２９
１３
９４ １ ３ １２７ ９ ５ ７ ８ １８１ ９
２１
２３
１ ２ ７ ５ ８ １ ２８２ ５ ９ ６
５
２５
８ １ １ ４ ２５４ ７ ９ ３ ６ ２５８
１２
３ １８８ １１１ １ ３ ２ ６ １４５６ １ ５
１０
１５
２ ３ １ ２ ４ １７６ ５ ３ ２ １
１２
２３
５ ９ ３ １７８ ５ ９ ８ １ ３７７ ６
３２
１０
７ ６ ２ ９ ７ ８ ９ ２ １ ４
１９
１９
４ ７ ５ ８ ６ ８ １ ８ ２ ９
５
７７
２
４
１
１
８
８
４
１
３
７
考えるべきことのまとめ
 初期盤面をどう作るか
 ソルバーの構成
 問題盤面の変更方法
 失敗時の盤面再生処理
初期盤面をどう作るか
 解を保障する状態からのスタートが望ましい
用いるソルバーが完全でないと盤面が矛盾をはらんでも
検出できず、解答不能状態に落ち込む場合がある。
これを回避するためには「※解の存在を保証し」つつ、
問題盤面を変更していく必要がある。
※ナンプレの生成過程はこの条件を満たしていない
（そうすることは可能だが却って遅くなる）
ソルバーの構成を考える
 基本となる要素は何か？
盤面の状態、候補、その他の制約条件など
 それらが変化したとき影響を受ける範囲は？
変化があった箇所だけ再帰的に解くように設計
★局所的な盤面変更を行う今回の手法に有効
 どこまで簡素化するか
解答能力と計算量のトレードオフを考慮
一般に「完全ソルバー」を作るのは困難
問題盤面の変更方法
 解の存在を保証するように変更
解を変更し、それに合わせて問題盤面を変更する
 部分的に解いたものを保存しておく
変更の度に一から解き直すのは非効率的
 唯一解までの「距離」をどう計るか
空きマス、候補数の総和
失敗時の盤面再生処理
 既に「できている」部分を残してシャッフル
どこまでを「できている」と見なすか
壊しすぎる→収束しない
残しすぎる→閉塞状況を打開できない
今後の予定
 いくつかのパズルに対して適用してみる
 各々について難度を制御できるようにする
私事
 もっと仲間を増やす
 パズル界をルール設計中心の方向へ