Transcript PPT - 石川顕一
統計数理(石川顕一)
統計数理
石川顕一
http://ishiken.free.fr/lecture.html
http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle2005/index.html (昨年度のオープンコースウェア)
10/17
10/24
10/31
11/7
11/14
11/21
組み合わせと確率
確率変数と確率分布
代表的な確率分布
ランダムウォークと破産問題
ブラウン運動と拡散
雑音
No. 1
統計数理(石川顕一)
統計数理
石川顕一
11/21
雑音
• ウィーナー・ヒンチンの定理
• ナイキストの定理
No. 2
統計数理(石川顕一)
6−1 ウィーナー・ヒンチンの定理
•
電気回路における雑音(noise)
– 揺動力(random force)を含むモデルで表される現象の例
↓
•
電気抵抗体の両端に発生する電圧 V(t)
– 理想的には V(t)=0
– 現実には、
内部にある伝導電子の熱雑音(thermal noise)
V(t)はゼロのまわりに揺らぐ(雑音)
雑音に、どのような周波数成分が含まれているかを考える。→ パワースペクトル
No. 3
統計数理(石川顕一)
6−1 ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
– 雑音V(t)を長い時間Tにわたって観測。
1
T
振動数 f の最小単位
fn
n
T
(n 1,2, )
V(t)はこれらの振動数成分の和に分解できる。
V(t) ei2 fn tVn
Vn
n
1
T
T
0
ei 2 fn tV(t)dt
フーリエ変換
• 一般に複素数 Vn Vn*
V(t) ランダム
Vn ランダム
Vn
2
の平均を考える。
振幅の絶対値の2乗→各振動成分の強度
No. 4
統計数理(石川顕一)
6−1 ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
Vn
2
の平均を考える。
振幅の絶対値の2乗→各振動成分の強度
雑音のサンプルに
ついての平均
振動数の微少な幅 f の中に含まれる振幅の強度
SV ( f )f 2
パワースペクトル(power spectrum)
fn
Vn
2
f fn f f
n
T
SV ( f )f 2
1
f の幅に含まれる振動数の数は f Tf
T
2
2
2
ˆ
ˆ
SV ( f )f 2T V ( f ) f
SV ( f ) 2T V ( f )
Vn
f fn f f
1
Vˆ ( f )
T
T
0
e
V(t)dt
i2 ft
No. 5
統計数理(石川顕一)
6−1 ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
SV ( f ) 2T Vˆ ( f )
SV ( f )
2
T
T
0
1
Vˆ ( f )
T
2
dt1 e
T
i2 f t1t2
0
T
0
ei2 ftV(t)dt
V(t1 )V * (t2 ) dt2
雑音の時間相関関数
定常状態(平衡状態)
V (t1 )V * (t2 ) V t1 t2
2
T
2
T
2
T
SV ( f )
T
0
T
0
T
0
dt1 e
T
i2 f t1t2
0
dt1 e
t1
0
dt1 e
t1
0
V t1 t2 dt2
i 2 f t1t2
V t1 t2 e
i 2 f t2 t1
V t2 t1 dt2
i2 f t1t2
V t1 t2 dt2 c.c.
T
T
t
t
= 2 1 ei2 ftV t dt c.c. = 4 1 Reei2 ftV t dt
0
0
T
T
No. 6
統計数理(石川顕一)
6−1 ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
T
t
SV ( f ) 4 1 Reei 2 ftV t dt 4 Reei2 ftV t dt
0
0
T
V t が減衰関数
ウィーナー・ヒンチン(Wiener-Khintchine)の定理
• パワースペクトルは雑音の時間相関関数の積分(フーリエ変換)で表
される
SV ( f ) 4 Reei2 ftV t dt
0
•
白色雑音(white noise)
(t) 2DV (t) 異なる時刻の雑音は全く相関がない
SV ( f ) 4 DV
振動数に依存しない定数
白色雑音
No. 7
統計数理(石川顕一)
6−2 ナイキストの定理
6−2 ナイキストの定理
抵抗値Rの抵抗器の両端に現れる熱雑音のゆらぎのパワースペクトル強度が
SV ( f ) 4 DV
の時、
RC回路
(白色雑音)
DV RkBT
dQ
Q V(t)
CR R
dt
オームの法則
熱雑音による起電力
Qu
ブラウン運動
du
R(t)
u
dt
m
1
CR
No. 8
統計数理(石川顕一)
6−2 ナイキストの定理
•
ナイキストの定理(Nyquist theorem)
dQ
Q V(t)
dt
CR R
t
Q(t) Q(0)exp
CR
Q(t)
2
Q(0)
2t t V (t)
t t
exp
exp
0
dt
CR
R
CR
2
2
eq
t t
V(t)
exp
0 R CR dt
t
eq
t t Q(0)V (t)
exp
CR 0
R
t V(t)
t t
exp
dt
CR
0 R
2
2DV
R2
eq
1
2
R
ゼロ
eq
eq
t t
exp
dt
CR
t t1 t t2
dt
dt
exp
0 1 0 2 CR exp CR V(t1 )V(t2 )
t
t
2(t t1 ) CDV
2t
dt
exp
1
exp
0 1 CR R
CR
t
eq
(t1 t2 ) 2DV (t1 t2 )
No. 9
統計数理(石川顕一)
6−2 ナイキストの定理
•
ナイキストの定理(Nyquist theorem)
Q(t)
2
Q(0)
2
eq
eq
2t CDV
2t
exp
1
exp
CR R
CR
Q(t)
2
平衡状態では等しい
電荷によってコンデンサーに生じるエネルギー
eq
CDV
R
Q2
E
2C
このゆらぎの実現確率は、ボルツマン分布に従う。
E
Q2
Peq (Q) exp
exp
k
T
B
2kBTC
CDV
CkBT
R
DV RkBT
Q2
eq
CkBT
SV( f ) 4RkBT
ナイキストの定理
熱雑音が巨視的な観測量で決まる。
No. 10
統計数理(石川顕一)
6−2 ナイキストの定理
•
白色雑音(white noise)
(t) 2DV (t)
SV ( f ) 4 DV
•
異なる時刻の雑音は全く相関がない
一種の理想化
振動数に依存しない定数
ローレンツ型雑音
(t) V 2 e t /
SV ( f ) V 2
揺らぎの時間相関関数に有限の時定数
4
(2f )2 1
Lorentzian noise
No. 11