Transcript PPT - 石川顕一
統計数理（石川顕一） 統計数理 石川顕一 http://ishiken.free.fr/lecture.html http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle2005/index.html （昨年度のオープンコースウェア） 10/17 10/24 10/31 11/7 11/14 11/21 組み合わせと確率 確率変数と確率分布 代表的な確率分布 ランダムウォークと破産問題 ブラウン運動と拡散 雑音 No. 1 統計数理（石川顕一） 統計数理 石川顕一 11/14 ブラウン運動と拡散 • 自己相関関数 • ランジュバン方程式 No. 2 統計数理（石川顕一） ５−１ ブラウン運動 • イギリスの植物学者ブラウン（1827年） – 水中の花粉の中の微粒子の運動を顕微鏡で観察し、不規則な運動をしているこ とを発見。 ブラウン運動(Brownian motion) 周囲の環境の分子の熱運動の 影響によって生じる不規則な運 動 熱運動している溶媒分子か らの衝突を受けて運動。 マクロな熱力学的記 述（拡散） 微粒子１個のレベルのブラウン 運動の力学的記述 ランジュバン方程式 No. 3 統計数理（石川顕一） ５−１ ブラウン運動 自己相関関数 • • 確率変数x(t)は、一般に時刻tとt+tとでは一般に異なる値x(t)およびx(t+t)を 取る。 – t → 0 : x(t)とx(t+t)は近い値 – t → 無限大 : x(t)とx(t+t)は完全に独立 連続する事象間の相関 → 時間間隔 t に依存 1 T T 自己相関関数 G(t ) x(t)x(t t ) lim T 0 x(t)x(t t )dt 時間平均 No. 4 統計数理（石川顕一） ４−３ ランダムウォークと拡散 • 揺動散逸定理 散逸・輸送 （平衡状態での）ゆらぎ ランダムウォークと拡散現象 x2 1 P(t,x) exp 4Dt 4Dt l2 D 2t x2 2Dt 位置の分散 • 初期条件 – t = 0での濃度分布は？ ディラック(Dirac)のデルタ関数 P(t,x)dx 1 2x x2 1 (x) lim exp t0 4Dt 4Dt x 0 P(t 0,x) 0 x 0 P(t 0,x 0) x = 0に集中した分布 ランダムウォークは、１次元の拡散方程式 P 2 P D 2 t x P(t 0,x) (x) のモデルの１つ No. 5 統計数理（石川顕一） ５−２ ランジュバン方程式 • 溶媒中の微粒子の運動方程式 – 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式 d 2x m 2 F dt F m dx R(t) dt 粘性抵抗力 du m F dt F muR(t) 微粒子について平均 d m u m u dt 揺動力(random force) R(t) 0 R (t)R (t) (t t) • 異なる方向成分は無相関 • 時間が異なれば無相関 • 微粒子によっても異なる No. 6 統計数理（石川顕一） ５−２ ランジュバン方程式 • 拡散係数との関係 d 2x dx m 2 m R(t) dt dt x 成分のみを考える。 2 1 dx kT m 温度 T で、 2 dt 2 d2 x dx m 2 m R(t) dt dt 両辺にxをかける。 2 mx d x dx m x xR(t) 2 dt dt 時間平均または微粒子について平均 d2 x dx m x 2 m x dt dt 2 dx 1 dx x dt 2 dt 2 2 2 1 d x 1 d x m kT m 2 2 dt 2 dt 2 2 2 d 2 x 1 d x dx x 2 2 dt dt 2 dt No. 7 統計数理（石川顕一） ５−２ ランジュバン方程式 • 拡散係数との関係 2 2 2 1 d x 1 d x m kT m 2 dt2 2 dt 1 df 1 m kT mf 2 dt 2 2kT f 1 et m t が十分大きければ 拡散方程式より dt df 2kT f 0 dt m x2 2kT t t e 1 2 m 10-13秒のオーダーで 減衰 2kT x t m 2 x2 2Dt アインシュタインの関係式 (Einstein’s relation, 1905年) f d x2 kT D m マクロな量の測定から ボルツマン定数kを決定 できる。 No. 8 統計数理（石川顕一） ５−２ ランジュバン方程式 • まとめ：溶媒中の微粒子の運動方程式 – 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式 d 2x m 2 F dt F m dx R(t) dt 粘性抵抗力 2kT 2kT t x t 2 e 1 m m 2 10-13秒のオーダーで 減衰 R(t) 0 R (t)R (t) (t t) • 異なる方向成分は無相関 • 時間が異なれば無相関 • 微粒子によっても異なる 2kT t m t が十分大きければ x2 拡散方程式より x 2Dt 2 揺動力(random force) アインシュタインの関係式 (Einstein’s relation, 1905年) D kT m 特殊相対性理論、光量子仮説も！ No. 9 統計数理（石川顕一） ５−３ 速度相関関数による表現 速度相関関数 (t ) u(t1 )u(t2 ) u(t1 )u(t1 t ) たくさんの微粒子に関する平均 粒子の変位の２乗の平均 x2 2Dt t が十分大きいところで 1 2 x t 2t t x 0 u(t)dt D lim を拡散定数の定義と考える。 1 D lim t 2t dt dt t t 1 0 0 2 u(t1 )u(t2 ) 拡散係数は速度相関関数の時間積分によっ て表される。 平衡状態では u(t1 )u(t2 ) は時間差のみの関数 1 t 2t D lim (t1 t2 ) u(t1 )u(t2 ) 0 dt1 0 dt2(t1 t2 ) t t No. 10 統計数理（石川顕一） ５−３ 速度相関関数による表現 1 t 2t D lim t t D lim 0 1 (t )dt t t 0 dt1 0 dt2(t1 t2 ) t t [証明] 0 dt1 0 dt1(t1 t2 ) 0 dt1 0 dt2(t1 t2 ) 0 dt1 t dt2(t1 t2 ) 0 dt1 0 dt2(t1 t2 ) 0 dt2 0 dt1(t1 t2 ) 0 dt1 0 dt2(t1 t2 ) 0 dt1 0 dt2(t2 t1) t t t t1 t t 1 t t1 t t t1 t t2 t1 dt dt (t ) (t ) 2 dt 2 dt t dt (t ) 2 (t t )(t )dt t 1 0 t1 t 0 0 t t 1 t1 0 dt(t ) t 1 0 0 t D lim 0 1 (t )dt t t t (t ) が減衰関数なら D 0 t t1 t2 (t ) (t ) (t )dt No. 11 統計数理（石川顕一） ５−３ 速度相関関数による表現 (t ) u(t1 )u(t2 ) u(t1 )u(t1 t ) (t ) D が減衰関数なら 0 速度相関関数 (t )dt 拡散係数は、速度相関関数を積分したもの kT (t ) B e t / t c m D アインシュタインの関係式 (Einstein’s relation, 1905年) tc ：相関時間 kBT tc m D 相関時間 抵抗係数 tc 1 kBT m No. 12