Transcript 5章 データ数不揃いの場合

1
６章
データ数不揃いの場合の分析
アンバランス型（不釣合い型）の計画
ss2やss3 って何？
2
ことば
•
•
•
•
A1
A2
データ数が揃っていない計画
セルサイズが揃っていない計画
アンバランス型計画
A1
3.0
不釣合い型計画
B1
9,9,11,11
10,6
B2
5
4,6
デ
ー
タ
合計
平均
4.0
7
3.5
A2
2.0
4.0
4.0
4.0
5.0
A3
5.0
5.0
5.0
5.5
6.0
6.0
19 32.5
3.8
5.4
A4
5.0
6.0
11
5.5
3
分散分析・実験計画法は
• 基本的に「実験データ」の分析方法
– セルサイズが揃っていることが前提
• 実験であるからセルサイズを整えることは可能な
はず
• 何らかの事情で少数個のデータが欠けることは許
される
• セルサイズがそうとうバラバラ
– 「調査データ」の分析に多い
– 分析は可能であるが．．．．
4
問題点とプロシージャ
• １要因の場合
– 解釈が難しくなる
• ２要因以上の場合
– 各要因の平方和が確定しない
– 「平方和の分解」が成り立たない
– 解釈が難しくなる
• PROC GLM (general linear model)
– 「PROC ANOVA」 はだめ
WARNING: PROC ANOVA has determined that the number of observations in each
cell is not equal. PROC GLM may be more appropriate.
5
１要因の場合：例１
デ
ー
タ
B1
2.0
2.2
2.5
2.8
3.0
B2
3.5
3.8
4.0
4.2
4.5
B3
4.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
合計 12.5
平均
従属変数:2.5
Y1
20
4.0
ｿｰｽ
ﾀｲﾌﾟ III 平方和
修正ﾓﾃﾞﾙ
14.063a
切片
160.000
B
14.062
誤差
5.760
総和
177.510
修正総和
19.823
11
被験者間効果の検定
0.0
5.5
B1
自由度
2
1
2
9
12
11
平均平方
7.031
160.000
7.031
.640
B2
F値
10.986
250.000
10.986
B3
有意確率
.004
.000
.004
6
多重比較
• B1とB2には有意差があるが，B2とB3には
有意差はない
• しかし，平均差は共に1.5
多重比較
従属変数: Y1
(I) B
1.00
平均値の
差 (I-J)
標準誤差
-1.5000*
.5060
-3.0000*
.6693
1.5000*
.5060
-1.5000
.6693
3.0000*
.6693
1.5000
.6693
(J) B
Tukey HSD
2.00
3.00
2.00
1.00
3.00
3.00
1.00
2.00
観測された平均に基づく。
*. 平均値の差は .05 水準で有意です。
有意確率
.038
.004
.038
.117
.004
.117
95% 信頼区間
下限
上限
-2.9127 -8.73E-02
-4.8688
-1.1312
8.734E-02
2.9127
-3.3688
.3688
1.1312
4.8688
-.3688
3.3688
7
図で表すと
6.0
＊
5.0
＊
4.0
3.0
2.0
n1  5
n2  5
n3  2
B2
B3
1.0
0.0
B1
8
１要因の場合：例２
デ
ー
タ
合計
平均
A1
3.0
4.0
7
3.5
A2
2.0
4.0
4.0
4.0
5.0
A3
5.0
5.0
5.0
5.5
6.0
6.0
19 32.5
3.8
5.4
変動要因
変動
A
11.225
誤差
7.00833
合計
18.2333
A4
5.0
6.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
11
5.5
自由度
3
11
14
0.0
分散
3.74167
0.63712
A1
A2
F-値
5.87277
A3
A4
P-値
F 境界値
0.01205 3.58743
9
多重比較
• A2とA3には有意差がある
• しかし，A2,A3を含むより大きな平均差があ
多重比較
るA1とA2においては有意差が認められない
従属変数: Y
Tukey HSD
(I) A
1
2
3
4
(J) A
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
平均値の
差 (I-J)
標準誤差
-.3000
.6678
-1.9167
.6517
-2.0000
.7982
.3000
.6678
-1.6167*
.4833
-1.7000
.6678
1.9167
.6517
1.6167*
.4833
-8.33E-02
.6517
2.0000
.7982
1.7000
.6678
8.333E-02
.6517
有意確率
.968
.056
.114
.968
.029
.107
.056
.029
.999
.114
.107
.999
95% 信頼区間
下限
上限
-2.3099
1.7099
-3.8781 4.476E-02
-4.4022
.4022
-1.7099
2.3099
-3.0713
-.1620
-3.7099
.3099
-4.48E-02
3.8781
.1620
3.0713
-2.0448
1.8781
-.4022
4.4022
-.3099
3.7099
-1.8781
2.0448
10
図で表すと
*
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
n1  2
n2  5
n3  6
n4  2
A1
A2
A3
A4
1.0
0.0
11
WHY?
• セルサイズが異なることがその原因
– セルサイズが小さいと検定の検出力が下がり，
第二種の過誤が大きくなる
– 検出力の異なる仮説検定の結果を比較する
ことは，あまり意味がない
– 有意水準はOK
12
一つの解決策
• セルサイズの調和平均を用いて，バランス
型として分析する
– あくまでも近似であり，セルサイズが大きく
異なる場合は有意水準が保たれるか不安
• 各ソフトで独自の工夫がなされているよう
である
– ソフトで出力が異なる？
13
調和平均を用いた例：SPSS
Y
ｻﾌﾞｸﾞﾙｰﾌﾟ
A
N
1
2
Tukey
1
2
3.5000
2
5
3.8000
3.8000
3
6
5.4167
5.4167
4
2
5.5000
有意確率
.059
.102
Ryan-Einot-Gabriel-Welsch
1
2
3.5000
d,c
範囲
2
5
3.8000
3
6
5.4167
4
2
5.5000
有意確率
.918
.993
等質ｻﾌﾞｸﾞﾙｰﾌのｸﾞﾙｰﾌﾟﾟ平均はﾀｲﾌﾟ III 平方和に
基づき表示されます。
誤差項は平均平方 (誤差) = .637 です。
a. 調和平均ｻﾝﾌﾟﾙ ｻｲｽﾞ = 2.927 を使用します。
b. ｸﾞﾙｰﾌﾟのｻｲｽﾞが等しくありません。ｸﾞﾙｰﾌﾟのｻｲｽﾞの調和平均が使用されて
います。ﾀｲﾌﾟ I ｴﾗｰ水準は保証されません。
c. ｱﾙﾌｧ = .05
d. 限界値はこれらのﾃﾞｰﾀに対して単調ではありません。単調性を確実にする
ために代入が行われたため、ﾀｲﾌﾟIの誤りは従来より小さくなります｡
HSDa,b,c
14
調和平均を用いた例： SAS
RYAN-EINOT-GABRIEL-WELSCH 多重範囲検定 - 変数 : Y
NOTE:
この検定法はタイプ I の実験（全体）誤差率を 調整しています．
ALPHA= 0.05
df= 11
MSE= 0.637121
WARNING: セルのサイズが等しくありません．
セル・サイズの調和平均 = 2.926829
平均の数
2
3
4
臨界範囲
1.706266 1.7820536 1.9857424
同じ文字で結ばれた群間の平均差は有意でありません．
REGWQ グループ化
B
B
B
A
A
A
A
A
平均
N
A
5.5000
2
4
5.4167
6
3
3.8000
5
2
3.5000
2
1
15
まとめ：１要因の場合
• セルサイズが異なっているときは，平均差
と有意性が対応しないことがある
– 解釈に困る
– セルサイズのばらつきが小さいときはこの
問題は生じない
– 平均差と有意性が対応しているときは問題
ないだろう
– 調和平均を用いる方法もあるが，セルサイズ
が大きく異なるときは問題あり（第一種の過
誤）
16
２要因の場合
• 平方和が確定しない
– 各要因の平方和がうまく分離できない
– 各要因ごとの平方和がいくつも提案されており，
確定的なものがない
• タイプ ⅠⅡⅢの平方和がある
• 解釈についての問題もある
– １要因の場合と同様
17
平方和の種類
• タイプⅠ：逐次平方和
– モデルに記述した要因の順に，要因を取り込んでいく
ときに，モデルで説明できる平方和の増分
• タイプⅡ：偏平方和（?）
– 主効果の評価は他の主効果のみ調整してから行う
（交互作用を調整しない ）
• タイプⅢ：セル平均に基づく平方和(?)
– 主効果の評価は他の要因の全てを調整してから行う
（交互作用も調整する）
• model x =a b a*b/ss2
model x =a b a*b/ss2 ss3
18
分かっていること
• セルサイズが揃っている場合は全ての
平方和は一致する
• タイプⅠは，要因の順序に意味がある場合に
のみ用いる
– 枝分かれ実験，多項式回帰など
• タイプⅡとタイプⅢの違いは微妙
– 交互作用の平方和は両者で一致する
– 交互作用がないモデルにおいては両者は一致
19
モデルで説明
xijk    a j  bk  eijk
xijk    a j  bk  (ab) jk  eijk
A
A
Ｙ
Ｙ
AB
B
B
タイプⅡ平方和
タイプⅢ平方和
20
具体的には
• 投入要因に依存する（タイプⅡ，Ⅲ平方和）
x=a
SAの大きさが異なる
x=ab
• 要因の投入順序に依存する(タイプⅠの平方
和)
SAの大きさが異なる
SBの大きさが異なる
x = a b a*b
x = b a a*b
21
２要因の場合：例
A1
A2
要因効果
B2
5
4,6
B2
5
5
11
10
9
特性値
A1
A2
生データ
B1
9,9,11,11
10,6
セル平均
B1
10
8
8
A1
A2
7
6
5
4
B1
B2
変
22
ANOVA結果
交互作用がない場合
モデル
x
x
x
x
=
=
=
=
a
b
a b
b a
タイプⅠ
A
B
13.89
37.56
13.89 27.22
3.56 37.56
タイプⅡor Ⅲ モデルの
誤差
総平方和
平方和
A
B
平方和
13.89
13.89
43.00
56.89
37.56
37.56
19.33
56.89
3.56 27.22
41.11
15.78
56.89
3.56 27.22
41.11
15.78
56.89
ANOVA結果
交互作用がある場合
モデル x = a b ab
A
B
A*B
SS P-値 SS P-値 SS P-値
Type I 13.89 0.08 27.22 0.03 1.78 0.46
Type II
3.56 0.31 27.22 0.03 1.78 0.46
Type III 1.78 0.46 28.44 0.02 1.78 0.46
モデル x = b a ab
A
B
A*B
SS P-値 SS P-値 SS P-値
Type I
3.56 0.31 37.56 0.01 1.78 0.46
Type II
3.56 0.31 27.22 0.03 1.78 0.46
Type III 1.78 0.46 28.44 0.02 1.78 0.46
23
24
バランス型計画
（セル度数が揃っている場合）
１要因
２要因
ＳT
ＳT
ＳA
ＳB
ＳA
ＳA×B
ＳE
ＳE
25
アンバランス型計画
（セル度数が揃っていない場合）
２要因
２要因
ＳT
ＳT
ＳA
ＳA
ＳB
ＳA×B
ＳA×B
ＳE
バランス型計画
ＳB
ＳE
アンバランス型計画
変
3.56
10.33
A
B
27.22
26
解釈：
交互作用が
ない場合
15.78
モデル
x
x
x
x
=
=
=
=
a
b
a b
b a
タイプⅠ
A
B
13.89
37.56
13.89 27.22
3.56 37.56
タイプⅡor Ⅲ モデルの
誤差
総平方和
平方和
A
B
平方和
13.89
13.89
43.00
56.89
37.56
37.56
19.33
56.89
3.56 27.22
41.11
15.78
56.89
3.56 27.22
41.11
15.78
56.89
解釈：交互作用がある場合(タイプ II)
27
10.33
3.56
27.22
ＳＡ
ＳＢ
ＳＡ×Ｂ
1.78
モデル x = a b ab
A
B
A*B
SS P-値 SS P-値 SS P-値
Type I 13.89 0.08 27.22 0.03 1.78 0.46
Type II
3.56 0.31 27.22 0.03 1.78 0.46
Type III 1.78 0.46 28.44 0.02 1.78 0.46
モデル x = b a ab
A
B
A*B
SS P-値 SS P-値 SS P-値
Type I
3.56 0.31 37.56 0.01 1.78 0.46
Type II
3.56 0.31 27.22 0.03 1.78 0.46
Type III 1.78 0.46 28.44 0.02 1.78 0.46
解釈：交互作用がある場合(タイプⅢ)
10.33
3.56
1.78
28.44
1.78
-1.22
27.22
ＳＡ
ＳＢ
ＳＡ
ＳＡ×Ｂ
ＳＡ×Ｂ
タイプⅡ
ＳＢ
1.78
タイプⅢ
1.78
28
分散分析表の出力について
Sum of
Mean
Source
DF
Squares
Square
F Value
Pr > F
Model
3
42.88888889
14.29629630
5.11
0.0555
Error
5
14.00000000
2.80000000
Corrected T
8
56.88888889
--------------------------------------------------------------------Source
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
A
1
13.88888889
13.88888889
4.96
0.0764
B
1
27.22222222
27.22222222
9.72
0.0263
A*B
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
--------------------------------------------------------------------Source
DF
Type II SS
Mean Square
F Value
Pr > F
A
1
3.55555556
3.55555556
1.27
0.3110
B
1
27.22222222
27.22222222
9.72
0.0263
A*B
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
--------------------------------------------------------------------Source
DF
Type III SS
Mean Square
F Value
Pr > F
A
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
B
1
28.44444444
28.44444444
10.16
0.0243
A*B
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
29
30
分散分析表について_つづき
• モデルと誤差の平方和は（いつも）確定する
– アンバランス型のときは，モデルの平方和を，各要因
への分解するときに問題が生じる
• ソフトウェアは，確定部分とそうでない部分を分
けて出力する[もちろん，モデルの全体的評価と
局所評価を区別する意味もある]
Sum of
Mean
Source
DF
Squares
Square
F Value
Pr > F
--------------------------------------------------------------------A
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
B
1
28.44444444
28.44444444
10.16
0.0243
A*B
1
1.77777778
1.77777778
0.63
0.4617
Error
5
14.00000000
2.80000000
--------------------------------------------------------------------Corrected T
8
56.88888889
31
まとめ：２要因以上ある場合
• アンバランス型の場合は要因効果を正確
に定義できない
– 要因効果が重なっている
• 次善策として，ソフトウェアはいくつかの
平方和を用意
32
まとめ：つづき
– タイプⅡかタイプⅢの平方和を用いる
• タイプⅡ
– 主効果を調べるときは交互作用を考えない
– 交互作用を調整せずに主効果を評価する
• タイプⅢ
– 主効果を調べるときも交互作用を含めたモデルを用いる
– 交互作用を調整してから主効果を評価する
– SAS，SPSSともにデフォルトはタイプⅢである
– 「SASによる実験データの解析：東大出版」は
タイプⅡを薦めている
33
recommendation
• まず，タイプⅡとタイプⅢの両者で検定する
– 結果に違いがなければ，どちらを報告してもよい
– 結果が異なる場合は強い結論を主張しない
• 次スライドのコメントをいれておく
34
釈明！？
分散分析は，本来セルサイズが揃ったバラ
ンス型のデータへ適用すべき手法である．
本論文のようにアンバランス型のデータへ
適用すると，ときにmisleadingな結果を導く
ことがある．しかし，実験が不可能で調査
データに頼らざるを得ない状況では最善の
分析方法であると考える．より強固な統計
的証拠を得るために今後のfollow-up研究
を待ちたい．
35
データ解析テクニカルブックとの
対応
• 上記テキストには，データ数が揃っていな
い場合の分析として，簡便法(以下の量を
用いてバランス型の分析に帰着)が紹介さ
れている
n：
調和平均
周辺平均：非加重平均
• 基本的にSAS，SPSSによる分析と一致し
ない
36
７章
Practical Issue