Transcript 格子上の場の理論の最近の進展

格子超対称性に向けて
宗 博人(新潟大・理)
`02 Oct. 24
於 基研
内容：
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ちょっと一言
超対称性とは？
格子上の超対称性の登場と困難
Wilson Fermion では？
フェルミオニック対称性
坂井・坂本 → Kaplan et. al (02)
セル＋パイプ模型 (01)
伊藤・加藤・澤中・宗・浮田・村田
・ まとめ
1
一言
（２００２まで）格子上の超対称性は、
・格子QCDの勃興期に対応
・いろんなアプローチが提唱
・新人でもあっと驚く仕事の可能性
・確実な仕事向きではないが….
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行列模型
格子QCD
カイラル
ゲージ
理論
格子
超対称性
CP PACS
Luscher
????
先頭
格子
量子重力
3
連続理論における超対称性
ポアンカレ対称性 (並進 + ローレンツ対称性)を含む非自明な拡張には、
フェルミオニックな対称性を必ず含む （超ポアンカレ対称性）
→ ‘beyond the standard model’の有力候補
超ポアンカレ代数（N=1)
4
ガンマ行列
5
フェルミオンとボソンの自由度と質量縮退
（真空はユニーク）
真空以外は、 同じ(物理的）自由度
6
同様に、質量縮退は、
を計算
質量縮退
但し、PとQが可換、Qと(-1)2Sは反可換を使う
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(D次元空間) ユークリッド理論 +経路積分量子化
物質場多重項
S=0,1/2
超対称性(SUSY、supersymmetry)の変換
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R-symmetry （SUSYと関わるglobal symmetry）
三種類のU(1)の存在、三つの複素場φ, ψ, F
多重項としてのU(1)、カイラルU(1)、 U(1)R
∵ 本質的にカイラル ← カイラルアノーマリー
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連続でのsuper Yang-Mills 理論without Auxiliary Field
ゲージ場多重項 (S=1, 1/2)
変換
ライプニッツ則とビアンキ恒等式
O(Ψ）は、任意次元で相殺
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O(Ψ3）は、以下の次元のみ相殺
D=3 Majorana
2/2 = 1
D=4 Majorana
22 /2 = 2
D=6 SU(2) Majorana-Weyl 23*2/2/2 = 4
D=10 Majorana-Weyl
25/2/2 = 8
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１ 格子上の超対称性の始まり
Pioneering Work;
LATTICE SUPERSYMMETRY
P.H. Dondi, H. Nicolai, Nuovo Cim.A41:1,1977
格子化 → ナイーブ差分
問題点
・代数
・ライプニッツ則
・（ビアンキ恒等式）
・自由度（ダブリング）
・質量、無質量
・‘マヨラナ条件’
お断り
Ginsparg-Wilson Fermion関係式とSUSYの関係
（菊川-青山、宗-浮田、菊川-中山、藤川）
省略
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Ginsparg-Wilson(GW)関係式と超対称性
D=2, Wess-Zumino 模型（Ukita-H.S
PL B457 (‘99)314）
ミクロからマクロへ・・・ブロックスピン関数 fn(x)
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GWと同様の方法（ガウス型）で、ブロックスピン
・ カイラル変換では、普通のGW関係式を導く。
具体的なブロックスピン関数(f)によらない。
・ SUSYでは、具体的なブロックスピン関数(f)に依存する。
フェルミ型GW＋ボーズ型GWを見つけられる（A-K’９９）
U(1)Rは Luscher型である。
しかし、fは一般に非局所的である。
さらに、相互作用があるとお手上げ
・ super Yang-Mills では、mass term （ガウス型ブロックスピン）
とゲージ対称性の相性は？？？？
・ 量子マスター方程式では、克服可か？？？
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２ 困難
A. SUSY代数
↓
（結晶）空間群 ← 有限並進変換
←
Super Poincareの再考
B. ライプニッツ 則の破れ
自由場の理論
(野尻、青山-菊川、宗-浮田、・・・藤川・・・・)
→
作用の不変性に対して、
O(a)の破れか、 ライプニッツ 則を使わない
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格子ライプニッツ則のno-go定理
条件
・ 並進不変性
・ ‘local’な差分によるライプニッツ則
・ 相互作用が、（指数関数的に）local
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
→ 不可能
Ukita-H.S
’99 SUCAL 新潟研究会報告
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O(a)の破れ
I Curci-Veneziano
II Kaplan-Schmaltz
SYM →
I → Adjoint Wilson Fermion + Fine Tuning
‘マヨラナ条件’
Fine Tuning of Δm
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仮定：SUSY固定点ありき
relevant, irrelevant Operatorsに分類
ゲージ不変な（自由度もバランスした）形式では
Fine Tuningは、フェルミオンの質量項のみ
カイラル Ward-Takahashi id.
SUSY Ward-Takahashi id.
同等性（一つのΔmで、両恒等式をsaturate）
谷口、DESY-Munster-ROMA
(1-loop, MC)
一応肯定的だが、
実際のシミュレーション、有限繰込み
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II Domain-Wall Fermion + 5D Majorana Condition
Domain-Wallの図
ゼロモードの図
5次元マヨラナ条件
・Fine Tuningは不要になった
・symmetryはない
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３ ライプニッツ則は必要か？
• フェルミオニックな対称性
↓
Vacuum Energyの相殺
BosonとFermionの質量縮退
例 坂井-坂本 (Nucl.Phys.B229:173,1983)
N=2, D=2 Wess-Zumino model
Four Fermionic Charges
代数にPを含まない二つのCharges
表示
・ ‘SUSY’代数としては、Hのみ含む
・ spinorを１に固定してinternal (1⇔2)回転不変性
GR= O(2)
・ 対称性が厳しいが、N=1でも可能(Elitzur-Rabinovici-Schwimmer ’82)
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∴ Hamilton形式ではライプニッツの問題がない
但し、全体の半分のFermionic Chargeのみ
あとの対称性は、格子上では問わない
場の置き方：サイト上とリンク上にばらける
サイト(n)
リンク(n,n+1)
Super Potential Wがあっても、OK.
Nicolai Mapping → ユークリッド作用の構成
真空のエネルギーの相殺（Z=1）の確認
何故、サイトとリンクにばらけたのか？ → 自由度の問題
1+1次元では、Wilson とStaggeredの区別がない？
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ナイーブなアプローチ
フェルミオン doubling → ボソン doubling
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Catteral-Karamov
Phys.Rev.D65:094501,2002
Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:935-937,2002
ユークリッド作用の対称性
↓
フェルミオニックな対称性
フェルミオンとボソンの質量縮退
Super-QM
変換
注意
1 変換は BRS的
2 OS positivityはない
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Mass の縮退と SUSY Ward-Takahasi id.
フェルミオンとボソンの縮退の表
SUSY Ward-Takahasi id.
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LATTICE SUPERSYMMETRY
D.B.Kaplan E.Katz and M. Unsal
hep-lat/0206019
・ Construction of Lattice Theory
・ Exact Fermionic Symmetry
- half of original ‘SUSY’ –
･ 3 Ms
⇒ 6 daughters
D=4,6,10 or N=1,2,4
Orbifolding
･ Hamilton形式 →
0+1次元理論
・ Lack of discrete‘ Lorentz’ symmetry
・ Lack of O-S positivity （？）
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Construction of Connectivity
‘d次元空間’＋連続時間
GR×U(Nd k)
∋
GR : Global R-Symmetry
Adjoint
← 単なる整数の組
d個の制限 （‘Orbifolding’）
← ‘格子化’
Nは‘空間’格子のサイズ
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1次元空間の例
Φが0以外の値を持つには、
orbifold chargeが0の時は、n=m
‘サイト’と呼ぶ
orbifold chargeが±1の時は、n=m ±1 ’リンク‘と呼ぶ
高次元の場合は、以下の表から読み取る
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(i) 一次元（空間）格子
(ii) 二次元（空間）格子
(a)
point group
π回転と鏡映(4)
(b)
point group
(iii) 三次元（空間）格子
point group
Dihedral sym. (12)
Octahedral sym. (48)
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図(i)
図(ii)a
図(ii)b
図(iii)a
30
図(iii)b
図(iii)c
point group
(8)
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１＋１次元理論の連続極限と格子‘作用’
N=1,３＋１次元SYMの連続理論のreduction
Target Theory
図１の例（０＋１次元）
補助場を消すと
ボソン
フェルミオン
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Classical moduli
‘格子化’へのパラメーター
連続極限
‘Wilson’ 項の生成
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フェルミオニックな対称性と
セル＋パイプ模型
Itoh-Kato-Sawanaka-So-Ukita , Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:947-949,2002
Prog. of Theor. Phys. 108 :363-374,2002, hep-lat/0209034
Itoh-Kato-Murata-Sawanaka-So, hep-lat/0209030
戦略：可能な限り、localな理論の枠で、
フェルミオニックな対称性を探す。
連続極限で生き残る対称性 → SUSY？
• セル模型 ・・・・ Minimalな世界
基本格子上の
リンクにリンク変数
サイトに、グラスマン変数
Wilson’s plaquette Action
＋ real staggered Fermion
と
を置く
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2,3次元の図
連続でのsuper Yang-Mills変換に‘類似な’
フェルミオニックな対称性を探す
フェルミオニックな変換 (preSUSY)
αρμと Cμνは、G-oddなパラメーター
図で書くと、ゲージはー、フェルミオンは●
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作用の図
符号について
影つきが、δ=＋１
変換の演算子の図
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フェルミ3次項を相殺するための条件
⇔
∴
ゲージ作用とフェルミ作用の相殺条件
⇔
37
∴
⇒
経路積分測度不変の条件
条件式を解く
独立変数
サイトあたりの自由度
ーーーーーーーーーーーーーーーー
全空間へ拡張は可能か？
すべての断面で、市松模様
= Ichimatsu lattice
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フェルミオンをswitch offすると各セルは、
お互いに何の関係もない
・パイプ模型からセル＋パイプ模型へ
パイプ ＝セルの補集合
パイプの図
セルとパイプを式で書くと
セル＋パイプ作用
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セル＋パイプ模型の対称性
独立な自由度 2D-1で解ける
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Ichimatsu Lattice のuniqueness 定理
仮定
・ どんな面でも市松模様
・ mod 2 並進対称性
・ π/2回転対称性
・ Reflection Positivity
結論
⇒
セルかパイプか
セル＋パイプ
しかない
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
1-component Grassmann (ξ)と
フェルミオン (Ψ)の関係
Majorana Staggered Fermionの
Ψ
Spinor 再構成の問題
現実には、次元による構成
⇔
ξ
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連続極限と真空構造
ゲージ結合定数の定義
フェルミオンの変換の問題
の相構造が大事
3D Z2と4D SU(2)模型で調べる
（相転移がある系とクロスオーバーしかない系）
Pure Gauge 系
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平均場による相図
Dualityとセルやパイプでの相転移
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3D Z_2 セル+パイプ模型
では、３Dイジングに等価
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シミュレーションによる相図
47
4D SU(2) セル＋パイプ模型
Crossover 付近
48
49
強結合パイプ模型
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強結合セル模型
51
シミュレーションによる相図
4D SU(2)
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まとめ（宿題）
SUSYの代わりにフェルミオニックな対称性
・超空間の格子化は？
・グラスマン数の離散化？
実空間だけ離散化して
グラスマンの方は変えない？
フェルミオニックな対称性の正体
Super Poincareの‘格子化’？
セル＋パイプの問題
ダブリング ⇔ N=? ⇔ local parameters
Kaplan et al の問題 Euclid latticeで構成可？ OS positibityの問題
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比較
セル＋パイプ模型
・ より‘単純な格子’から、exact fermionic symmetryを探す
・ mod 2 ICHIMATSU格子
・ ユークリッド格子
・ OS positivity OK
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
K-K-U模型
・ 残すべきexact fermionic symmetryを考えながら、格子構造を考える
・ 点群
・ ハミルトン形式
・ OS positivity NO?
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
共通項
格子にある構造を持たせて、格子‘SUSY’を
Exact symmetry に昇華させる
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格子QCD
カイラル
フェルミオン
格子
超対称性
先頭
55