Transcript 0-§5 - JASMINE

立教大集中講義2004．7
銀河の力学構造と自己重力多体系の
非線形現象
郷田直輝（国立天文台）
1
講義目次
§0 はじめに
§1 宇宙の階層構造
§2 階層構造の形成
§3 自己重力多体系の力学構造と基礎概念
§4 基礎方程式（（無衝突）ボルツマン方程式）
§5 重力熱的破局及び宇宙の進化とエントロピー
§6 無衝突ボルツマン方程式の平衡解
§7 緩和と力学構造
§8 カオス的遍歴と緩和～新しい統計力学の構築に向けて～
セミナー：JASMINE(赤外線位置天文観測衛星）計画と銀河系の
力学構造の構築
2
★スケジュール
AM(10:30～12:00) PM1(13:30～15:00) PM2(15:30～17:00)
7/7(水）§0,§1,§2,
§3
9（金）
§6
§4
§5
§7（前半）
セミナー
（１６：００～１７：００)
14（水）
§7（後半）
§8
3
★参考書
基礎的なもの
○Binney&Tremaine: Galactic Dynamics, Princeton
(○Binney&Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton)
○Saslaw: Gravitational Physics of Stellar and
Gravitational System, Cambridge
○加藤正二：天体物理学基礎論、後藤書房
4
その他（各トピックス）
○重力熱的破局、宇宙の進化とエントロピー
杉本大一郎：「宇宙の終焉」、ブルーバックス、講談社
○宇宙の進化とエントロピーについて
杉本大一郎：「いまさらエントロピー？」、丸善
○銀河について
家 正則：「銀河が語る宇宙の進化」、培風館(1992)
○力学系に関して
丹羽敏雄：「力学系」、紀伊国屋書店(1981)
丹羽敏雄：「数学は世界を解明できるか」、中公新書(1999)
○ハミルトン系のカオスに関して
相沢洋二・原山卓久：「カオスを視る」、別冊・数理科学 1998年10月号
小西哲朗：「大自由度ハミルトン系」、数理科学 1999年8月号
A.J.Lichtenberg&M.A.Lieberman: Regular and Stochastic Motion
Springer-Verlag(1983)
○エルゴード性、KSエントロピーについて
中野藤生・服部眞澄：「エルゴード性とは何か」、パリティ物理学コース、
丸善(1994)
○カオス的遍歴に関して
金子邦彦・津田一郎：「複雑系のカオス的シナリオ」、朝倉書店(1996) 5
★単位について
○出席＋レポートの総合点
＊レポート問題：講義の終了後に出題
6
§０．はじめに
宇宙の階層構造：広大なスケールに渡り様々な天体
が存在
★物理ーーー＞天体の構造形成、天体現象
★“宇宙”ーーー＞物理学：地上の実験室系では
見られない現象
特に、自己重力多体系の物理： 緩和過程、力学
構造
7
§１．宇宙の階層構造
中性子星
大きさ（cm)
質量(太陽質量）
密度(g/ｃｍ３)
地球
太陽
銀河
銀河団
超銀河団
106
109
1011
1022
1025
1
10-6
1
1011
1014
1015
5
1.4
10-24
10-28
10-29
1015
1026
8
★自己相似性
階層構造毎の運動は、ほぼ相似的。
もちろん、厳密には全く異なる。
9
§２．階層構造の形成
２－１重力不安定性
○広大なスケールに渡る：密度で４４桁！
○自己相似的な運動
“自己重力がなせるわざ”
★重力
実際的に長距離力
スケールフリー
10
補足：自然界の構造
大きさvs密度の図を参照
★重力ーーー＞縦系列を形成
ｃf. 星や銀河の典型的なサイズ
重力以外の物理過程(“力”）が関与
11
池内 了著「宇宙と自然界の成り立ちを探る」（サイエンス社）
12
★重力不安定性による構造形成
（標準的シナリオ）
自己重力で固まろうとする
◎密度ゆらぎ（むらむら）が重力不安定性で成長
密
度
場所
＊ちょっとした密度の高いところが成長して銀河などに進化
していく
密度の高いところ
銀河
銀河団
超銀河団
集団化
集団化
13
★宇宙進化過程での構造形成シナリオの概観
14
§３．自己重力多体系の力学構造と基礎概念
個々の天体の力学構造と形成過程は？
＊力学構造： “平衡状態”での重力ポテンシャルの形や
粒子の分布（密度、速度、エネルギー）
“単純な”系である自己重力系を考える
３－１ 自己重力多体系
系の構成粒子（天体）が、お互いの万有引力によって運動
し、束縛されている系
これらの系での力学構造を中心に今後考える
（詳細な形成過程は考えない）
15
★階層的集団化による銀河形成シナリオ:複雑な物理過程
16
３－２ 太陽系の力学構造
惑星運動
ニュートン力学
○２体問題： 解析的に解ける（ケプラー運動）
○実際の太陽系：“多体”問題
＊しかし、太陽が惑星に比べて十分重い
摂動法
３体問題：ラプラス、ポアンカレ・・・幾何学的、測度論的
手法の確率
複雑な軌道を描く場合あり
“カオス”
“カオス研究へ”
17
太陽系：
・楕円軌道も実際には他の惑星からの重力を受け
て複雑に変化
・非常に高い確率で太陽系は壊れない
しかし、壊れる可能性はゼロではない
★では、銀河などの多体系は？
大自由度系
・球状星団・・・・・・105個の星
・銀河・・・・・・・・・・1011個の星＋ダークマター
どうなっているか？
18
３－３ 基礎概念
I ビリアル平衡と力学的時間尺度
N体系：運動方程式

i i
m x   i
x
N
( ij )

 ,   1,2,3 : i  1,2,  , N  (1)
( j i )
重力ポテンシャル

(1)式に
i
( ij )
x
 j i
 Gm m x  x
i
j
1
をかけて、粒子で和をとる。
 (ij )
x i     (2)
i m x x  (i
x
, j i )
i
i
i
i
19
(2)式の右辺：ポテンシャルエネルギーテンソル
W
i
j
i
x
(
x

x


)
i
( ij )
i
j 
   x i    Gm m
 (3)
3


x
(i , j i )
x j  xi
(3)式を変形（iとjを交換しても対称：同じものを足して２で割る）
W
j
i
j
i
(
x

x
)(
x

x
1



)
i
j
  G m m
 j i 3
2 (i , j i )
x x
上式はαとβについて対称。従って、(2)式の右辺も対称。


2
d
1
1 I
i i i
i
i i
i i
i m x x  2  m x x  x x  2 dt 2  2K  (4)
20
Virial定理
2
1 d I
 2 K  W    (5)
2
2 dt
ここで、 I 

 m x x , K
i
i
i
1
  mi xi x i
2
(5)のtraceをとるーーー＞scalar virial tensor
I  2 K  W
i
1
i i 2
i
j j
I   m x ,W   Gm m / x  x  GM 2 / 2 R,
2
i j
1
i 2
K   m x  1 MV 2
2
2
21
○Virial平衡
2K W  0
GM
V 
R
2
力学的時間尺度
 R
tc (crossing time)  R / V  
 GM
1

 t dyn
（dynamical time)
G
3



1
2
22
３－4 衝突系と無衝突系
（Ｉ）衝突系
重力散乱による２体緩和
2
テスト粒子が  V  になるタイム
スケール
0.04 N
tr 
tc
ln  N / 2 
N:粒子数
tc ：crossing
time
★２体散乱による効果が、考えている時間までに十分
効いている系のことを衝突系とよぶ
例：球状星団 tr  108 yrs  1010 yrs  宇宙年齢
衝突系
球状星団の力学進化：重力熱的カタストロフィー
“比熱”が負
23
（ＩＩ）無衝突系
２体散乱の効果が、考えている時間までに十分に
効いていない系
例：楕円銀河 tr  10 yrs  10 yrs  宇宙年齢
無衝突系
17
10
楕円銀河は、星とダークマターからほとんど成る
無衝突自己重力多体系と見なせる
24
★二体散乱による緩和時間の導出
   G (m1  m2 )
tan   
v 2b
2
ψ
v
ｂ
m2
m1
v

 2 sin( )
v
2
○velocity（ｖ、ｖ＋ｄｖ）、impact parameter(b,b+db)をもっている
星の時間ｄｔでの散乱の回数
2bf (v, t )vdtdbdv
25
○mean square velocity change
v2  平均回数
v  v小角度散乱 、m1  m2 ( m)
v
4Gm
16G 2 m 2
2

   2  v  
v
vb
v 2b 2
velocity change は、
v 2  2bf (v, t )vdtdbdv
11
 32G m
f (v)dtdbdv平衡系を考える
vb
2
2
 dtdbdvを考える
26


0
1
v f (v)dv  n v
1
,
b2
b1
 b2 
db
 ln  
b
 b1 
cut - off : b2  R 系のサイズ 
大角度散乱はまれ  b1  大角度散乱が効くスケール
   90 散乱のimpact parameter とする
2Gm
2Gm
 
tan    1  2  b  2
vb
v
4
 b2 
 Rv 2 
,
以上より、ln    ln 
 2Gm 
 b1 
GmN
virial 平衡を使うと、v 2 
,
R
 b2 
N


従って、ln    ln  
2
 b1 
 v

以上より、
 v
2

N
  32G 2 m 2 nv 3 ln  t
2

27
緩和時間
v
 1となる時間t r 
v
3
v
tr 
2 2
32G m n ln N
2
3 3
3
vR
4

nmR

M 
を使う
2
3
24G mM ln N
2
0.04 N

tc  v 2  GmN を使う,
R
N
ln
2
tc  R
v
 


 

 

28
§4．基礎方程式（（無衝突）ボルツマン方程式）
流体： 局所熱平衡<<力学的時間<<大局的平衡
＊場所の関数のみで記述可能
恒星系：力学的時間<<局所熱平衡～大局的熱平衡
＊場所と運動に独立に依存（6次元位相空間）
◎（確率）分布関数or位相密度関数で記述
 
f ( x, v , t )
＊密度分布との関係

 
3
 x    d vf ( x , v )
29
★無衝突系：その系で、考えている時間尺度では、衝突項が効かない場合
位相空間のある点から別の点へジャンプはなく、スムーズに動い
て、位相空間での“流体”は質量保存する。
従って、分布関数は、“流れ”にそって保存する。
 


 
df
f


  fw  0, w   x , v 
dt
t w

d





  x  0 
 * 流体：
dt
t
x


 
f
 f

 v  f     0(CBE)
t
x
x x
ポアッソン方程式
 
3
＝４Ｇ＝４Ｇ d v f ( x , v )
 
30
★衝突系
f  
 f  f 
v  f     
t
x
x x  t  coll
 f 
  : 衝突項
 t  coll
衝突項による時間変化の項が、平均ポテンシャルに
よる時間変更の項より、十分小さい場合は、無衝突系
とみなすことができる。
31
★BBGKY方程式からの導出
N体系：6N次元位相空間（Γ空間）
分布関数：
 

f w1 , w2 ,  , wN , t  :

N   
6
6
6
3
3
 f w1 , w2 ,  , wN , t d w1    d wN  1, : d w  d x d v ,
N 
Liouville' s Theorem
(N)
df
dt
 
f

  
t
 1  x
(N)
N
 (N)
f


dx  
 

dt  v
 (N )
f


dv  


dt  
f ( N ) N   f ( N )  f ( N ) 

  v   
 0
t
x
x v 
 1 
32
★Liouville’s Theoremの証明
Liouville の定理：ハミルトニアン形式の力学方程式に
従う系に対して、位相体積は、系が運動するときは
一定に保たれる。つまり、

G0
dp 0 dq 0   dpdq    (1)
Gt
あるいは、無限小の位相体積素片に対して次式が成り立つ。
dp 0 dq 0  dpdq    (2)


ここで、p 0 , q 0 は、初期時刻t0での位相点で、G0はそれを含む
領域。また、時刻tにおいて、位相点は領域Gtに移るとする。
33
(1)式の右辺を変形すると、
  p, q 
0
0
dpdq

dp
dq
Gt
G0  p 0 , q 0


となる。そこで、ヤコビアンが1となることを証明できれば
よい。つまり、
  p, q 
 1 - - - (3)
0
0
 p ,q


先ず、次の関数行列式の性質を用いる。



 
  p, q 
 p ' , q '   p, q 


   (4)
0
0
0
0
'
'
 p ,q
 p ,q  p ,q



ただし、p ' , q 'は、任意の時刻t 'での運動量と座標の値である。
34
t0とt 'を一定とみなして、この等式をtで微分する：
d   p, q 
 ( p ' , q ' ) d   p, q 

0
0
dt  p , q
 p 0 , q 0 dt  p ' , q '






t 'は任意だから、微分した後でt '  tと置ける。
ヤコビアンの中の主対角成分の項だけが残り
次式が得られる：
d   p, q 
 ( p, q )

0
0
dt  p , q
 p0 , q0




 p i qi 
i  p  q     (5)
i 
 i
35
ところで、運動方程式は、
dqi H dpi
H

,

   (5)
dt
pi dt
qi
で与えられるので、これを使うと、
p i qi

0
pi qi
従って、
d   p, q 
 0、すなわち、ヤコビアンは時間に依存しない。
0
0
dt  p , q


初期条件
 ( p, q )
 p0 , q0


＝１を使って、ヤコビアン(3)式が実際に1に
t t0
等しいことが確かめられる。
36
Liouville の定理から、分布関数は位相軌道に沿って
一定である。
事実、系を表す点が位相空間を運動するとき、位相点
の数は不変：
f  p, q, t dpdq  f ( p ' , q ' , t ' )dp ' dq '
Liouville の定理から、dpdq  dp ' dq 'なので、
f  p, q, t   f ( p ' , q ' , t ' )
すなわち、fは位相軌道に沿って一定である。Q.E.D
37
◎BBGKY Hierarchy
Liouville' s Theorem
(N)
(N)

 f
 f 
df
f

  v   
   0    (1)
dt
t
x
x v 
 1 
(N)
(N)
N
38
◎1体分布関数に関する方程式



(N ) 
6
6
f w1 , t    f w1 , w2 ,  , wN , t d w2    d wN
6
6
(1)式の両辺に d w2    d wNの操作を行う。
(1)
 f (1) 
f (1) 
( w1 , t )  v1   w1 , t 
t
x1
1 f ( N ) 6 
6
 
 d w2    d wN  (2)
x1 v1
    ; 
 
GM
  
x  x
39
◎(2)式の導入の際の注意点

○第１項：単純にf w1 , t の定義より明らか
 3
(N )
○第２項： f / x d x  0  2,3,  , N を使う

 一般的に x  で、f ( N )が十分に速くゼロに近づく。
 3
(N )
○第３項： f / v d v  0  2,3,  , N を使う

 一般的に v  で、f ( N )が十分に速くゼロに近づく。
(1)
40
f


は、w1 ,  , wNに関して対称。
(N)
よって、
(2)式の右辺は、
12 f
6
6
( N  1)  
 d w2    d wN
x1 v1
(N )
2体分布関数：



( 2) 
(N ) 
6
6
f w1 , w2 , t    f w1 , w2 ,  , wN d w3    d wN
従って、
(2)式は、
 f
f
12 f
6
 v1    ( N  1)  
 d w2    (3)
t
x1
x1 dv1
(1)
(1)
( 2)
41
2体分布関数を１体分布関数の積で書ける部分（無相関）と
相関に関わる部分に分けて記述する。

 
( 2) 
(1) 
(1) 
f ( w1 , w2 , t )  f ( w1 , t ) f ( w2 , t )  g ( w1 , w2 , t )
ここで、f  Nf (1)とおくと、
 f
f 
w1 , t   v1  
t
x1

( N  1) f 

6

 w1 , t     12 f ( w2 , t )d w2
N v1
x1
12 g  
6
 N ( N  1)    w1 , w2 , t d w2    (4)
x1 v1
42
次に、


6
3
3
 12 f (w2 , t )d w2   12 f (w2 , t )d x2 d v2

  1 3 

 G   ( x2 , t ) x1  x2 d x2   x1 
と、N  1  N - 1  Nを使うと結局、
(4)式は、
 f  f
f  
x , v , t   v       
t
x x v
g    
  1  3  3 
2
 N Gm   x , v , x2 , v2 , t       d x2 d v2  (5)
v
x2  x  x2 
43
(5)式の右辺：衝突項に相当
（２体相関に関する項）
＊この項が無視できれば、無衝突ボルツマン方程式
(CBE)に帰着
◎gを知るためには、3体分布関数が必要。
３体を知るためには、４体が必要。
さらに、・・・・・・：Hierarchy!
結局、N体分布な関数が必要。
＊解くためには、どこかで打ち切る。
44
★CBEの解法
I.Dynamics
○directに解く数値計算
一般には、6次元＋1次元（時間）の計算で困難（対称性
があり、変数が少数の場合は、可能）
位相分布を粗野化し、その代表を質点で近似
(N体近似）： N体計算
○Jeans方程式（＋仮定）に帰着し、解く
○平衡解の周りの摂動計算
II.平衡解（定常解）
Jeansの定理を用いる（後で解説）
45
★Jeans方程式の導出
◎Stellar-hydrodynamics equations
l
i
m n
j k
CBEの両辺にv v v をかけて速度積分を行う
（モーメント方程式）
f 3
l m n  f
3
 v v v t d v   vi v j vk v  x d v
 l m n f 3 
   vi v j vk  d v  0,    (1)
x
v
l m n
l m n
3
 vi v j vk   vi v j vk fd v    (2)
l
i
m n
j k
46
◎0次のモーメント：連続の式
  v 
   0    (3)
t
x
＊導出上の注意：
 f 3   f 3 
f 3 
 t d v   v  x d v  x   v d v  0    (4)
○第１項：単純に、定義により、
(３)式の第１項は明らか。
3
＝ fd v
 1  3
○第２項：v   v f d v を使う

○第３項：発散定理により、表面積分に置き換えられ、

v  でfは十分に速くゼロに近づくとしている。
47
◎1次のモーメント：運動方程式


 v l 
  vk vl



 0    (5)
t
xk
xl
k
ここで、velocity dispersion tensor を次のように定義する。
 kl2  vk  vk vl  vl   vk vl  vk vl
これを用いると(5)式は、 連続の方程式も用いて
次のように変形される。


vl
vl
   kl2

   vk
 

   (6)
t
xk
xl
xk
k
48
◎(5)式の導出上の注意：
f 3
f 3 

f 3 
 vi t d v   j vi v j x j d v  j x j  vi v j d v  0    (7)
○第１項：viの定義より(5)式の第１項は明らか
○第２項：vi v j 
1


 vi v j f d v より、(5)式の第２項は
3
明らか。
vi
f 3 
3
○第３項： vi
d v  
f d v   ij 
v j
v j
を使う。
49
★この(６)式が、Jeans equationsと呼ばれる。

vl
vl
  kl2


   vk
 

t
xk
xl
xk
k
k

○流体のオイラー方程式と大体同じ形。
左辺は、平均の流れに沿ってみた平均速度の
Lagrange微分。
右辺第１項は、重力
右辺第２項は、圧力の相当。
ただし、流体と違い一般的には非等方なテンソル
50
*  を知るためには、次の高次のモーメント方程式が
必要。したがって、このvelocity dispersion tensorに
何らかの仮定を与えて解くことを行う。
2
kl
51
★衝突系：フォッカープランク方程式
ボルツマン方程式
df
  f 
dt
衝突項を考える。
 


 w, wd 6 wdt : 6次元位相座標wにある星がdtの


間にw  wに散乱される確率とすると、

 


 
 3 
 f     w  w, w f w  w   w, w f wd w

 


 w  w, w f w  w 
6
 

 


 w, w f w
 w, w f w   wi
wi
i 1
 

1 6
2
 w, w f w  O(w3 )
  wi w j
2 i , j 1
wi w j
52
結局、衝突項は、次のようになる。


 f wDwi 
 f   
i 1 wi
6



1

 
f wDwi w j  ,
2 i , j 1 wi w j
  3 
Dwi    wi  w, wd w
6
2
以上の衝突項で与えられるボルツマン方程式が、
フォッカープランク方程式
53
★フォッカープランク方程式の変形
恒星系への応用：
(a)Orbit-averaged approximation
星の数が大
encounterは効かない
速く変動する変数とそうでないものを分離
位置空間で、平均
作用変数のみの関数
(b)Local approximation
encounterはある、一点xで起こるとする
衝突項は、速度だけの関数
54
§5．重力熱的破局及び宇宙の進化とエントロピー
I.重力熱的破局(Gravothermal Catastrophe)
自己重力系の“熱力学”
“常識”とは違う
◎通常：T1>T2の場合
Q
T1
T2
T
55
★熱力学第２法則：
閉じた系（断熱系）
dS  0
 S1 
 S 2 
U1  
U 2
 ( S1  S 2 )  
 U1 
 U 2 
エネルギー保存則：U1  U 2  0
1  S 
温度：  

T  U U , N
1 1
  ( S1  S 2 )    U1  0
 T1 T2 
T1  T2ならば、U1  0となる。内部エネルギーは
温度が高い方から低い方へ移動。
56
★比熱は正：熱をもらえば温度が上がり、失えば
下がる。
従って、T1は下がり、T2は上がる。結局、一定の温度T
となり落ち着く。
ところが、・・・・・
57
★自己重力系は比熱が“負“
例 ガス球
圧力（内部エネルギー）で
支えられている。
＊中心から内部エネルギーを
外へ移動
圧力が下がる
T2
T1
自己重力で縮む（断熱圧縮）
中心部の方が温度が上がる。
温度差がさらに生じて熱がさらに移動。
“暴走”
58
★本質的理解：孤立系の場合
Virial平衡
２Ｔ＋Ｗ＝Ｔ＋Ｅ＝０
Ｔ＝－Ｅ
内部エネルギーEを下げる
温度（運動エネルギーT）が上がる。
59
★球状星団を考える
（衝突）恒星系：本来は、ボルツマン方程式
＊しかし、本質は、ガス球での理解と同じ
“平衡状態”：等温球
静水圧平衡の式
dP
GM
 2
dr
r
P  kT（T : 一定）
   const.
（内側）
断熱壁
ρc
ρe
  r 2
境界は外圧(Pe)で支える必要あり
(ビリアル平衡：2T+W=3PeV)
60
★平衡曲線(リニアシリーズ）
-E
709
ρc/ρe
密度比が709を超えると不安定。熱的破局を起こす。
61
★エントロピーは？
S 
Q
T
,
Q1  Q, Q2  Q 
1 1
S  S1  S 2    Q
 T2 T1 
T1  T0  T1 , T2  T0  T2 
 T1  T2 
Q
T02
T1  T2  0  S  0
エントロピーは増大！
62
★自己重力系
エントロピーは増大（熱力学第２法則）
しかし、‘通常’の系とは違って、温度分布や
物質分布は一様にならずに非一様化！
63
★熱的破局のその後
破局は止められるか？
実際の系
発散することはない
中心付近：密度大
近接連星生成
熱源となる！ 安定化
＊星の中の構造と同等
◎その後の進化
Gravothermal Oscillationなど
参考：天文月報1989年10月号：稲垣省五
「留守番時代に入った球状星団の力学進化の研究」
64
II.宇宙の進化とエントロピー
宇宙はなぜ進化できるのか？
“進化”とは：
生物学：ある生物が何代もの世代交代を繰り返すうちに、突
然変異などを含む変化で違った外観や機能を持つ
別の種族に変わっていくこと。
天文学：構造が次第に出来てくる変化のこと。
例．星の進化ーー＞星の一生
宇宙は実際、進化している
（だからこそ、なぜ“進化”できるのかと問える）
ビッグバンーーー＞宇宙の階層構造
65
★では、なぜ進化できるのか？
現在のような多様な構造
（生物や人類までいる）
実はよく考えると“不思議”
★なぜ、不思議なのか？
物理学ーーー＞エントロピー増大則
宇宙の進化は、一見この法則に矛盾
＊Gravothermal Catastrophe:
自己重力系では、エントロピーは増大しても、温度
や密度が非一様化することが可能。
構造ができることは分かったが、ではなぜそれが
66
維持できたり、さらに進化できるのか？
★エントロピー増大則
◎地上での実験
閉じた容器（断熱とする）
気体の拡散
気体の混合
温度の一様化（等温化）
左右に分かれ秩序立っている
温度
金属の棒
温度
温度
乱雑になっている
温度
温度が一様
この逆は、経験的に起こることはない！
非可逆過程
67
★高温ーーー＞低温へ熱が移動
熱力学第２法則
◎原子の世界で見ると
次第に乱雑な運動が拡がっていく
◎分子の運動の平均化
全体の分子の乱雑な運動
エントロピーが増加
＊孤立系（断熱系）
○エントロピーが増加する
○エントロピーが最大の状態ーー＞
グローバルにはもはや変化無し
熱平衡状態
68
（補足）なぜ、非可逆なのか？
★ミクロな過程：可逆
例：電光掲示板（各々の電球がでたらめに点滅）
文字（秩序状態）
無秩序化
ほぼ一様化
元に戻れる確率は非常に小さい。
電球の数が多くなればなる程小さくなる
（分子～１０の２３乗個）
69
★エントロピー増大則を宇宙全体に適応
◎ボルツマン
宇宙の“外”には宇宙はないーー＞宇宙は孤立系
宇宙全体のエントロピーは増大
ーー＞宇宙は熱平衡状態に向かっている
温度の分布も物質の分布も一様になってしまうはず
宇宙は熱的死へ
しかし、 現在の宇宙：多様、秩序
むしろ、昔の宇宙（ビッグバン）
熱平衡状態ーーー＞多様な構造
進化
矛盾しているのでは？ “不思議”
◎本当に矛盾しているのか？
◎なぜ、多様な構造が生まれうるのか？
70
なぜ、“進化”できるのか？
★エントロピー増大則とは一見矛盾 なぜか？
★適応可能か？
◎エントロピー増大則ーー＞断熱系に関しての法則
○宇宙は断熱系か？
“宇宙全体”ーー＞“地平線”が広がっている
（見える宇宙は広がっていく）
そこで、仮想的な一部分を考える
＊宇宙全体に比べれば十分小さいが、十分多くの銀河を含むほどは
大きい。
＊境界は宇宙膨張と共に膨張
ーーー＞正味の熱の出入りはない
なぜならば、もしあれば、その部分系は特別
ーーー＞一様性に反する
このような断熱系を考えることは可能。
しかし、各々の天体は孤立していない
ーー＞開放系（外に開いた系）
天体は周りの空間にエネルギーを捨てることができる
71
★エントロピーを捨てる
Ｔ0： 周りの空間温度
＜
放出される
Ｔ1：表面温度
熱量δＱ1
熱伝導
流入する
＜
（＜０）
Ｔ2：底部の温度
熱量δＱ2（＞０）
例：鉄板の定常的な熱の流れ
○定常 δＱ1=ーδＱ2
○エントロピーの増加
δＳ＝δＱ／Ｔ
（温度の逆数に比例）
72
○熱の出入りによるエントロピー
の増加
δＳe= δＱ1／Ｔ1+δＱ2／Ｔ2
=（－１／Ｔ1＋１／Ｔ2）δＱ2
＊δＱ2＞０
＊もしＴ2＞Ｔ1ーー＞１／Ｔ1＞１／Ｔ2
ーーー＞δＳe＜０！
外からもらうエントロピーより多くのエントロピーを外部に捨て
ている
負のエントロピー（ネゲントロピー）を喰った
○全体のエントロピー
δＳ＝δＳe＋δＳi（内部での熱伝導という非可逆過程）
定常ーー＞変化しないーー＞エントロピーも変化無し
δＳ＝０ーー＞δＳe＝ーδＳi
非可逆過程によって発生するエントロピーをちょうど同じ割合で外界に
捨てている
73
ーー＞温度が一様にならずに定常を保っている
★大気への応用
大気はなぜ水蒸気
で飽和していないのか？
太陽
～６０００Ｋ
熱輻射（可視光）
温度小
大気
水や二酸化炭素が吸収
～３００Ｋ
温度大
赤外線放射
海
ーー＞鉄板の例と同じ
下から熱せられ、温度の低い上層部から熱を捨てている
もし、太陽が低温で赤外線を放射または高温で紫外線を放射
ーーー＞大気の頂上で熱を吸収
ーーー＞大気は水蒸気で飽和。大気の温度分布は一様
ーーー＞生命体はなかったであろう
74
★生物
生物も熱平衡状態から離れた状態
ネゲントロピーを喰っている
食物の
エントロピー
排泄物の
エントロピー
エントロピー小
（原子や分子の並び方が
規則的）
エントロピー大
植物の光合成：太陽光線（高温）のエントロピーの低さを物
質に固定する機構
75
★天体（星）
核反応
熱伝導
空間へエントロピーを
捨てている
定常ーー＞熱伝導によるエントロピー
＝核反応というネゲントロピー源
重力エネルギーの解放
天体（自己重力系）ーー＞エネルギー源を
内包している
76
進化＝部分系のエントロピーが減少する変化のこと。
しかも、一様化という常識的熱平衡状態とは逆の方
向に向かうもの
全体では、エントロピーは減少はしない
77
★宇宙は熱的死には至らない
宇宙の中の閉じた系のエントロピーが増えても、その系は実
験室系で見られる系とは異なって、物質分布や温度分布は
一様にならない。むしろ、非一様、多様性が発現
★理由
（１）自己重力の作用により部分系にエネルギー流入（星なら
ば、核反応）
廃熱を外部に捨てるーー＞系のエントロピーは下げられる
自己重力系はそのエネルギー源を自己の中に内包
78
（２）廃熱、すなわち非可逆過程の進行によって発生
したエントロピーの捨て場としての空間が十分にある
空間の温度が小＜－－宇宙の膨張
ますます膨張ーー＞温度が下がる
ーー＞捨て場は常に確保
宇宙の膨張こそが進化の源泉
79