Transcript 逆二乗＋逆三乗と ベルトランの定理

中心力の仮想世界 逆二乗＋逆三乗
ベルトランの定理を問う
Ｒ
ｒ＝ーーーーーーー
１－ｅｃｏｓｋθ
ｋ＝１
ｋ≒１
ｋ＝整数
逆二乗
近日点移動
多角星
面積速度一定の法則
（角運動量保存の法則）
面積速度一定 ｈ＝ｒＶ⊥＝ＲＵ
運動の第一積分
エネルギー積分（エネルギー保存）
面積積分（角運動量保存）
単位質量において
１ ・
・
ーー（ｒ２＋ｒ２θ２）＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数、力学エネ）
２
（ （Ｖｒ２＋Ｖ⊥２）／２＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数） ）
・
ｒ２θ＝ｈ（定数）
（ ｒ Ｖ⊥ ＝ｈ（定数、角運動量） ）
Ｖ⊥ 、Ｖｒ の関係 （ｒＶ⊥＝ｈ）
ｒ⊿θ≒Ｖ⊥ ⊿ｔ
ｄθ
Ｖ⊥
ーー＝ーー
ｄｔ
ｒ
→ ｒｄθ＝Ｖ⊥ｄｔ
・ ｄθ
Ｖ⊥ Ｖ⊥２ ｈ
ω＝θ＝ーー＝ーー＝ーー＝ーー
ｄｔ
ｒ
h
ｒ２
Ｖｒ⊿ｔ≒⊿ｒ
→ Ｖｒｄｔ＝ｄｒ
・
ｄｒ
ｄＶ⊥
Vr＝ r ＝ーー＝ー ーー
ｄｔ
ｄθ
・
V⊥=rθ
ｄｒ
ーー＝Ｖｒ
ｄｔ
Vｒ はーＶ⊥の角度微分
ｒＶ⊥＝ｈ
→
¨
・・
ｒθ＝－２ｒθ
・
Ｖ⊥＝ｒθ
→
・
ｒ２θ＝ｈ
←
・ ・ ２¨
２ｒ ｒ θ＋ｒ θ＝０
・・ ¨
２ ｒ θ＋ｒθ＝０
・
・・
¨
Ｖ⊥＝ｒ θ＋ｒ θ
・・ ・・
・・
＝ｒ θー２ｒ θ＝－ｒ θ
ｄＶ⊥
ｄｒ ｄθ
ーーー＝ー ーー・ーー
ｄｔ
ｄｔ ｄｔ
ｄＶ⊥
ｄｒ
→ ーーー＝ー ーー
ｄθ
ｄｔ
エネルギー積分は
１
ーー（ Ｖｒ２ ＋Ｖ⊥２）＋Ｅ＝Ｃ
２
エネルギー積分を両辺時間微分
・
・
・
ＶｒＶｒ ＋ Ｖ⊥Ｖ⊥＋Ｅ＝０
エネルギー積分を角θで微分
ｄＶ⊥ ｄ２Ｖ⊥
ｄＶ⊥ ｄＥ ｄＶ⊥
ーー ーー ＋ Ｖ⊥ ーー ＋ ーー ーー ＝０
ｄθ
ｄθ２
ｄθ
ｄＶ⊥ ｄθ
ｄＶ⊥
共通因子 ーーー ≠ ０ で
ｄθ
ｄ ２ Ｖ⊥
ｄＥ
ーー ＋ Ｖ⊥ ー ーー ＝０
ｄθ２
ｄＶ⊥
ｄＥ／ｄV⊥ の変形と軌道部分方程式
ｄＥ
ｄＥ ｄｒ
ｄ
h
Ah
ーー ＝ ーー ーー＝A ーー（ーー）＝ー ーー
ｄＶ⊥
ｄｒ ｄＶ⊥
ｄＶ⊥ Ｖ⊥
Ｖ⊥２
（Aは中心力加速度
A=ｄE／ｄｒ）
よって 次の軌道微分方程式を得る。
ｄ２Ｖ⊥
h
ーー ＋ Ｖ⊥ ー Aーーー ＝０
ｄθ２
Ｖ⊥ ２
逆二乗＋逆三乗の場合（非ベキ型）
軌道微分方程式に代入
中心力加速度として
Ｂ
S
V⊥２
V⊥
A＝―（１＋――）
＝Ｂ――
（１＋Ｓ―― ）
２
２
ｒ
ｒ
ｈ
ｈ
（Ｂ，Ｓは定数（中心力定数））
を代入
ｄ２Ｖ⊥
Ｂ
ＢＳ
――― ＋Ｖ⊥ － ―― － ――Ｖ⊥ ＝ ０
ｄθ２
ｈ
ｈ２
整理して
ｄ２Ｖ⊥
ＢＳ
Ｂ
――― ＋（１－ ――）Ｖ⊥ － ―― ＝ ０
ｄθ２
ｈ２
ｈ
軌道方程式の円運動
へ逆二乗＋逆三乗を代入
ｄ２U
ーーー
＝ ０
２
ｄθ
より
Ｕ３
Ｕ２
A＝ ーー＝ ーー (遠心力）
ｈ
Ｒ
右式右辺は円運動（基本円運動）の遠心力を表す
（Ｕ＝回転速度、Ｒ＝基本円回転半径ｈ＝ＲＵ）
逆二乗＋逆三乗で基本円運動するとき
Ｂ
Ｓ
Ｕ２
ーー（１＋
ーー） ＝ ーー
２
Ｒ
Ｒ
Ｒ
変形してｋへ置き換え
Ｂ
Ｓ
Ｕ２
ーー（１＋
ーー） ＝ ーー
２
Ｒ
Ｒ
Ｒ
Ｂ
Ｕ２
ＢＳ
ーー
＝ ーー ー ーー
２
Ｒ
Ｒ
Ｒ３
そこで 両辺 Ｕ２／Ｒ で割り （ｈ＝ＲＵ）
Ｂ
ＢＳ
２
ーー２ ＝ １ー ーーーー
＝
ｋ
ＲＵ
Ｒ２Ｕ２
Ｂ
ＢＳ
２
ーー ＝ １ー ーーーー
＝
ｋ
ｈＵ
ｈ２
とおくと
逆二乗＋逆三乗の軌道微分方程式に代入
ｄ２Ｖ⊥
ＢＳ
Ｂ
――― ＋（１－ ――）Ｖ⊥ － ―― Ｕ＝ ０
ｄθ２
ｈ２
ｈＵ
ｄ２V⊥
２（V －U） ＝ ０
―――
＋ｋ
⊥
ｄθ２
これを解いた解の１例は
Ｖ⊥＝ U（１－ｅｃｏｓｋθ）
ｒ
Ｒ
ｋ＝１
逆二乗
＝ーーーーーー ｋ≒１
近日点移動
１－ｅｃｏｓｋθ ｋ＝整数 多角星
Ｒ
ｋ＝１
ｒ＝ーーーーーーー ｋ≒１
１－ｅｃｏｓｋθ
ｋ＝整数
逆二乗、円錐曲線
近日点移動
多角星
逆二乗（ｋ＝１）
Ｒ
ｒ＝－－－－－－－－
１－ｅｃｏｓθ
Ｕ： 基本円運動速度 角度θで回転
ｖ： （ ＝ｅＵ） 一定方向を向く
ケプラーの第４法則？ といってもおかしくない
Ｖ⊥： 絶対値 Ｕ（１ーｅｃｏｓθ） 動径垂直方向
Ｖ ｒ ： 絶対値
ｅＵｓinθ 動径方向
円錐曲線の接線定理（仮称）
「円錐曲線接線の任意
長さを動径垂直方向と
短軸方向へ分解した長
さ成分の比は常に円錐
曲線の離心率になる。」
例：楕円
離心率
０＜ｅ＜１
逆二乗＋逆三乗の解析 ｋ＝３／２
逆二乗＋逆三乗の解析 ｋ＝２
逆二乗＋逆三乗のベクトル分解
逆二乗＋逆三乗の中心力系では、動径垂直成分と
逆二乗＋逆三乗（ｋ≠１）
Ｒ
ｒ＝ －－－－－－－
１－ｅｃｏｓｋθ
（１＋（ｋ－１）ｅｃｏｓｋθ）Ｕ
： 角度θで回転
ｋｅＵ ：大きさ一定、角度（ｋ－１）θで回転
Ｖ⊥： 絶対値 Ｕ（１ーｅｃｏｓｋθ） 動径垂直方向
Ｖ ｒ ： 絶対値
ｋｅＵｓinｋθ 動径方向
逆二乗＋逆三乗 ｋ＝１～４．５ ｓｔｅｐ ０．５
ベルトランの定理

アプス角１８０／ｍが引力中心からの距離に
よらない（常に閉軌道になる）ためには、その
型はベキ型でなければならない。
一次の近似

ベキ型の中で満たされるべき引力法則は逆
二乗か調和型のどちらかである。
高次の近似
逆二乗＋逆三乗 アプス角 １８０／ｋ

動径垂直方向への進行から、次の動径垂直
方向への進行までの動径がつくる角
再び 軌道部分方程式
ｄ２ ｕ
ｆ
ｈ２ ーー ＋ ｈ２ｕ ー ーー ＝０
ｄθ２
ｕ２
Ｖ⊥ ＝ｈｕ（＝ＲＵ／ｒ） で置き換えると
ｄ２Ｖ⊥
h
ーー ＋ Ｖ⊥ ー Aーーー ＝０
ｄθ２
Ｖ⊥ ２
ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ）
乱れた円運動 一次の近似
Ｖ⊥＝Ｕ＋ｘ （ｘ≪Ｕ） とおく
（ｒ＝ｈ／Ｖ⊥ 半径の乱れ）
軌道微分方程式に代入、Ａ０を円運動の遠心力
（Ａ０＝Ｕ２／Ｒ） として ｈ＝ＲＵ＝Ｕ３／Ａ０
また ｄＶ⊥／ｄθ＝ｄｘ／ｄθ、 を用い
Ｗ（Ｖ⊥ ）＝Ａ／Ｖ⊥２ として
ｄ２ｘ
Ｕ３
ーー ＋ Ｕ＋ ｘ ＝ーーＷ（Ｕ＋ｘ）
ｄθ２
Ａ０
ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ）
乱れた円運動 一次の近似２
Ｗ（Ｕ＋ｘ）の微分形から、次の近似ができる。
Ｗ（Ｕ＋ｘ）ーＷ（Ｕ）
Ｗ‘（Ｕ＋ｘ） ≒ ーーーーーーーーーー
ｘ
これより
Ｕ３
Ｕ３
ーーＷ（Ｕ＋ｘ）≒ーー（Ｗ（Ｕ） ＋ｘＷ‘（Ｕ＋ｘ））
Ａ０
Ａ０
ＵＷ‘（Ｕ）
＝Ｕ＋（ーーーーーー）ｘ
Ｗ（Ｕ）
ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ）
乱れた円運動 一次の近似３
軌道微分方程式 は次の近似ができる
ｄ２ ｘ
ＵＷ‘（Ｕ）
ーー ＋ ｘ ー ーーーーー ｘ ≒ ０
ｄθ２
Ｗ（Ｕ）
ＵＷ‘（Ｕ）
ｍ２＝１ － ーーーーーーとおくと
Ｗ（Ｕ）
ｄ２ｘ
ーー ＋ ｍ２ｘ ≒ ０
ｄθ２
ベルトランの定理 乱れた円運動 一次の近似４
ｍがＶ⊥ （ｈ／動径ｒ、含むＵ＝ｈ／基本円半径Ｒ）に
関係しなければアプス角は軌道半径によって変化しない。
この条件は
２
ＵＷ‘（Ｕ）
Ｗ‘（Ｕ）
１－ｍ
２
ｍ ＝１－ ーーーー より ーーーー＝ ーーー
Ｖ⊥
Ｗ（Ｕ）
Ｗ（Ｕ）
この条件を満たすためには
よって力は
Ｗ（Ｖ⊥） ＝μＶ⊥１－ｍ２
Ａ＝μＶ⊥３－ｍ２ ＝μ／ｒ
ベキ型になる。
ｍ２ー３
ベルトランの定理 乱れた円運動 高次の近似
一次の理論より中心力はベキ型とされ，さらに三次の理論から（
途中省略）
２μ２Ｕ－２ｍ２－１ｍ４（ｍ２－１）（ｍ２－４）＝０
の条件が導かれる。この式を満たすｍは
ｍ＝０（アプス角 無限大） → 逆三乗
ｍ＝１（アプス角 １８０°）→ 逆二乗
ｍ＝２（アプス角 ９０°）→ 調和型
の３っつでこのうちアプス角無限大はアプス角がないに等しい
結論２：ベキ型の中で満たされるべき引力法則は
逆二乗か調和型のどちらかである。
ｍ＝２ の一次の近似は近似的
調和型 を一次の近似で書き直すと
ｄ ２ Ｖ⊥
ｄ２ ｘ
ｘ＝Ｖ⊥－Ｕ、―――＝―――
を用い
２
２
ｄθ
ｄθ
ｄ２Ｖ⊥
Ｕ３
―――＋Ｖ
－Ｕ＋Ｕ（１－―――）＝０
⊥
ｄθ２
Ｖ⊥3
ｄ２ ｘ
３Ｕ２ｘ
―――＋ｘ＋Ｕ（―――――）≒０
ｄθ２
（Ｕ＋ｘ）3
ｄ２ ｘ
ｄ ２ｘ
２ｘ≒０
―――＋ｘ＋３ｘ＝―――＋２
ｄθ２
ｄθ２
m=1 と m=0 は近似なしで成立
逆二乗
ｄ２Ｖ⊥
―――＋Ｖ⊥－ Ｕ ＝０
ｄθ２
一次の式
ｄ２ｘ
―――
＋
ｘ
＝
０
ｄθ２
逆三乗
一次の式
ｄ２Ｖ⊥
―――＝０
ｄθ２
ｄ２ｘ
―――
＝０
２
ｄθ
逆二乗＋逆三乗
〔恒等式、近似なし〕
ｄ２Ｖ⊥
――― ＋ｋ２（Ｖ⊥－Ｕ） ＝ ０
ｄθ２
ベルトランの定理 一次の近似
〔ｘは十分に小さい、近似式〕
ｄ２ ｘ
２ｘ ≒ ０
ーー
＋
ｍ
ｄθ２
Ｖ⊥ ＝U＋ｘだから 全く等価な式 である
光速渦による圧力差としての重力１
ＦＮ分子 １ Ｎｍ
１
圧力Ｐｒは Ｐｒ＝ーーー＝ー・ーー ・＜Ｖ２＞＝－ρ＜Ｖ２＞
ι２
３ ι３
３
（Ｎｍは立方体全質量、ι３は体積、密度ρ＝Ｎｍ／ι３）
圧力差（傾度力、単位水平距離に対する圧力の変化量）は
Ｐｒ１－Ｐｒ２
１
（ρ１－ρ２）
Ｆ傾度力＝ーーーーーー＝－－・ーーーーーー＜Ｖ２＞
Ｌ
３
Ｌ
１
ｄρ
Ｆ傾度力＝ρａ＝ーー・ーーー＜Ｖ２＞
３ ｄＬ
光光
速速
渦エ
テー
ーテ
ール
光速渦による圧力差としての重力
光速エ－テルの二乗平均速度 Ｃ２／２
光速エ－テルの２乗平均速度＜Ｖ２＞を求めると、
仮定からの Ｖ＝Ｃｃｏｓθ を利用、ωを角速度として
１ Ｔ
１ Ｔ
＜Ｖ２＞＝－－∫ Ｖ２ｄｔ＝－－∫ Ｃ２ｃｏｓ２ωｔｄｔ
Ｔ ０
Ｔ ０
Ｃ２ Ｔ
Ｃ２
１
＝－－∫ （１＋ｃｏｓ２ωｔ）ｄｔ＝－－［ｔ＋ーー ｓｉｎ２ωｔ］
２Ｔ ０
２Ｔ
２ω
Ｃ２
＝ーーー
２
Ｔ
０
光速渦による圧力差としての重力３
万有引力の法則（Ｌの逆二乗に比例）より
ＧＭ
ａ（Ｌ）＝－ ーー
Ｌ２
万有引力と光速エーテル二乗速度を傾度力に代入し
ＧＭ １
ｄρ
Ｃ２
ーρーー＝ーー・ーーー・ーー
Ｌ２
３
ｄＬ
２
光速渦による圧力差としての重力４
整理して
ｄρ
６ＧＭ ｄＬ
ーー ＝－ ーーー・ーー
ρ
Ｃ２
Ｌ２
Ｌが無限大（渦が巻かない平坦時の光速エーテル）
のときの媒体密度をρ０として、両辺積分すると
６ＧＭ
ｌｏｇρ－ｌｏｇρ０＝－ ーーー
Ｃ２ Ｌ
６ＧＭ
すなわち
ρ（Ｌ）＝ｅｘｐ（－ ーーー )ρ０
Ｃ２ Ｌ
光速渦による圧力差としての重力５
渦の中心に行く
とき光速渦は
風船状に膨ら
むその比率
ρ０ ／ρ
６ＧＭ
＝ｅｘｐ（ーーー）
Ｃ２Ｌ
光速渦による圧力差としての重力６
渦の中心に行くとき
ρ０
ＧＭ
６ＧＭ
ーーー Ａ ＝ ーーｅｘｐ（ーーー
)
２
２
ρ（Ｌ）
Ｌ
Ｃ Ｌ
６ＧＭ／Ｃ２Ｌ≪１ のとき
ρ０
ＧＭ
６Ｇ２Ｍ２
ーーー Ａ ≒ ーー ＋ ーーーー
ρ（Ｌ）
Ｌ２
Ｃ２Ｌ３
逆二乗＋逆三乗の力が生まれる
光速渦による圧力差としての重力７
近日点移動（閉型）の場合ｋは１よりわずかに小さく、
そのために近日点の位置が１回転で
Δθ＝２π（１－ｋ）
だけ回ることになる。
Ｂ＝ＧＭ、Ｓ＝６ＧＭ／Ｃ２ となるからｋは
Ｒ
Ｓ
１／２
ｋ＝（ーーーー）
≒ １－ ーー （∵Ｓ≪Ｒ）
Ｒ＋Ｓ
２Ｒ
従って
πＳ ＝ーーーー
６πＧＭ
Δθ＝２π（１－ｋ）≒ーーー
Ｒ
Ｃ２Ｒ
これは、一般相対性理論で求められた値と全く一致。