光学トラップ中の スピン自由度のあるボース凝縮系
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光学トラップ中の
スピン自由度のあるボース凝縮系
―ボース凝縮体の２粒子的な取り扱い―
1. Introduction
2. Polar state と spin-singlet state
3. Singlet pair 演算子の性質
4. 経路積分と音波モード
栗原研究室
5. まとめ
G99m0267 段下 一平
1.Introduction
―光学トラップにおけるBECの実現―
1997年､MITのグループが
光学トラップを用いてBECを実現
(23Na､ 87Rb total spin=1、)
Magnetic Trap
Optical Trap
―この研究の目的―
・ 基底状態の決定
・ 系のエネルギー分散関係の追求
2. Polar state と Singlet pair
一様系のHamiltonian
T.L.Ho PRL(1998)
H dr ( 2M †
2
†† S S )
†
c0
2
c0
d0 2 d2
3
, c2
†
d2 d0
3
c2
2
0 (反強磁性的), dF
4
2
M
スピン基底の変換
Ohmi & Machida JPSJ(1998)
H dr ( 2M †
2
)
g1
2
†
†
g2
2
g1 c0 c2 0, g2 c2 0
†
†
aF
凝縮の単位
エネルギー平均
H0
SO(3) 対称性
approach
励起スペクトル
Polar state
Spin-singlet state
z方向スピンが0
1粒子状態
全スピンが0のペア
(Singlet pair)
2粒子状態
g1 g2
2V
N ( N 1)
g1 g2
2V
N ( N 1)
g2
2V
N
broken
unbroken
GP 近似
Hubbard-Storatonovich
変換
k ( k 2 | g1 | n)
k ( k 2 | g2 | n)
<H0> 熱力学的極限で一致だが…
??
本研究では、
Spin‐singlet state を仮定
3. Singlet pair のコヒーレント状態
Motivation
スピン自由度のないBECでは、コヒーレント状態が実現
→ Singlet pair の凝縮体でこれに対応する状態が欲しい!!
( ) †
( ) 2 N 3
z
L
,
L
,
L
擬スピン表示：
4
2
2
[ Lz , L( ) ] L( ) ,[ L( ) , L( ) ] 2Lz
この性質を利用して、
| |
Θ の固有状態を求めた。
要請
となるような、
| | († )k
|
| vac
sinh | | k 0( 2k+1) !
| N | N
| | N , Nei
Θ、N の平均を
秩序パラメータとして
取り扱える。
4. 経路積分と音波モード
Motivation
･測定できる量でPolar State とSpin-singlet state を比較したい
Spin-singlet state の
エネルギー励起スペクトルを求める
Start line
大分配関数： Z * exp(
S[ * , ]
経路積分
), S S0 Sint
2 2
*
S0 dxd ( x, )(
) ( x, )
2m
Sint dxd{12 g1* ( x, )* ( x, ) ( x, ) ( x, )
12 g2 * ( x, )* ( x, ) ( x, ) ( x, )}
Hubbard-Stratonobich 変換
補助場：
g2 , g2 , g1 i
* *
*
*
( x) 0 ( x), * ( x) *0 * ( x), ( x) 0 ( x)
ゆらぎの１次の係数が０
補助場の古典解
(鞍点法)
擬スピンの平均場近似
i 0 g1n
| 0 | g2n
( g1 g2 )n
Bogolonの
励起スペクトル
粒子数平均 = 系に与えられた粒子数
&
Heisenberg.equation
k (k 2| g2 | n)
Polar state との比較
Polar state の分散関係
k ( k 2 | g1 | n) (density wave mode)
k ( k 2 | g2 | n) (spin wave mode)
それぞれ自発的対称性の破れに対するGoldstone mode
考察
・Polar state のスピン波モードと一致
∵ Singlet pair が壊れることでスピンが励起される
・Gaplessである。
∵ Spin-singlet state は束縛状態ではない。
･U(1)対称性の破れに対するGoldestone mode？
→ 集団励起モードが対応
補助場のゆらぎの2次形式
集団励起モード （計算中）
5. まとめと今後の課題
まとめ
・Singlet pair 演算子の固有状態を求めた。
・Spin-singlet state の個別励起は
Polar state のスピン波モードに対応。
・今回の励起モードからはPolar state と
Spin-singlet state を区別できない。
今後の課題
・|Λ> の数学的検証
・集団励起モードの計算 （RPA Bubble ）
・Josephson効果
終
遊
Appendix
1. スピン空間における基底
1 (r )
(r ) mF (r ) | f 1, mF 0 (r )
mF 1
1 (r )
1
0
0
| mF 1 0 , | mF 0 1 , | mF 1 0
0
0
1
･｜１＞、｜０＞、｜-1＞、という基底
1
S
0
1
1
2 0
1 0
0 1 0 1 0 0
i
1 0 1, 0 0 0
0 1 ,
2 0 1 0 0 0 1
1 0
・ 新しい基底の導入
def . basis set | x , | y , | z
Si | i 0, (i x, y, z)
1
1
i
| x
0 , | y
2
2
1
(r )
(r ) | f 1, m
x, y , z
F
1
0
0 , | z 1
1
0
12 ( x (r ) i y (r )) 1 (r )
z (r )
0 (r )
1 ( (r ) i (r )) (r )
y
2 x
1
凝縮体のHamiltonian
H0
g1
2V
a a a a
g1
2V
N ( N 1)
†
†
g2
2V
g2
2V
a† a† a a
†
Polar state: z方向スピンが0であるような1粒子状態に凝縮
| p
1
N!
(a ) | vac
† N
0
a†0 x a†x y a†y z a†z ,
(cos sin sin sin cos )
Spin-singlet state: 全スピンが0になるようなペアを作って凝縮
| s
1
C
( ) | vac
†
N
2
a a a a a a
†
† †
x x
† †
y y
† †
z z
Hubbard-Stratonobich 変換
補助場：
g2 , g2** * , g1* i
Z * * exp(
S[ * , , * , , ]
S S0[ * , ] Sint [ * , , * , , ]
| ( x, ) |2 ( x, )2
Sint dxd{
2 g2
2g1
12 (2i ( x, )* ( x, ) ( x, )
( x, )* ( x, )* ( x, )
* ( x, ) ( x, ) ( x, ))}
),
Green’s function を用いた二次形式
2
2
|
|
*
Z
exp( dx(
))
2g2 2g1
exp( dxdx[ ( x) ( x)](G
*
*
( x )
( x, x)) *
)
( x )
( x x )
i
1
22
i
1
G 1 2m
2 2
2
*
2m
ここで、φ*、φ に関する積分を実行
2
2
|
(
x
)|
(
x
)
S[* , , ] dx {
} Tr[ln(G1 )]
2 g2
2 g1
i
i
|
g
|
n
g
ne
1
1
m
k
2
2
G ( k ,m )
i
2
g2ne
im k | g2 | n
det[G 1 ] 0 energy dispersionrelation: k (k 2| g2 | n)