Transcript Cálculo de Funções de Duas Variáveis

Cálculo de Funções de Duas Variáveis
Prof. Claud Wagner
Lista1 (domínio, curvas de nível e derivadas parciais)
1. Determine e esboce o domínio das funções abaixo:
a) f ( x, y )
c) f ( x, y )
x
2
y 2 16
2
b) f ( x, y )
x
y x2 1
d) f ( x, y )
x
2x
y 8
25 x 2
y2
e) f ( x, y)
x2
y2 1
f) f ( x, y)
x
y
1
g) f ( x, y )
2 x 2 18 y 2 72
h) f ( x, y )
x2
y
9
1
i) f ( x, y)
1 x2
1
k) f ( x, y)
4 x
y2
l) f ( x, y)
2y
1
m) f ( x, y)
9 x2
o) f ( x, y) ln( x2
j) f ( x, y)
1
3 x2 y 2
1
4 x2 4 y 2
4
n) f ( x, y)
3
y
y 2 9)
x2
y
1
p) f ( x, y) ln( 9x2 16 y 2 144)
2. Faça o mapa de contorno das funções abaixo mostrando várias curvas de nível.
a) f ( x, y)
c) f ( x, y)
x2
x2
e) f ( x, y)
xy
g) f ( x, y)
x2
i) f ( x, y )
2
y2
y2
b) f ( x, y) 2 x2 3 y 2
d) f ( x, y) 2 x y
x
f) f ( x, y )
y
y
h) f ( x, y )
1
x y2
k) f ( x, y) 2 x2 5 y 2
j) f ( x, y )
x2 y 2
y
x 1
l) f ( x, y) 2 x2
y
x
y
xy calculam, respectivamente, a
e g ( x, y )
2
média aritmética e a média geométrica dos números x e y. Determine:
3. As funções f x, y
a) A média aritmética e a média geométrica dos números x 8e y 2 .
b) Os valores de x e y para os quais a média geométrica é igual a média
aritmética.
c) O domínio da função f. Faça um esboço.
d) O domínio da função g. Faça um esboço.
4. Uma empresa que aluga carros cobra R$40,00 por dia e 15 centavos por
quilômetros rodado.
a) Obtenha uma fórmula para o custo, C, do aluguel como função do número de
dias, d, e o número de quilômetros, q.
b) Calcule C (5,300) e interprete o resultado.
5. Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual
modelavam o crescimento da economia americana durante o período 1899-1922.
Eles consideravam uma visão simplificada onde a produção é determinada pela
quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de
existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo
provou-se impressionante razoável. A função utilizada para modelar a produção
era da forma P(T , C) 1,01T 0,75C 0,25 , onde P é a produção total (valor
monetário dos bens produzidos no ano), T é a quantidade de trabalho (número
total de pessoas-hora trabalhadas em um ano) e C é a quantidade de capital
investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
a) Determine o domínio da função P. Faça um esboço.
b) Em 1920, os valores da produção, do trabalho e do capital, de acordo com
dados econômicos divulgados pelo governo americano, foram
respectivamente, 231,194 e 407 em unidades apropriadas. Utilize a função
de Cobb e Douglas para calcular a produção em 1920 e compare com o seu
valor real.
c) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem
dobrados?
d) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem
multiplicados por um número positivo k ?
6. Quando injetamos um medicamento em um tecido musculoso, ele se espalha na
corrente sanguínea. A concentração do medicamento no sangue aumenta até
atingir um máximo, e depois decresce. A concentração C ( em mg por litro ) do
medicamento no sangue é uma função de duas variáveis: q, a quantidade ( em
mg ) do medicamento injetado, e t, o número de horas desde que a injeção foi
administrada. A concentração pode ser modelada pela seguinte fórmula
C(q, t ) te t (5 q ) para 0 q 4 e t 0 .
a) Faça um esboço do domínio dessa função
b) Calcule a concentração 2 horas e 30 minutos após a injeção de 2,4mg do
medicamento.
c) Supondo que sejam injetados 4mg do medicamento, determine após quantas
horas o medicamento atinge a concentração máxima. Qual é a concentração
máxima? Faça um esboço do gráfico da concentração em função do tempo.
7. Nos exercícios abaixo, encontre
a)
b)
f ( x, y)
f ( x, y)
c) f ( x, y)
d) f ( x, y)
e) f ( x, y)
f) f ( x, y)
g)
f ( x, y )
h)
f ( x, y )
i)
f ( x, y )
j)
f ( x, y )
k)
l)
f ( x, y)
f ( x, y )
f
f
e
.
x
y
2 x3 3 y 4
3x 4 y 4 5 x 2 y 6
x2 xy y 2
5xy 7 x2 y 2 3x 6 y
( xy 1)2
(2 x 3 y)3
x2
1
y2
x
y
x
2
x y2
x y
xy 1
sen x cos y
sen 2 x 3 y
m) f ( x, y) ln(3x 5 y)
n) f ( x, y) x2e xy
8. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em
relação à sua altura. Se uma pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h,
m
em metros, então IMC f (m, h)
. Com o resultado do cálculo do IMC e
h2
por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade
você pode saber como está seu índice.
Cálculo IMC
Abaixo de 18,5
Situação
Você está abaixo do peso ideal
Entre 18,5 e 24,9 Parabéns — você está em seu peso normal!
Entre 25,0 e 29,9 Você está acima de seu peso (sobrepeso)
Entre 30,0 e 34,9 Obesidade grau I
Entre 35,0 e 39,9 Obesidade grau II
40,0 e acima
Obesidade grau III
a) Calcule o seu índice e veja em que faixa você se encaixa.
f
f
b) Calcule
e
.
m
h
c) Qual é a altura de uma pessoa que pesa 80 kg e tem IMC igual a 23?
f
(70;1, 7) e interprete.
d) Calcule
m
9. A fórmula de Dubois relaciona a área superficial de uma pessoa, S, em m2 , para
o peso, w, em kg e a altura, h, em cm, por S (w, h) 0,01w0,25h0,75 . Calcule:
a) S (70,180)
S
S
b)
e
w
h
S
(70,180) . Interprete esse resultado
c)
w
10. Considere que uma carga pontual de 10 C seja colocada na origem de um
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja
colocada no ponto ( x,0) , x 0 . Se F é o módulo da força de atração entre as
cargas, determine:
a) F ( x, q)
F
F
b)
e
x
q
F
c)
quando q 20 C e x 0,1m . Interprete esse resultado
x
F
d)
quando q 20 C e x 0,1m . Interprete esse resultado
q
11. Considere que uma carga pontual de 20 C seja colocada na origem de um
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja
colocada no ponto ( x,0) , x 0 . Se F é o módulo da força de atração entre as
cargas, julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F)
9.103.q
a) ( ) F ( x, q)
x2
F
1,8.104.q
b) ( )
x
x3
F 9.103
c) ( )
q
x2
F
3, 6.104 N m
d) ( ) Quando q 2 C e x 10 2 m , tem-se
x
2
2
F
F 5, 4.104.q
e) ( )
q2
x2
x4
2
f) (
)
f
q x
1,8.104
x3
12. De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P newtons por
metro quadrados for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus for a
temperatura, teremos a fórmula PV kT onde k é uma constante de
proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja
100 m3 e que a temperatura seja 90º e k 8 .
a) Ache a pressão no recipiente
b) Ache a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permanecer
fixo em 100 m3 .
c) Use o resultado da parte (b) para aproximar a pressão se a temperatura for
aumentada para 92º e compare com o seu valor real.
d) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em P se T permanecer
fixa em 90º.
13. Consideremos uma pequena editora, com N funcionários e cujos equipamentos
valem V (em unidades de R$ 25.000). Seja P a produção medida em milhares de
páginas por dia. Suponha que a função de produção da companhia seja
P( N ,V ) 2N 0,6V 0,4 .
a) Qual a produção da empresa se ela tem 100 funcionários e 200 unidades de
equipamento?
P
P
(100, 200) e
(100, 200) . Interprete suas respostas em termos
b) Calcule
N
V
de produção.
2
14. Nos exercícios abaixo, encontre
a) f ( x, y)
2
x y
3
x
f
2
2
,
y
f
2
2
e
f
x y
4
2x y
2
x
y3
xy
c) f ( x, y )
1 y
b) f ( x, y )
2
15. A equação
2
f
f
0 é chamada equação de Laplace em homenagem a
x
y2
Pierre Laplace (1749-1827). Soluções dessas equações são chamadas de
funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor,
escoamento de fluidos e potencial elétrico. Com base nessas informações,
determine se as funções abaixo são harmônicas.
a)
b)
c)
2
f ( x, y) e xsen y
f ( x, y) x3 3xy 2
f ( x, y) sen x.cos y
16. Prove que se a b 0 , então a função f x, y
ax 2 by 2 c é harmônica.
17. Suponha que dois resistores elétricos de r ohms e s ohms sejam colocados em
paralelo para formar um resistor equivalente de R ohm. Determine:
a) R(r , s)
b) R(8, 2)
c)
R
R
,
,
r
s
2
R
,
r2
2
2
R
R
e
2
s
r s