Transcript Lista de exercícios: Números Complexos – Prof

Lista de exercícios: Números Complexos – Prof ºFernandinho
01. Calcule a soma S = i + i 2 + i 3 + i 4 + ... + i 50
02. Calcule o produto P = i 1 .i 2 .i 3 .i 4 ...i 30
03. Se f(x) = x 2 − x + 1 , calcule o valor de f(1 – i).
i
04. Se i é a unidade imaginária, então, quanto vale o determinante i 4
i7
05. Sendo i a unidade imaginaria, determine o valor de y =
i2
i5
i3
i6 ?
i8
i9
i 1 + i 2 + i 3 + ... + i 502
.
i 1 + i 2 + i 3 + ... + i 103
06. Determine o valor da expressão E = (1 + i ) + (1 − i ) .
20
20
07. Sejam os números complexos U = 1 + i e V = 1 – i. Calcule . 08. Se a =
1
1− i
2
,b=
e c = (b − i ) , onde i é a unidade imaginária, calcule a c .
1+ i
1+ i
09. Dados o números complexos Z = 3 + 2i e W = - 3 – i, calcule o valor de .
10. Calcule o valor da expressão y =
11. Qual é o conjugado do número complexo Z =
2−i
.
i
12. Qual é o valor de x, com x ∈ ℜ , para que o complexo Z = (x – 2i).(2 + xi) seja real?
13. Para i = √1, calcule os valores reais de a e b tais que = 3 + b.i
14. Determinar x real positivo de modo que o número complexo Z =
2 − x.i
seja imaginário puro.
1 + 2 x.i
15. Sabendo que x é um número real e que a parte imaginária do número complexo Z =
valor de x.
16. Determine a real de modo que o número complexo Z =
17. Determinar o número complexo Z tal que:
1 + 2i
seja real.
2 + a.i
Z
Z −1 5 5
+
= + .i
1− i 1+ i 2 2
2+i
é zero, calcule o
x + 2i
18. Determinar Z ∈ C , tal que Z = −2.Z.i
19. Determinar os números complexos Z tais que: Z.Z + Z − Z = 13 + 6.i
20. Determinar Z ∈ C , tal que Z 2 = i
21. Determine Z, Z ∈ C , tal que Z + i.Z = 1 − 3.i
22. Determine Z, Z ∈ C , tal que Z + Z = 2 + i.
23. Seja Z o produto dos números complexos √3 + i e do complexo Z.
√
. Determine o módulo e o argumento (em graus)
1+ i 1− i
.
−
1− i 1+ i
25. Obtenha a forma trigonométrica do complexo Z, tal que, i.Z + 2Z − 1 + i = 0
24. Obtenha o módulo e o argumento do número complexo Z =
26. Obtenha a forma trigonométrica do complexo Z =
1 + i. 3
3 +i
.
27. Sendo Z = 2.(cos 30° + i.sen 30°) e U = 4.(cos 60° + i.sen 60°), obtenha a forma algébrica de
π
π

28. Sendo Z = 2. cos + i.sen  , calcule a forma algébrica do complexo Z 12 .
3
3

29. Sendo Z = −1 + i. 3 , calcule Z 7 .
30. Calcule o valor de = √2 √6. .
31. Determine o valor de = 3√2 . √6
1
3

32. Calcule o valor da expressão E =  + i.

2
2


100
33. Qual é o módulo e o argumento do complexo
.
(
)
8
3 +i ?
34. Dê a forma algébrica do número complexo Z 12 , sendo Z = cos
π
π
+ i.sen .
16
16
35. a ) Determinar o número Z tal que: i.Z + 2.Z + 1 − i = 0.
b ) Qual é o módulo e o argumento de Z?
c ) Determinar a potência de expoente 1004 de Z.
(
36. Determine o menor inteiro positivo n, tal que 1+ i. 3
)
n
seja um número real.
Z3
.
U
37. Determine o menor valor natural de n, para o qual √3 é:
a ) real e positivo.
b ) real e negativo.
c ) imaginário puro.
38. Obtenha as raízes quadradas de Z = 5 – 12.i
39. Obtenha as raízes cúbicas de Z = – 27.i
40. Resolva em C a equação: Z 4 − 16 = 0 .
Gabarito:
01. S = i – 1
02. P = i
03. f(1 – i ) = - i
04. Zero
05. y = 1 – i
06. E = - 2048
07. 1 – i
08. a c = −4
09. – 1
10. y = 4 – 4i
11. Z = −1 + 2i
12. x = 2 ou x = - 2
13. a = - 4 e b = 1
14. x = 1
15. x = 4
16. a = 4
17. Z = 3 + 2i
18. Z = 0
19.
21. Z = - 3 + 4i
22. Z =
20. Z1 =
2
2
2
2
+
.i , Z 2 = −
−
.i
2
2
2
2
24. Z = 2 e θ =
27.
7π
7π 

25. Z = 2 . cos
+ i.sen

4
4 

π
2
Z3
= 3+i
U
28. Z12 = 4096
31. Z = 2 . 6
32. E = −
1
3
− i.
2
2
a ) Z = −1 − i
35. b) Z = 2 e θ =
5π
4
36. n = 3
c ) Z1004 = −1.2502
Z1 = 3i
3 3 3
− .i
39. Z2 = −
2
2
3 3 3
Z3 =
− .i
2
2
40.
Z1 = 2
Z 2 = −2
Z3 = 2i
Z 4 = −2i
$ = 0
37. %$ = 6
&$ = 3
3
+i
4
23. Z = 6 e θ = 90°
π
π

26. Z = 1. cos + i.sen 
6
6

29. Z7 = −64 + 64 3.i
33. Z = 256 e θ =
Z1 = 2 + 3i
Z 2 = −2 + 3i
4π
3
30. Z = 2048 . 2048√3
34. Z12 = −
38.
2
2
+ i.
2
2
Z1 = 3 − 2i
Z 2 = −3 + 2i