Transcript Esc Unif Condutos Forçados

ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES
Créditos: PORTO, R.M. - EESC; LAUTENSCHLAGER, S. R. - UEM
1 – Distribuição de Tensões na Seção Circular:
• O processo irreversível de transformação de parte da energia em calor pode
ocorrer de três formas:
tensões cisalhantes entre camadas adjacentes de líquido, com baixos valores
do No de Reynolds => Escoamento Laminar;
criação, desenvolvimento e colapso de vórtices, com consequente dissipação
de energia por atrito viscoso entre partículas adjacentes; vorticidade gerada no
“contato” entre regiões com movimento de líquido rápido e lento ou estagnado
na camada limite laminar ou em zonas de separação do escoamento
=> Escoamento Turbulento;
combinação entre os processos laminar e turbulento de dissipação de energia
=> Escoamento Transicional; tipo de escoamento instável, em estreita faixa de
Nos de Reynolds, sem interesse prático, principalmente pelo fato de a água ter
viscosidade baixa e os escoamentos comuns em tubulações serem turbulentos.
• O diferencial de velocidade (gradiente de velocidade) entre camadas líquidas dá
origem a tensões de cisalhamento com a correspondente dissipação de energia por
atrito de escorregamento ou geração de turbulência.
Distribuição de Tensões em um Tubo de Seção Circular
• Conduto retilíneo;
• Seção afastada de uma singularidade;
• Escoamento desenvolvido.
∆H
τ0
y
τ
Q
D
r
R
Também para o tubo de corrente:
γ∆Hd  γ∆H 
=
τ=
r
4L
 2L 
d
L
2.1
válida para escoamento laminar ou turbulento. Em função da linearidade, escreve-se:
y
r

τ = τ 0 = τ 0 1 − 
R
 R
2.2
Escoamento Laminar
Para fluido newtoniano e escoamento laminar, em que predominam esforços
viscosos, aplica-se a lei de Newton da viscosidade :
dv
dv
τ=µ
= −µ
dy
dr
2.3
Igualando à Eq. 2.1, tem-se:
γ∆Hd  γ∆H 
τ=
=
r
4L
 2L 
0
2.1
R
γ∆H
γ∆H
dv
r = −µ
→ ∫ dv = − ∫
rdr
2L
dr
2Lµ
V
r
Após integração, obtém-se a distribuição
de velocidade do escoamento laminar:
Sendo, para r = 0, V = Vmáx, vem:
v máx
γ∆H 2
=
R
4Lµ
γ∆H 2 2
v=
R −r
4Lµ
Também:
(
  r 2 
v = Vmáx 1 −   
  R  
)
2.4
2.5
Escoamento Laminar
Para obter-se a velocidade média do escoamento, integra-se o perfil de velocidade, sendo:
R
Q = ∫ vdA = ∫ v2πrdr = Vπ R 2
A
2.6
0
Substituindo-se a equação do perfil de velocidade, tem-se a equação da vazão, que,
após integração, fornece as relações entre Vmáx e V (Eq. 2.7):
  r 2 
Q = ∫ v máx 1 −    2 π r dr = Vπ R 2 → Vmáx = 2V
2.7
  R  
0
R
E entre ∆H e V (Eq. 2.8):
v máx
γ∆H 2
=
R = 2V
4µL
8µLV
∆H = 2
R γ
2.8
Escoamento Laminar
Como R = D/2, a Eq. 2.8 pode escrever-se:
8µLV 32µLV
∆H =
=
2
γR
γD 2
2.9
Fórmula de Hagen-Poiseuille
Igualando à fórmula universal da perda de carga, obtém-se para o fator
de atrito no escoamento laminar:
2
64µ
64
LV
32 µ L V
=
∆H = f
=
∴ f=
2
ρVD Re
D 2g
γD
2.10
Escoamento Turbulento
• No escoamento turbulento, grupos de moléculas com velocidade de
perturbação são transportadas, de forma caótica (vórtices), para camadas
adjacentes do fluido, produzindo tensões de cisalhamento τ maiores que no
escoamento laminar.
• Devido à adesão, partículas em contato com a parede do tubo têm v = 0 e
passa a existir uma camada delgada de líquido, adjacente à parede, que
caracteriza-se por uma variação praticamente linear da velocidade na direção
principal do escoamento, chamada de subcamada limite laminar.
• A teoria da camada limite mostra que a espessura δ da subcamada limite
laminar vale:
11,6ν
δ=
u*
em que:
u∗ - velocidade de atrito;
ν - viscosidade cinemática do fluido.
Escoamento Turbulento
Quando as rugosidades da parede ε estão totalmente cobertas pela subcamada:
u *ε
<5
ν
Escoamento turbulento
hidraulicamente liso
Na condição intermediária, apenas as asperezas maiores transpassam a
subcamada limite laminar:
u *ε
5≤
≤ 70
ν
Escoamento turbulento
hidraulicamente misto ou
de transição
Quando as rugosidades da parede ε afloram a subcamada limite, alcançando o
núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência:
u *ε
> 70
ν
Escoamento turbulento
hidraulicamente rugoso
sendo o parâmetro:
u *ε
= Re*
ν
Número de Reynolds de
atrito ou de rugosidade
Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
Tubos Rugosos
Velocidade de Perturbação
• No escoamento turbulento, a velocidade instantânea corresponde à soma de duas
parcelas, a velocidade média temporal e a velocidade de perturbação:
r r r
V = V + v′
r
V = cte
T
r
e ∫ v′dt = 0
0
Em um ponto, na direção x, a velocidade apresenta o registro
ao longo do tempo, como indicado na figura abaixo:
r 1Tr
Logo vem: V =
Vdt
∫
T0
Em coordenadas cartesianas:
• No escoamento laminar:
dv
τ=µ
dy
Vx = Vx + v′x
Vy = Vy + v′y
Vz = Vz + v′z
, sendo µ uma propriedade do fluido;
dv
• No escoamento turbulento, segundo o modelo de Boussinesq: τ t = η
dy
em que η - viscosidade turbulenta, propriedade do escoamento
e do fluido. Devido à natureza do escoamento turbulento, η >> µ.
• Este modelo não descreve bem o fenômeno, porém, é usado no estudo da
turbulência devido à sua simplicidade e analogia com o caso laminar.
Comprimento de Mistura de Prandtl
A tensão instantânea tangencial
turbulenta pode ser escrita como:
dFt
τt =
= ρv′x v′y
dA
Os termos da forma ρv′xv′y são chamados tensões de Reynolds
Prandtl propôs que pequenos grupos de partículas
são transportados pelo movimento turbulento até à
distância média l entre regiões com velocidades
diferentes. Chamou l de comprimento de mistura.
Sugeriu que:
v′x ≈ v′y ≈ l
dv
dy
cuja consideração na equação anterior, leva a:
dv 2
τ t = ρl ( )
dy
2
Lei Universal de Distribuição de Velocidade:
Para determinar matematicamente os perfis de velocidade, Prandtl assumiu as
seguintes hipóteses (não totalmente convincentes, mas válidas):
• esforço cortante no núcleo turbulento igual ao desenvolvido na parede tubo;
• esforço cortante que predomina é o turbulento, dado pela eq. anterior;
• variação linear de l com y nas proximidades da parede (v′→0) dada por:
l = κ y , κ é cte universal (cte de von Kármán) igual a 0,4 (água limpa).
τ t = τ 0 = ρκ 2 y 2 (
dv 2
) →
dy
Após integração temos:
dv
u * dy
τ0
dv
→
= dv
= κy
→ u * = κy
dy
κ y
ρ
dy
v 1
= ln y + C
u* κ
Para escoamento em tubos circulares, temos as condições de contorno:
• se y = R → v = Vmax
• se y = 0 → v = 0 , que resulta em:
Vmax − v
R
= 2,5ln
u*
y
→ lei universal de distribuição de velocidade
(válida p/ tubos lisos e rugosos)
Derivando a equação, temos: dv/dy = 2,5 u*/y, que leva aos seguintes
resultados:
• no centro do tubo, y = R, o valor de dv/dy deveria ser nulo (Vmax), mas pela
equação é finito;
• na parede, y = 0, o valor de dv/dy torna-se infinito, o que não é possível.
Apesar dessas impropriedades matemáticas, a teoria proposta por Prandtl
é válida para aplicações práticas.
Usando o conceito de velocidade média numa seção e integrando a
equação do perfil, vem:
R
R
Q = VπR 2 = ∫ vdA = ∫ v2πrdr
0
R
portanto:
em que r = R − y
0
VπR 2 = ∫ u *[2,5 ln(R − r ) + C]2πrdr
0
que resulta em:
V
= 2,5 ln R + (C − 3,75)
u*
Experiência de Nikuradse
5 regiões distintas:
I ) Re < 2300, escto laminar, f (Re);
II ) 2300 < Re < 4000, região crítica,
onde f não é determinado;
III) tubos hidraulte. lisos, δ >> ε,
f (Re), escto turbulento hidraulte. liso;
IV) transição entre o escto turbulento
hidraulte. liso e rugoso, f (Re, ε/D);
V)
turbulência
completa,
escto
turbulento hidraulte. rugoso, f(ε/D).
Observa-se que um tubo pode ser hidraulte. liso p/ esctos. com Re baixos e hidraulte.
rugoso p/ Re altos. Isto porque Re , turbul , transp q mov , δ .
A curva limite de tubos hidraulicamente lisos pode ser representada, na faixa
3000 < Re < 105, pela expressão:
0,316
f = 0, 25 → fórmula de Blasius
Re
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento (f)
Tubos Lisos:
V
u *R
= 2,5 ln
+ 1,75
u*
ν
v
yu*
= 5,5 + 2,5 ln
u*
ν
1
= 2 log Re f − 0,8 ou
f
(
)
 Re f
1
= 2 log
f
 2,51

 para


Re f
< 14,14
D/ε
Tubos Rugosos:
v
y
= 8,48 + 2,5 ln
u*
ε
1
D
= 2 log( ) + 1,74
2ε
f
V
R
= 2,5 ln + 4,73
u*
ε
ou
1
 3,71D  para
= 2 log

f
 ε 
Outros resultados obtidos que têm importância prática são:
• para y/R = 0,223 → v = V (tubo liso ou rugoso)
• para tubo circular (liso ou rugoso) vale a relação:
V
1
=
→ Vmax = V + 4,07u *
Vmax 1 + 4,07 f/8
Re f
> 198
D/ε
Escoamento Turbulento Uniforme em Tubos Comerciais
Para o Escto Turbulento Hidraulte. Misto ou de Transição foi proposta a relação:
1
2,51 
 ε
= −2 log
+

f
 3,71D Re f 
→ fórmula de Colebrook-White
válida para 14,14 <
Re f
< 198
D/ε
Esta fórmula pode ser reescrita explicitando-se a velocidade média, na forma:
 ε
2,51ν 

V = −2 2gDJ log
+
 3,71D D 2gDJ 


Fórmulas explícitas e aproximadas têm sido apresentadas:
f =
0,25
  ε
5,74 
log
+



0, 9 
  3,7 D Re 
2
→ fórmula de Swamee-Jain
válida para
10-6 ≤ ε/D ≤ 10-2
5⋅103 ≤ Re ≤ 108
1944 - Moody
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material
Aço comercial novo
ε(mm) Rugosidade
absoluta equivalente
0,045
Aço laminado novo
0,04 a 0,10
Aço soldado novo
0,05 a 0,10
Aço soldado limpo, usado
0,15 a 0,20
Aço soldado moderadamente
oxidado
Aço soldado revestido de
cimento centrifugado
0,4
0,10
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material
Aço laminado revestido de asfalto
Aço rebitado novo
Aço rebitado em uso
ε(mm) Rugosidade
absoluta equivalente
0,05
1a3
6
Aço galvanizado, com costura
0,15 a 0,20
Aço galvanizado, sem costura
0,06 a 0,15
Ferro forjado
0,05
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material
Ferro fundido novo
ε(mm) Rugosidade
absoluta equivalente
0,25 a 0,50
Ferro fundido com leve oxidação
0,30
Ferro fundido velho
3a5
Ferro fundido centrifugado
0,05
Ferro fundido em uso com
cimento centrifugado
Ferro fundido com revestimento
asfáltico
0,10
0,12 a 0,20
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material
ε(mm) Rugosidade
absoluta equivalente
Ferro fundido oxidado
1 a 1,5
Cimento amianto novo
0,025
Concreto centrifugado novo
0,16
Concreto armado liso, vários anos de uso
0,20 a 0,30
Concreto com acabamento normal
1a3
Concreto protendido Freyssinet
0,04
Cobre, latão, aço revestido de epoxi, PVC,
plásticos em geral, tubos extrudados
0,0015 a 0,010
Aplicação 1
Uma tubulação de aço soldado revestido de cimento centrifugado (ε =
0,1 mm), de 4” de diâmetro, transporta água a 20oC (ν ≅ 1,0 x 10-6 m2/s)
como conduto forçado. Pede-se determinar o fator de atrito e a vazão
para os escoamentos neste conduto correspondentes às seguintes
condições:
a) limite superior do escoamento laminar; b) limite inferior do
escoamento turbulento; c) limite superior do escoamento turbulento de
tubo hidraulicamente liso; d) limite inferior do escoamento turbulento
de tubo hidraulicamente rugoso.
Exemplo 2.5
Água flui em uma tubulação de 50mm de diâmetro e 100m de
comprimento, na qual a rugosidade absoluta é igual a ε=0,05mm.
Se a queda de pressão, ao longo deste comprimento, não pode
exceder a 50 kN/m2, qual a máxima velocidade média esperada.
Exemplo 2.6
Imagine uma tubulação de 4” de diâmetro, material aço soldado
novo, rugosidade ε=0,10mm, pela qual passa uma vazão de 11 L/s
de água. Dois pontos A e B desta tubulação, distantes 500m um do
outro, são tais que a cota piezométrica em B é igual à cota
geométrica em A. Determine a carga de pressão disponível no
ponto A, em mH2O. O sentido do escoamento é de A para B.
Exemplo 2.7
Um ensaio de campo em uma adutora de 6” de diâmetro, na qual a
vazão era de 26,5L/s, para determinar as condições de rugosidade
da parede, foi realizado medindo-se a pressão em dois pontos A e
B, distanciados 1017m, com uma diferença de cotas topográficas
igual a 30m, cota de A mais baixa que B. A pressão em A foi igual
a 68,6.104N/m2 e, em B, 20.104N/m2. Determine a rugosidade
média absoluta da adutora.
É interessante observar o valor do expoente da vazão (velocidade) nas
expressões de J p/ os três tipos de escto: laminar, turbulento liso e rugoso:
Q2
1 V2
= 0,0827f 5
J=f
D
D 2g
(turbulento rugoso)
1,75
1,75
0,316 1 V 2
0,25 V
−4 Q
= 0,0161ν
= 7,7808 ⋅10
J = 0,25
1,25
D
D 4,75
Re D 2g
V
64 1 V 2
−6 Q
4,15752
10
=
⋅
=
3,265ν
J=
D4
D2
Re D 2g
(turbulento liso)
(laminar)
Fórmulas Empíricas p/ Escoamentos Turbulentos
Qn
J=K m
D
Em geral K só depende do tipo de material do tubo.
Fórmula de Hazen-Williams
10,65 Q1,85
J = 1,85 4,87
C
D
ou
Q = 0,2784 C D 2,63 J 0,54
J (m/m), Q (m3/s), D (m) e C (m0,367/s).
C - coef de rugosidade, depende da natureza e estado das paredes do tubo.
Equação indicada para: escto turbulento de transição; água a 20°C; D ≥ 0,10 m;
- aplicação em redes de distribuição de água, adutoras e sistemas de recalque.
Porto, R. faz uma comparação entre a fórmula de Hazen-Williams e a fórmula
Universal através de gráficos e conclui:
• para tubos PVC (ε = 0,005 mm correspondendo a C entre 150 e 155) com D
maiores, na faixa de Re entre 5.105 e 106, a equação prática pode ser usada.
Fora dessa faixa ela é inadequada.
• para valores C < 120 e elevados Re, caracterizando escto turbulento rugoso,
a equação prática é inadequada.
Valores do Coeficiente C
Material
Aço corrugado (chapa
ondulada)
Aço com juntas lock-bar,
em serviço
Aço rebitado, tubos novos
Aço soldado, tubos novos
Aço soldado com
revestimento especial
Concreto, bom
acabamento
C
60
Material
Aço com juntas lockbar, tubos novos
C
130
90
Aço galvanizado
125
110
130
Aço rebitado, em uso
Aço soldado, em uso
85
90
130
Cobre
130
130
Concreto, acabamento
comum
120
Valores do Coeficiente C
Material
C
Ferro fundido novo
130
Ferro fundido usado
90
Madeiras em aduelas
120
Material
C
Ferro fundido 15-20
100
anos de uso
Ferro fundido
130
revestido de cimento
Tubos extrudados PVC 150
Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao
Instalações prediais de água fria ou quente;
Topologia caracterizada por trechos curtos de tubulação;
Diâmetros menores que 4”;
Presença de grande número de conexões.
Aço galvanizado novo conduzindo água fria
1,88
Q
J = 0,002021 4,88
D
2.47
Onde Q(m3/s), D(m) e J(m/m)
PVC rígido conduzindo água fria
Q1,75
J = 0,0008695 4,75
D
2.48
Exemplo 2.8
O sistema de abastecimento de água de uma localidade é
constituído por um reservatório principal, com nível d’água
suposto constante na cota 812m, e por um reservatório de sobras
que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de
aumento de consumo, com nível d’água na cota 800m. No ponto
B, na cota 760m, inicia-se a rede de distribuição.
Para que valor particular da vazão de entrada na rede, QB, a linha
piezométrica no sistema é a mostrada na figura?
Determine a carga de pressão disponível em B. O material das
adutoras é aço soldado novo.
Utilize a fórmula de Hazen-Williams, desprezando as cargas
cinéticas nas duas tubulações.
Exemplo 2.8
812,0
L.P
A
6”
650m
800,0
760,0
B
QB
4”
420m
Figura – Exemplo 2.8
C
Condutos de Seção Não Circular
Raio hidráulico:
A D
Rh = =
P 4
Diâmetro hidráulico:
Dh = 4 R h
Aplicam-se as fórmulas já apresentadas, substituindo D por Dh
L V2
∆H = f
D h 2g
Q1,85
∆H = 10,65 L 1,85 4,87
C Dh
V Dh
Re =
ν
etc...
ε
Dh