Transcript презентация Power Point 2007/2010
Статистическое моделирование факторных планов Лекция 5
1.
2.
3.
Статистическое описание межгруппового факторного эксперимента Двухфакторный дисперсионный анализ Структурные модели двухфакторного дисперсионного анализа
Вопросы для обсуждения
ВОПРОС №1
Факторный экспериментальный план…
• • • •
Факторными
называют планы, в которых исследуется влияние
двух и более
независимых переменных на
одну
зависимую переменную.
Число экспериментальных условий, исследуемых в полных факторных планах, равно произведению всех уровней всех независимых переменных Факторные планы могут быть
межгрупповыми
,
внутригрупповыми
и
смешанными
.
В данной теме мы рассмотрим лишь внутригрупповой план.
Факторный план
• • • При межгрупповом плане каждому испытуемому предъявляется единственное сочетание уровней всех переменных Таким образом, в межгрупповых факторных планах число групп испытуемых, необходимых для эксперимента, равно произведению числа всех уровней всех независимых переменных (факторов).
Например, если используется двухфакторный план 2х2, то для проведения эксперимента потребуется 4 группы испытуемых, каждая из которых будет иметь дело лишь с одним сочетанием факторов.
Межгрупповой план
Уровни факторов B 1 B 2 Среднее А 1
AB 11 AB 12 AB 1.
А 2
AB 21 AB 22 AB 2 .
Среднее
AB .1
AB .2
AB ..
Пример: межгрупповой план 2х2
Уровни факторов B 1 … B j B q Среднее А 1
AB 11 … AB 1j … AB 1q AB 1.
…
… … … … … …
А i
AB 21 … AB 22 … AB iq AB j .
…
… … … … … …
А p
AB p1 … AB pj … AB pq Ab p.
Среднее
AB .1
… AB .j
… AB .q
AB ..
Пример: межгрупповой план pхq
• • Двухфакторный план позволяет исследовать
три
эффекта: два
основных
эффекта факторов и их
взаимодействие
.
Кроме того, в двухфакторном межгрупповом плане присутствует эффект
статистической (экспериментальной) ошибки
, который определяет внутригрупповые различия между испытуемыми.
Двухфакторный план
Факторы
A B
Эффект
𝐴𝐵 𝑖.
− 𝐴𝐵 ..
𝐴𝐵 .𝑗 − 𝐴𝐵 ..
Дисперсия
𝑖 𝐴𝐵 𝑖.
− 𝐴𝐵 ..
𝑝 − 1 2 2 𝑗 𝐴𝐵 .𝑗 − 𝐴𝐵 ..
𝑞 − 1
Основные эффекты
Взаимодействие Дисперсия
AB
𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐴𝐵 ..
𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 𝑝 − 1 𝑞 − 1 + 𝐴𝐵 ..
2 Где 𝐴 𝑖 𝐵 𝑗 - основной эффект фактора
A
на уровне
i
- основной эффект фактора
B
на уровне
j
Взаимодействие
Внутри группы Дисперсия внутри группы Дисперсия по всем группам 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑛 − 1 2 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑝𝑞 𝑛 − 1 𝑖𝑗 2
Экспериментальная ошибка
ВОПРОС №2
Двухфакторный дисперсионный анализ
Фактор A
Общая дисперсия
Между группами Внутри групп Фактор B Взаимодействие AB
Анализ дисперсии
• • 𝑀𝑆 𝑎 = 𝑛𝑞 𝑖 𝐴𝐵 𝑖.
−𝐴𝐵 ..
𝑝−1 2 𝑀𝑆 𝑏 = 𝑛𝑝 𝑖 𝐴𝐵 .𝑗 −𝐴𝐵 ..
𝑞−1 2
Средние квадраты: основные эффекты
• 𝑀𝑆 𝑎𝑏 = 𝑛 𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴𝐵 𝑖.
+𝐴𝐵 .𝑗 −𝐴𝐵 ..
𝑝−1 𝑞−1 2
Средние квадраты: взаимодействие
• 𝑀𝑆 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 −𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑝𝑞 𝑛−1 2
Средний квадрат: внутри групп
• • Построение
F-отношения
определяется выбранной структурной моделью и зависит от того, каким образом трактуются независимые переменные (факторы) – как случайные или как фиксированные.
Всего возможные
три
структурные модели в зависимости от
случайности
или
фиксированности
факторов A и B.
Построение F-отношения
B фиксирован B случаен A фиксирован A случаен
Фиксированная модель Смешанная модель Смешанная модель Случайная модель
Модели ANOVA для двух факторов
ВОПРОС №3
Структурные модели…
• • 𝑋 𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + α 𝑖 + β 𝑗 + αβ 𝑖𝑗 + ε 𝑖𝑗𝑘 Предполагается, что все случайные переменные распределены по закону нормального распределения, и математическое ожидание для статистической ошибки равно 0
Структурная модель
• • Будем обозначать
большой
буквой – число уровней фактора в
генеральной совокупности
, а
маленькой
–
выборке
.
в
Например, Q – число уровней фактора B в генеральной совокупности, т.е.
предельно возможное число
уровней этого фактора, q – число уровней фактора B,
исследуемое
в эксперименте.
Соглашение
E
(
MS a
) 2 ( 1
q Q
)
n
2
nq
2
E
(
MS b
)
E
(
MS ab
) 2 2 ( 1
p P
)
n
2
n
2
E
(
MS e
) 2
np
2
Ожидаемые эффекты
Фиксированные • • • В эксперименте исследуются все возможные уровни факторов A и B Т.е. P=p, а Q=q.
Тогда 1 − 𝑃 𝑞 𝑄 = 0 = 0 и 1 − Случайные • • • В эксперименте исследуется лишь очень незначительное число возможных значений факторов A и B Т.е. P>>p, а Q>>q Тогда 1 − 𝑃 𝑞 𝑄 = 1 = 1 и 1 −
Факторы
MS
𝑀𝑆 𝑎 𝑀𝑆 𝑏 𝑀𝑆 𝑎𝑏 𝑀𝑆 𝑒
Фиксированная модель
2
nq
2 2
np
2 2
n
2 2
Смешенная модель
2
n
2
nq
2 2
np
2 2
n
2 2
Случайная модель
2
n
2
nq
2 2
n
2
np
2 2
n
2 2 В данном случае
смешанная случайность
фактора A и модель подразумевает
фиксированность
фактора B
Отсюда…
Фиксированная модель • Все эффекты (средние квадраты) оцениваются относительно внутригрупповой дисперсии Смешанная модель • Эффект случайного фактора оценивается относительно его взаимодействия с фиксированным фактором • Эффект фиксированного фактора и взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии Случайная модель • Основные эффекты оцениваются относительно их взаимодействия • Взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии
F-отношение
• • • В случае многофакторных экспериментов построить правильное F-отношение в ряде случае оказывается возможным лишь для полностью
фиксированной модели.
Например, теоретически
невозможно
верное F-отношение для построить
являются случайными.
трехфакторной
модели дисперсионного анализа, если
все переменные
В последнем случае для оценки статистических эффектов может использоваться статистика
квази-F
.
Многофакторные модели
F
'
MS ac MS a
MS ab
MS abc
Число степеней свободы для данной статистики может быть определено по специальным формулам