Статистическое моделирование факторных планов Лекция 5

1.

2.

3.

Статистическое описание межгруппового факторного эксперимента Двухфакторный дисперсионный анализ Структурные модели двухфакторного дисперсионного анализа

Вопросы для обсуждения

ВОПРОС №1

Факторный экспериментальный план…

• • • •

Факторными

называют планы, в которых исследуется влияние

двух и более

независимых переменных на

одну

зависимую переменную.

Число экспериментальных условий, исследуемых в полных факторных планах, равно произведению всех уровней всех независимых переменных Факторные планы могут быть

межгрупповыми

,

внутригрупповыми

и

смешанными

.

В данной теме мы рассмотрим лишь внутригрупповой план.

Факторный план

• • • При межгрупповом плане каждому испытуемому предъявляется единственное сочетание уровней всех переменных Таким образом, в межгрупповых факторных планах число групп испытуемых, необходимых для эксперимента, равно произведению числа всех уровней всех независимых переменных (факторов).

Например, если используется двухфакторный план 2х2, то для проведения эксперимента потребуется 4 группы испытуемых, каждая из которых будет иметь дело лишь с одним сочетанием факторов.

Межгрупповой план

Уровни факторов B 1 B 2 Среднее А 1

AB 11 AB 12 AB 1.

А 2

AB 21 AB 22 AB 2 .

Среднее

AB .1

AB .2

AB ..

Пример: межгрупповой план 2х2

Уровни факторов B 1 … B j B q Среднее А 1

AB 11 … AB 1j … AB 1q AB 1.

…

… … … … … …

А i

AB 21 … AB 22 … AB iq AB j .

…

… … … … … …

А p

AB p1 … AB pj … AB pq Ab p.

Среднее

AB .1

… AB .j

… AB .q

AB ..

Пример: межгрупповой план pхq

• • Двухфакторный план позволяет исследовать

три

эффекта: два

основных

эффекта факторов и их

взаимодействие

.

Кроме того, в двухфакторном межгрупповом плане присутствует эффект

статистической (экспериментальной) ошибки

, который определяет внутригрупповые различия между испытуемыми.

Двухфакторный план

Факторы

A B

Эффект

𝐴𝐵 𝑖.

− 𝐴𝐵 ..

𝐴𝐵 .𝑗 − 𝐴𝐵 ..

Дисперсия

𝑖 𝐴𝐵 𝑖.

− 𝐴𝐵 ..

𝑝 − 1 2 2 𝑗 𝐴𝐵 .𝑗 − 𝐴𝐵 ..

𝑞 − 1

Основные эффекты

Взаимодействие Дисперсия

AB

𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐴𝐵 ..

𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 𝑝 − 1 𝑞 − 1 + 𝐴𝐵 ..

2 Где 𝐴 𝑖 𝐵 𝑗 - основной эффект фактора

A

на уровне

i

- основной эффект фактора

B

на уровне

j

Взаимодействие

Внутри группы Дисперсия внутри группы Дисперсия по всем группам 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑛 − 1 2 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 − 𝐴𝐵 𝑝𝑞 𝑛 − 1 𝑖𝑗 2

Экспериментальная ошибка

ВОПРОС №2

Двухфакторный дисперсионный анализ

Фактор A

Общая дисперсия

Между группами Внутри групп Фактор B Взаимодействие AB

Анализ дисперсии

• • 𝑀𝑆 𝑎 = 𝑛𝑞 𝑖 𝐴𝐵 𝑖.

−𝐴𝐵 ..

𝑝−1 2 𝑀𝑆 𝑏 = 𝑛𝑝 𝑖 𝐴𝐵 .𝑗 −𝐴𝐵 ..

𝑞−1 2

Средние квадраты: основные эффекты

• 𝑀𝑆 𝑎𝑏 = 𝑛 𝐴𝐵 𝑖𝑗 − 𝐴𝐵 𝑖.

+𝐴𝐵 .𝑗 −𝐴𝐵 ..

𝑝−1 𝑞−1 2

Средние квадраты: взаимодействие

• 𝑀𝑆 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖𝑗𝑘 −𝐴𝐵 𝑖𝑗 𝑝𝑞 𝑛−1 2

Средний квадрат: внутри групп

• • Построение

F-отношения

определяется выбранной структурной моделью и зависит от того, каким образом трактуются независимые переменные (факторы) – как случайные или как фиксированные.

Всего возможные

три

структурные модели в зависимости от

случайности

или

фиксированности

факторов A и B.

Построение F-отношения

B фиксирован B случаен A фиксирован A случаен

Фиксированная модель Смешанная модель Смешанная модель Случайная модель

Модели ANOVA для двух факторов

ВОПРОС №3

Структурные модели…

• • 𝑋 𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + α 𝑖 + β 𝑗 + αβ 𝑖𝑗 + ε 𝑖𝑗𝑘 Предполагается, что все случайные переменные распределены по закону нормального распределения, и математическое ожидание для статистической ошибки равно 0

Структурная модель

• • Будем обозначать

большой

буквой – число уровней фактора в

генеральной совокупности

, а

маленькой

–

выборке

.

в

Например, Q – число уровней фактора B в генеральной совокупности, т.е.

предельно возможное число

уровней этого фактора, q – число уровней фактора B,

исследуемое

в эксперименте.

Соглашение

E

(

MS a

)    2  ( 1 

q Q

)

n

 2  

nq

 2 

E

(

MS b

)

E

(

MS ab

)     2   2   ( 1 

p P

)

n

 2 

n

 2 

E

(

MS e

)    2 

np

 2 

Ожидаемые эффекты

Фиксированные • • • В эксперименте исследуются все возможные уровни факторов A и B Т.е. P=p, а Q=q.

Тогда 1 − 𝑃 𝑞 𝑄 = 0 = 0 и 1 − Случайные • • • В эксперименте исследуется лишь очень незначительное число возможных значений факторов A и B Т.е. P>>p, а Q>>q Тогда 1 − 𝑃 𝑞 𝑄 = 1 = 1 и 1 −

Факторы

MS

𝑀𝑆 𝑎 𝑀𝑆 𝑏 𝑀𝑆 𝑎𝑏 𝑀𝑆 𝑒

Фиксированная модель

  2 

nq

 2    2 

np

 2    2 

n

 2    2

Смешенная модель

  2 

n

 2  

nq

 2    2 

np

 2    2 

n

 2    2

Случайная модель

  2 

n

 2  

nq

 2    2 

n

 2  

np

 2    2 

n

 2    2 В данном случае

смешанная случайность

фактора A и модель подразумевает

фиксированность

фактора B

Отсюда…

Фиксированная модель • Все эффекты (средние квадраты) оцениваются относительно внутригрупповой дисперсии Смешанная модель • Эффект случайного фактора оценивается относительно его взаимодействия с фиксированным фактором • Эффект фиксированного фактора и взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии Случайная модель • Основные эффекты оцениваются относительно их взаимодействия • Взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии

F-отношение

• • • В случае многофакторных экспериментов построить правильное F-отношение в ряде случае оказывается возможным лишь для полностью

фиксированной модели.

Например, теоретически

невозможно

верное F-отношение для построить

являются случайными.

трехфакторной

модели дисперсионного анализа, если

все переменные

В последнем случае для оценки статистических эффектов может использоваться статистика

квази-F

.

Многофакторные модели

F

' 

MS ac MS a



MS ab



MS abc

Число степеней свободы для данной статистики может быть определено по специальным формулам

Квази-F

www.ebbinghaus.ru