Transcript Лекция 2
ЛЕКЦИЯ 2 ВАРИАЦИЯ И КОВАРИАЦИЯ Курс лекций проф. А. А. Алексеева по психометрике Sir Francis Galton 16 February 1822 – 17 January 1911 ПРИМЕР ОПИСАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕСТОВЫХ БАЛЛОВ СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ И ЕГО СВОЙСТВА Среднее 1. 𝑛 𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋) = 𝑖=1 2. 𝑛 𝑖=1 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 = 𝑋𝑖 − 𝑛𝑋 = 𝑖=1 𝑖=1 1 (𝑋𝑖 + 𝑐) = 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 3. 𝑖=1 4. 𝑋 = 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑖=1 1 𝑋𝑖 + 𝑛 𝑐𝑋𝑖 =𝑐 𝑛 𝑛 𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑛 = 𝑛 𝑛 𝑐 =𝑋 + 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 2 ≤ 𝑋𝑖 = 𝑐𝑋 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑐 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑖=1 1 𝑛𝑐 = 𝑋 + 𝑐 𝑛 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑖=1 𝑋 𝑁 2 𝑋𝑖 = 0 𝑖=1 ДИСПЕРСИЯ Дисперсия 𝑠𝑥2 = И ЕЕ СВОЙСТВА 𝑋−𝑋 𝑁 1. 2 𝑠𝑥+𝑐 = 𝑠𝑥2 2. 2 = 𝑐2 𝑠2 𝑠𝑐𝑥 𝑥 3. 2 2 Если 𝑠𝑎2 = 𝑠𝑏2 = 0 при 𝑎 ≠ 𝑏, то 𝑠𝑎+𝑏 ≠0 Стандартное отклонение 𝑠𝑥 = 𝑠𝑥2 ПРИМЕР РАСЧЕТА КОВАРИАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕР РАСЧЕТА КОВАРИАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ ПОНЯТИЕ КОВАРИАЦИИ Ковариация 𝑐𝑥𝑦 = 𝑐𝑥𝑥 = 𝑋−𝑋 𝑌−𝑌 𝑁 𝑋−𝑋 𝑋−𝑋 = 𝑁 𝑋−𝑋 𝑁 2 = 𝑠𝑥2 КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ (ПРОИЗВЕДЕНИЕ МОМЕНТОВ) ПИРСОНА с𝑥𝑦 Коэффициент корреляции 𝑟𝑥𝑦 = 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑋−𝑋 𝑌−𝑌 𝑁 𝑋−𝑋 2 𝑌−𝑌 𝑁 𝑁 𝑟𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 = 𝑁 𝑁 𝑋2 − 𝑋𝑌 − 𝑋 2 𝑋 𝑌 𝑁 𝑌2 − 2 𝑌 2 СРЕДНЕЕ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 𝑋𝑗 = 𝑋𝑖.𝑗 = 𝑝𝑗 𝑁 ДИСПЕРСИЯ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ 2 𝑋 − 𝑋 𝑖.𝑗 𝑗 2 𝑠𝑗 = = 𝑝𝑗 𝑞𝑗 , 𝑁 где 𝑞𝑗 = 1 − 𝑝𝑗 𝑠𝑗 = 𝑝𝑗 𝑞𝑗 ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 𝑠𝑥2 = 𝑠𝑥2 = 𝑋2 𝑁 + 𝑋−𝑋 𝑁 𝑝2 𝑁 − 2 = 2𝑝 𝑋 𝑁 ; 2 𝑝 𝑠𝑥2 = 𝑝 + − 2𝑝2 ; 𝑁 𝑋−𝑝 𝑁 𝑋2 𝑁 2 = 𝑋 𝑁 =𝑝 𝑝2 𝑁𝑝2 = = 𝑝2 𝑁 𝑁 𝑠𝑥2 = 𝑝 + 𝑝2 − 2𝑝2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑝𝑞 ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОЦЕНОК 2 𝑠𝑥+𝑦 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑖 − 𝑋 + 𝑌 𝑁 2 2 𝑠𝑥+𝑦 = 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑁 2 2 𝑠𝑥+𝑦 = 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑁 2 + 2 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌 + 𝑁 2 𝑠𝑥+𝑦 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 2𝑐𝑥𝑦 ; 𝑐𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 𝑠𝑥 𝑠𝑦 2 𝑠𝑥+𝑦 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 2𝑟𝑥𝑦 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑁 2 ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОЦЕНОК (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2 𝑠𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 𝑠𝑧2 + 2𝑟𝑥𝑦 𝑠𝑥 𝑠𝑦 + 2𝑟𝑥𝑧 𝑠𝑥 𝑠𝑧 + 2𝑟𝑦𝑧 𝑠𝑦 𝑠𝑧 𝑠𝑋2 = 𝑠12 + 𝑠22 + ⋯ + 𝑠𝑁2 + 2𝑟1.2 𝑠1 𝑠2 + ⋯ + 2𝑟𝑁,𝑁−1 𝑠𝑁 𝑠𝑁−1 𝑠𝑋2 = 𝑠𝑖2 + 2 𝑟𝑖𝑗 𝑠𝑖 𝑠𝑗 𝑖<𝑗 ДИСПЕРСИОННО-КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА ДЛЯ ПРИМЕРА С ДИХОТОМИЧЕСКИ ОЦЕНИВАЕМЫМИ ЗАДАНИЯМИ Задание Задание 1 1 2 3 0,25 2 3 4 5 0,10 0,00 0,00 -0,05 0,24 0,06 -0,08 0,02 0,24 0,08 0,08 0,16 0,06 4 0,21 5 Сумма дисперсий = 1,10 Удвоенная сумма ковариаций = 2(0,27) = 0,54 Дисперсия составных оценок = 1,10 + 0,54 = 1,64 Z-БАЛЛЫ Расчет z-баллов: z = Свойства z-баллов: 𝒛 = 𝟎; 𝒔𝒛 = 𝟏. Корреляция z-баллов: 𝒓𝒙𝒚 = Преобразование T 𝑿−𝑿 𝒔 z-баллов: = z 𝒔новое + 𝑿новое 𝒛𝒙 𝒛𝒚 𝑵 ТАБЛИЦА ЧАСТОТ ДЛЯ ОЦЕНОК 50 ИСПЫТУЕМЫХ ПО ТЕСТУ ИЗ 10 ЗАДАНИЙ X f(X) cf(X) p(X) cp(X) 10 1 50 0,02 1,00 9 2 49 0,04 0,98 8 3 47 0,06 0,94 7 5 44 0,10 0,88 6 6 39 0,12 0,78 5 12 33 0,24 0,66 4 11 21 0,22 0,42 3 5 10 0,10 0,20 2 3 5 0,06 0,10 1 2 2 0,04 0,04 0 0 0 0,00 0,00 ПРОЦЕНТИЛЬНЫЙ P где = 𝒄𝒇𝒍 + 𝟎,𝟓𝒇𝒊 𝑵 РАНГ × 100%, 𝒄𝒇𝒍 − кумулятивная частота для всех оценок, ниже интересующего нас балла; 𝒇𝒊 − частота оценок в интересующем нас интервале; N – число испытуемых в выборке.