Transcript logika-eloadas

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
•
•
aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
[email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ
TÁRGYALÁSA
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_mate
matikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
•
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Normálformák
Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
Ἀριστοτέλης
(i.e. 384-322)
szillogizmus)
Πλάτων
(i.e 427.)
ideatan, filozófus
Εὐκλείδης
(i.e 300.)
geometria axiomatizálás
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
 Szintaxis

• abc, term, formula, szintaktikai definíció,
• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió
• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése
• Logikai összettetség
• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens
• Változó átnevezés, Termhelyettesítés
Szemantika
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész)
változó kiértékelés(  )
 L-értékelés (term és formula)
Term és formula értéktáblája
Quine-féle táblázat
Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia
1. rendű logikai törvények
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Abc
Logikai rész:
• , , , , , , 
• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan
végtelen, adott fajtájúak
Elválasztó jelek („(„ „)”)
(ítélet változók)
•
•
Logikán kívüli rész:
• Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
• Elemfajták halmaza
Hogyan nézne ki az a azonos b -vel formalizálása
másodrendű logikai nyelvén?
Példa:
Term: f(x,f(c,y))
• f: függvényszimbólum : U x U U
• c: konstansszimbólum: c ϵ U
• x: indivíduum változó: U elemeit futja be
Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3))
• f: függvényszimbólum: U x U x U
U
• c: konstansszimbólum
• x, y1,y2,y3: indivíduum változók: U elemeit futják be
• H: predikátum szimbólum: U
{i,h}
• S: predikátum szimbólum: U x U
{i,h}
•
•
•
•
•
A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó
igazságértékét megadtuk.
Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
•
•
•
minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF
ha AJFF akkor AJFF
ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás
Összetett állítás
interpretáció
{i,h}
Boole-értékelés
{i,h}
Formula jelentése mindig igazságérték!
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés
+
 L-értékelés (
)
A leíró nyelv ábécéje (Vv)
A logikai jelkészlet:
• az indivíduumváltozók,
• az egyenlőségreláció neve (=),
• a logikai összekötőjelek és a
• kvantorok
• kiegészítő elemek az elválasztójelek.
A nem logikai jelkészlet a relációk, műveletek és a konstansok nevei.
Az  = <Tp, Pr,, Fn, Kn > struktúra egy logikai nyelv megadását jelenti, ahol
• Tp: típusok halmaza
• Pr: Predikátum szimbólumok halmaza
• Fn: függvényszimbólumok halmaza
• Kn: konstansok halmaza (kitüntetett U-beli elemek)
(1,2,3): a struktúra szignatúrája
Mindezeket interpretálni kell!
Itt nem csak a változókat kell interpretálni!
Az Interpretáció első rendben a következők megadását
jelenti:
1. Individuum változók milyen individuum halmazt
(univerzum) futnak be
2. Konstans szimbólumok: melyik individuumokat
jelölik
3. Függvényszimbólumok: milyen matematikai
műveleteket (függvényeket) jelentenek
4. Predikátumszimbólumok: milyen matematikai
relációkat (predikátumokat / logikai függvényeket)
jelentenek
Kell hozzá keresni egy megfelelő matematikai
struktúrát!
Matematikai struktúra
Az (U; R; M; C) négyes matematikai struktúra vagy
modell, ahol:
• U nem üres halmaz, az értelmezési tartomány, univerzum,
vagy individuumhalmaz,
• R az U-n értelmezett (alap) relációk (logikai
függvények/leképezések) halmaza: Un{i,h}
• M az U-n értelmezett (alap)műveletek (matematikai
függvények/leképezések) halmaza: UnU.
• C pedig U-beli elemek halmaza
Definíció: A struktúra szignatúrája
Az (U; R; M; C) matematikai struktúra szignatúrája a 1,2,3
hármassal jellemezhető, ahol:
• ha R R és R: Un{i,h}, akkor 1(R)=n
• ha FF és F: UnU, akkor 2(F)=n
• a 3 megadja C elemeinek számát.
Definíció: A struktúra típusa
A struktúra típusa- a szignatúra egy másik megadási módja.
A típus megadásának az a módja, hogy az univerzum megadása
után az alaprelációk , és az alapműveletek aritásának, majd pedig a
konstansoknak a felsorolása történik meg:
<U; r1, r2, …, rn; m1, m2, …, ms; c1, c2, …, cq>
Definíció: Interpretáció
Az L(Vv ) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > =  elsőrendű logikai
nyelvnek egy az L nyelvvel azonos szignatúrájú
S = <U, R, M, C>
matematikai struktúrával történő I interpretációja az:
I= <ISrt, IPr. IFn, ICnst> függvénynégyes, ahol
- ISrt: U Ha Srt egyelemű, akkor az interpretáció U
univerzuma egyfajtájú elemekből áll.
- IPr: P PI , ahol PI a struktúra R halmaza
- IFn: ffI , ahol fI a struktúra M halmaza
- ICnst: ccI , ahol cI a struktúra K halmaza
A formalizált egyfajtájú  nyelv abc-je és a
matematikai struktúra közötti kapcsolat.
Megjegyezzük, hogy ha egy elsőrendű logikai nyelvben az
egyenlőség (=) predikátumszimbólum is szerepel, szokás a
nyelvet egyenlőségjeles elsőrendű nyelvnek is nevezni.
A formalizált többfajtájú  nyelv abc-je és a
matematikai struktúra közötti kapcsolat.
struktúra
struktúra
ábécé
individuum
változók
L mat. log. nyelv
ábécé
individuum
változók az egyes
fajtákhoz rendelve
az U
univerzum
elemei és a
fajták
halmaza (kféle)
alapművelete Alapművelete függvény
k.arg. szám
k nevei.
szimbólumok (a
(0,1...) és
konstansok is)
fajták.
arg. szám (0,1...)
és fajták.
alaprelációk
alaprelációk
predikátum
arg.
nevei
szimbólumok
szám.(1,2...)
arg. szám.(1,2...)
és fajták
egyenlőség
=
az egyenlőség
reláció
predikátum
jelölés
minőség
xf1,yf1, ...,
...
xfk,yfk, ...,
logikai
f (ti1, ..., tin,
tf),
g(tj1, ..., tjn,
tg),
P (tk1, ...,
tkn),
Q(ts1, ...,
tsn,), ...
=
összefogl
aló jel
Tp
Fn
logikán
kívüli
Pr
logikai
A formalizált egyyfajtájú  nyelv szignaturája és a matematikai
struktúra szignaturája közötti kapcsolat.
Nyelv szignaturája:
<P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k , k1, k2, …, kq>
I
Struktúra szignaturája:
<U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k c1, c2, …, cq>

x,y, ... Individum változók
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés (  )
+
 L-értékelés (
)
Definíció: változó kiértékelés(  )
: VU, ahol V: indivíduum változók halmaza,
U: univerzum
|x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot
V
x
y
U

u2
u1
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés (  )
+
3.  L-értékelés (I +  -n alapuló)
I, 
A  L-értékelés
Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak
jelentését: {i,h}.
A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven
íródott
1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai
struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával
2. lépés. a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal
illetve műveletekkel azonosítjuk (I)
3. lépés. Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött
változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett
4. lépés. Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes
lehetséges  változókiértékelése mellett
Definíció:
Termek  = I, L-értékelése
1. xs individuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés)
c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem.
2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn| I, )
Példa:
logikai nyelv
I:
struktúra nyelve
L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2)
(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )
S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * )
(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )
 = I,
Term interpretációja:
t = (f1(x, f2(x,y)))  = f1 (x, f2 (x,y)) =
(x)
(y)
1
1
2
2
3
8
0
4
0
x+ x*y
+ ( x, * (x ,y)) = x+ x*y
Példa: U = {1, 2, 3, 4}
:x
y
z
2
3
4
* x variánsai:
x
y
z
1
3
4
3
3
4
4
3
4
Definíció:
Formulák  =I, L-értékelése
1. |P(t1, t2, ..., tn))|I, = i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol
PI jelöli a PI reláció igazhalmazát.
2. |A|I, =|A|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
3. |xA|I, = i, ha |A|I,* = i  minden * x variánsára
|xA|I, = i, ha |A|I,* = i  legalább egy * x variánsára
(A a formula törzse/mátrixa)
Példa: |xA|I, = i, ha |A|I,* = i  minden * x variánsára
Legyen U={a,b,c}
|xP(x,y)|I, = |xP(x,a)|I = P(a,a)  P(b,a)  P(c,a)
(y)=a
|xP(x,y)|I, = |xP(x,b)|I = P(a,b)  P(b,b)  P(c,b)
(y)=b
|xP(x,y)|I, = |xP(x,c)|I = P(a,c)  P(b,c)  P(c,c)
(y)=c
Példa: Kvantormentes formula interpretációja:  =I,
(P1(t, f1(y, f2(x,y)))) = P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )=
P1 (t, f1 (y, f2 (x,y))) =
< (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) =
< ( x+ x*y, y+ x*y) =
(x+ x*y)<( y+ x*y)
(x)
(y)
(x+ x*y)<( y+ x*y)
A formula minden alap
előfordulását generáljuk
1
1
h
és így minden állítás
előáll
2
3
i
Egy kvantormentes
formula kiértékelése
Egzisztenciális formula interpretálása:  =I,
(x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uU
ebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uN
Mivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i.
Nézzük meg az értéktábláját
(x)
0<(x+x)
0
h
1
i
Univerzális formula interpretálása:  =I,
(x P (a, f (b,x))) = i, ha (P (a, f (b,x))) (x/u)=i minden uU
1
1
1
1
Mivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.
Nézzük meg az értéktábláját
(x)
0<(1+x)
0
i
1
i
Kit ábrázol? Miről híres?
Marie Curie
1867-1934
Fizikus, rádió aktivitás
Isaac Newton
1642- 1727
fizikus, csillagász, tömegvonzás törvénye
Az AR nyelv az elemi aritmetika struktúrájának leírására alkalmas nyelv.
Az elemi aritmetikát leíró matematikai struktúra a következő:
Az elemi aritmetika struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük AR
nyelvnek.
Azaz az elemi aritmetika matematikai struktúra egy interpretációja az AR
nyelvnek.
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Az AR nyelv ábécéje:
Az AR nyelv szintaxisa:
Az AR nyelv szemantikája:
Példa:
xy =def z(y+z)=x
Egy halmaz részhalmazait leíró logikai nyelvet nevezzük RÉSZH nyelvnek.
Azaz a részhalmazt leíró matematikai struktúra egy interpretációja az
RÉSZH nyelvnek.
A RÉSZH nyelvnek abc-je és szintaxisa
A RÉSZH nyelv szemantikája
Az Ar nyelvéhez hasonlóan határozható meg.
Term
• Konstans: nincs
• Változók: x ϵ P(H)
Formula
• Atomi formula : P(H)
• Összetett állítások
P(H)
Néhány fontosabb reláció formalizálása:
X = y =def (x  y)  (y  x)
A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet
nevezzük GEOM nyelvnek.
Azaz háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúra egy
interpretációja az GEOM nyelvnek.
A háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúrája:
A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet
nevezzük GEOM nyelvnek.
A GEOM nyelv ábécéje:
A GEOM nyelv szintaxisa:
e
A GEOM nyelv szemantikája:
Hasonló
az AR nyelvnél elmondottakhoz,
figyelembe véve a fajtákat.
Hogyan nézne ki a teljes indukció formalizálása az
elemi aritmetika másodrendű logikai nyelvén?
Egy 1. rendű formula primformulái
• az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a
• kvantált formulák
Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai
összekötőjelek segítségével épül fel.
Példa:
P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:
P(X)  Q(X) -ben: P(X) prímkomponens is
xP(x)  Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula
Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula
prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk.
A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.
X
Y
Z
(ZXYZ)
i
i
i
i
i
i
h
i
i
h
i
i
Egy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba
• a szabad indivíduum változók
• a primkomponensek és a
• formula kerülne.
Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az
interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak
állításokká.
Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum
változókat is felsoroljuk a primformulák elé.
• Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek
• A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek
• A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési
értékek találhatók.
Példa
A formula
xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)
A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).
A szabad indivíduum változók: v, w.
Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3}
Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)},
Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások
Az értéktábla:
(V) (w) (xP(x)) (y(Q(w,y))
1
1
….
h
P(v)
y(Q(1,y))=i P(1)=i
(zQ(w,z)))
(xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)) 
zQ(1,z)=h
i
mivel a feltételrész hamis
….