Transcript Critério de Nyquist

Fundamentos de Controlo
Nyquist
Critério de Nyquist
Introdução
Definição; Teorema de Cauchy.
Método de Nyquist
Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama.
Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s 
Introdução

Y s 
G s 
K

O critério de Nyquist é um método gráfico que
parte do conhecimento da função resposta em
frequência da malha aberta para avaliar a
estabilidade do sistema em malha fechada
Função de transferência em cadeia fechada:
H s 
KG  s 
1  KG  s H  s 
função de transferência
em cadeia aberta
Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função
de transferência em cadeia fechada)
1  KG  s  H  s   0
situam-se no semiplano complexo esquerdo
O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de
variável complexa
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Teorema de Cauchy
Dada uma função F  s  , analítica sobre todo um contorno C e no interior deste
excepto para um número finito de pontos, quando s percorre, num dado
sentido, o contorno C , F  s  percorre um contorno imagem C  dando em torno
da origem do plano complexo um número de voltas N que é igual ao número
de zeros Z menos o número de polos P de F  s  no interior do contorno C :
N  Z P
Ex. 1

plano F  s 
Im

 

Ex. 2
Im

C
C
Re
plano s


Re
plano F  s 
Im


Im
C
C
Re
Re
plano s
Z  2
 N  Z  P 1
P  1

C  dá 1 volta, no mesmo sentido
que C , em torno da origem.
Isabel Lourtie
Z  1
 N  Z  P  1
P  2

C  dá 1 volta, em sentido contrário
a C , em torno da origem.
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s 
Método de Nyquist

Y s 
G s 
K

H s 
Aplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da
estabilidade de um sistema em anel fechado
Objectivo: determinar se F  s   1  KG  s  H  s  possui zeros no semiplano
complexo direito
Definição do contorno C - contorno de Nyquist
KG  s  H  s  não tem polos sobre o
KG  s  H  s  tem polos sobre o eixo
eixo imaginário
imaginário
Im
Im
C

- semicircunferência de raio  inclui todo o semiplano complexo
direito

Isabel Lourtie
C

Re
Re
Plano s
raio   0
Sentido positivo: sentido
dos ponteiros do relógio

Plano s
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s 
Método de Nyquist

Y s 
G s 
K

H s 
Objectivo: determinar se F  s   1  KG  s  H  s 
possui zeros no semiplano complexo direito
Im

Plano s
F  s   1  KG  s  H  s 
Im
Contorno
de Nyquist
Plano F(s)
C
0
1
Re
Re
- nº de voltas de C 
em torno da origem
N
N  Z P
- nº de zeros de F  s  - igual ao nº de polos
da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito
Z
Isabel Lourtie
- nº de polos de F  s  - igual
ao nº de polos de KG  s  H  s  no semiplano complexo direito
P
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Nº voltas de
Método de Nyquist
F  s   1  KG  s  H  s 
em torno da origem

Nº voltas de
KG  s  H  s 
em torno de  1
Im
Im
KG  s  H  s 

Contorno
de Nyquist
2
Re
1
N
- nº de voltas de
KG  s  H  s 
em torno de  1
N  Z P
- nº de zeros de 1  KG  s  H  s 
no semiplano complexo direito
Z
0
Re
Diagrama
de Nyquist
- nº de polos KG  s  H  s 
no semiplano complexo direito
P
Nº de polos da função de transferência em
cadeia fechada no semiplano complexo direito
O sistema em cadeia fechada é estável sse Z  0  N   P
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Im
O diagrama de Nyquist é uma representação polar de
KG  s  H  s   KG  s  H  s  e
j arg  KG  s  H  s  
s1
KG  s1  H  s1 
arg  KG  s1  H  s1 
para um dado valor de K
Contorno
de Nyquist
Re
Im
s  j
KG  j   H  j  

Re
- pode obter-se a partir do
diagrama de Bode
KG  j   H  j  
- função par
arg  KG  j   H  j  
- função ímpar
O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Contorno
de Nyquist
Im
s  re
j
;
   
   ,  ;
 2 2

KG  s  H  s   K
r 
 s  z1  s  z 2   s  z m 
 s  p1  s  p 2   s  p n 
Re

n m:
KG  s  H  s   0
A imagem da semi-circunferência de raio
infinito é a origem

Isabel Lourtie
nm:
KG  s  H  s   valor finito
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 1
Diagrama de Nyquist
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
K
K
R s 

dB
 20
dB
 40
0
dB
Y s 
1
K
s 1

KG  s  H  s  
 45
K
s 1
polo : s   1  P  0
 90
10
K 0
2
10
1
10
0
  rad/s
10
1
10
 K  0, N  0
2

  1
Im
Contorno de
Nyquist
Z  N P 0
  

1
K
Im 0
Re
K /2
  
0
Isabel Lourtie
Re
 0
O sistema em
anel fechado é
estável para K  0
 1
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
K
K
dB
dB
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
Exemplo 1 (cont.)
R s 
dB
1
K

 20
K 0
s 1

 40
180
Y s 
KG  s  H  s  
K
s 1
135
só a fase se altera
90
10
2
10
1
10
0
  rad/s
10
1
10
2

 1
Im
Contorno de
Nyquist
  
 0

1
Im
0
K
Re
K /2
Re
Isabel Lourtie
  
  1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
KG  s  H  s  
1  K  0
 1
K
polo : s   1  P  0
s 1
 1  K  0, N  0
  
 0
Im
0
1
K
K /2
K 0
O sistema em
anel fechado é
estável para
  
1  K  0
Z  N P 0
Re
K   1, N  1
  1
1 polo no SPCD
Z  N  P 1
K  1
Isabel Lourtie
  
 0
Im
O sistema em
anel fechado é
instável para
K  1
 1
0
0
K
1
K /2
Re
  
  1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
K 0
K 0
 1
  1
  
  
 0
K
Im 0
Im 0
K /2
  
0
Re
 0
K
K /2
 1
  
  1
Re
0
rotação de 180º em torno da origem do plano
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
K
K
dB
dB
K 0
Exemplo 2
R s 
dB

 20
Y s 
1
K

s 1
 40
 90
KG  s  H  s  
 135
 180
10
2
10
1
10
0
  rad/s
Im
10
1
10
1
  1
2
Contorno de
Nyquist
  
0
K
 0
 K /2
  
Re
polo : s  1  P  1
Isabel Lourtie
s 1

Im

K
Re
 1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 2 (cont.) K  0
Diagrama de Nyquist
KG  s  H  s  
  1
0  K 1
K
polo : s  1  P  1
s 1
O sistema em
anel fechado é
instável para
0  K  0, N  0
  
 0
Im
K
0
1
0  K 1
 K /2
  
Z  N  P 1
1 polo no SPCD
  1
Re
 1
K 1
0
  
K  1, N   1
Z  N P 0
O sistema em
anel fechado é
estável para
Im
0
K
 0
1
 K /2
K 1
Re
Isabel Lourtie
  
 1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 2 (cont.)
KG  s  H  s  
  1
K 0
K
0
 0
 1
 K /2
Re
  
 1
K 0
0
  
Im
polo : s  1  P  1
 K  0, N  0
s 1
rotação de 180º em
torno da origem
  
Im
K
Z  N  P 1
1 polo no SPCD
K
0
 K /2
  
0
Re
 0
  1
O sistema em anel fechado é instável  K  0
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Amplitude (dB)
K
K
dB
dB
Fase (º)
K
R s 
 40
dB

 20
 80
 90
K
s  s  1
KG  s H  s  
K

 0
10
1
10
Im
Contorno de
Nyquist

 
1

0
10
1
10

2

polos : s   1, 0  P  0
  
 K  0, N  0
  
Re
Z  N P 0
Re
s
s    0 : KG  H   
Isabel Lourtie
s  s  1
Im
  rad/s
 0
Y s 
1
 135
 180
2
10
 0
K 0
Exemplo 3
Diagrama de Nyquist
K
   1
 
O sistema em anel fechado
é estável para K  0
 0

DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
R s 
Y s 
1

K
s  s  1

Exemplo 4
 0
2
Im
 0
KG  s  H  s  
Amplitude (dB)
K
dB
s  s  1

1
2
 0
Im

P  0
 
K
Re
s

  
 40
?
K
Fase (º)
K
dB
dB
K 0
  
Re
 40
 120
 90
 180
 0
 270
2
10
10
1
10
0
  rad/s
Isabel Lourtie
10
1
10

2

DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
K 0
Exemplo 4 (cont)
Ponto de cruzamento com o eixo real negativo:
 0

Im
Fase   180 º
Amplitude  K
Sistema estável: 0 
dB
K
6
K
2
dB
1 0  K  2
2
Amplitude (dB)
K
K
Fase (º)
K
dB
dB
dB
  
 40
Re
  
 40
 120
 90
 180
 0
 270
2
10
10
1
10
0
  rad/s
Isabel Lourtie
10

1
10
2

KG  s  H  s  
K
s  s  1
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
KG  j  H  j   
Exemplo 5
KG  s H  s  
K

KG  j   H  j   
2
 j   1
K

2
K 0
K
s
2
 s  1
Im
 1
2
arg  KG  j   H  j       arctan  
P  0
Im
 0
 0

 0

  

  
Re
 
1
 0
Re

s e
Isabel Lourtie
j
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist

lim KG  e
 0
j
H  e   lim
K
j
 0
KG  s H  s  
 e
2
j 2
 e
j
1

 lim
 0
K

2
e
Exemplo 5 (cont.)
K
s
2
 
 0
 0

 0
 0
1
  
Re
P  0

j

 0  


4
 0
Z  P N  2
 

4

Isabel Lourtie
H  e    2
j
  2  
2
 
O sistema em cadeia fechada é instável para
qualquer valor de K>0
Re

lim arg KG  e
  
j

1
N  2

s e
 0
 j 2
Im
K 0
Im
 s  1
 0  

  2 

2
  2  0
  2  

2
  2   
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
KG  s H  s  
K
s  s  1 s  4 
Amplitude (dB)
 40
Im
K 1
0
 26 dB
 0

 40
 80
 120
?
0.05
Fase (º)
 90
  
 180

1
  
Re
 270
10
2
10
1
10
0
  rad/s

10
1
10
2
O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?
O sistema fica instável quando K 
1
0 . 05
Isabel Lourtie
 20
 0

O diagrama não
está à escala
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Ganho (MG)
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por
que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a
colocar o sistema em anel fechado na fronteira da
estabilidade.
Im
 0

Amplitude (dB)
 40
0
MG  26 dB
1
 40
MG
  
 80

 120
1
  
Fase (º)
 90
Re
 180
 270
10
2
Isabel Lourtie
10
1
10
0
  rad/s

10
1
10
2
 0

DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Fase (MF)
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
Im
 0

Amplitude (dB)
 40
0
 40
 80
 120
1
Re
 90
Fase (º)
MF  73 º
MF
 180
 270
10
2
Isabel Lourtie
10
1
10
0
  rad/s

10
1
10
2
 0

DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se
pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o
sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
MG 
 
Im
 0

1
KG  j   H  j  
 
1
MG
frequência para a qual a função de transferência
em anel aberto introduz uma rotação de fase de
180º
  
1
  
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
MF  180 º  arg  KG  j   H  j  
Isabel Lourtie
KG
 j   H  j   1
Re
MF
 0

DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
 O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da
estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta
estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0).
 Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo
em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo
critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0.
 Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o
eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita.
 Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de
cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo.
 Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade
relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Exemplo
R s 

Qual o valor de K para o qual a
margem de fase é de 45º?
K
Y s 
G s 

Amplitude (dB)
 40
0
 10 dB
 26 dB
MG
 40
1
2
 80
Qual a margem de ganho para
este valor de K?
 120
 90
Fase (º)
 K   10 dB  K  10
MG   10  (  26 )  16 dB  MG  10
16
20
45 º
 180
 270
10
Isabel Lourtie
2
10
1
10
0
  rad/s

10
1
10
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem
sem zeros e com polos complexos,
Y s 
R s 


2
n
s  2x n s  
2
Margem de Fase:
G  j  
n
2
2
j   j   2x n 

R s 

2
n
que valor deve ter a Margem de Fase para que a
sua resposta ao escalão apresente uma
determinada sobre-elevação?
n
0  x
   4x  n
2
2
2
1
Y s 
n
2

 1
s  s  2x n 
Função de
2
n
transferência em G  s  
s  s  2x n 
cadeia aberta:
 
arg G  j     90 º  arctan 
 2 x n




MF  180 º  arg G  j  1 
 1   n  2x  4x  1
2
Isabel Lourtie
4


 90 º  arctan 



4
4x  1 

2x


 2x 
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
x 
MF  º 
100


MF  90 º  arctan 



4
4x  1 

2x


 2x 
2
especificação no
domínio da frequência
especificação no
domínio do tempo
Isabel Lourtie
DEEC/IST