Critério de Nyquist
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Transcript Critério de Nyquist
Fundamentos de Controlo
Nyquist
Critério de Nyquist
Introdução
Definição; Teorema de Cauchy.
Método de Nyquist
Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama.
Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s
Introdução
Y s
G s
K
O critério de Nyquist é um método gráfico que
parte do conhecimento da função resposta em
frequência da malha aberta para avaliar a
estabilidade do sistema em malha fechada
Função de transferência em cadeia fechada:
H s
KG s
1 KG s H s
função de transferência
em cadeia aberta
Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função
de transferência em cadeia fechada)
1 KG s H s 0
situam-se no semiplano complexo esquerdo
O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de
variável complexa
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Teorema de Cauchy
Dada uma função F s , analítica sobre todo um contorno C e no interior deste
excepto para um número finito de pontos, quando s percorre, num dado
sentido, o contorno C , F s percorre um contorno imagem C dando em torno
da origem do plano complexo um número de voltas N que é igual ao número
de zeros Z menos o número de polos P de F s no interior do contorno C :
N Z P
Ex. 1
plano F s
Im
Ex. 2
Im
C
C
Re
plano s
Re
plano F s
Im
Im
C
C
Re
Re
plano s
Z 2
N Z P 1
P 1
C dá 1 volta, no mesmo sentido
que C , em torno da origem.
Isabel Lourtie
Z 1
N Z P 1
P 2
C dá 1 volta, em sentido contrário
a C , em torno da origem.
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s
Método de Nyquist
Y s
G s
K
H s
Aplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da
estabilidade de um sistema em anel fechado
Objectivo: determinar se F s 1 KG s H s possui zeros no semiplano
complexo direito
Definição do contorno C - contorno de Nyquist
KG s H s não tem polos sobre o
KG s H s tem polos sobre o eixo
eixo imaginário
imaginário
Im
Im
C
- semicircunferência de raio inclui todo o semiplano complexo
direito
Isabel Lourtie
C
Re
Re
Plano s
raio 0
Sentido positivo: sentido
dos ponteiros do relógio
Plano s
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
R s
Método de Nyquist
Y s
G s
K
H s
Objectivo: determinar se F s 1 KG s H s
possui zeros no semiplano complexo direito
Im
Plano s
F s 1 KG s H s
Im
Contorno
de Nyquist
Plano F(s)
C
0
1
Re
Re
- nº de voltas de C
em torno da origem
N
N Z P
- nº de zeros de F s - igual ao nº de polos
da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito
Z
Isabel Lourtie
- nº de polos de F s - igual
ao nº de polos de KG s H s no semiplano complexo direito
P
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Nº voltas de
Método de Nyquist
F s 1 KG s H s
em torno da origem
Nº voltas de
KG s H s
em torno de 1
Im
Im
KG s H s
Contorno
de Nyquist
2
Re
1
N
- nº de voltas de
KG s H s
em torno de 1
N Z P
- nº de zeros de 1 KG s H s
no semiplano complexo direito
Z
0
Re
Diagrama
de Nyquist
- nº de polos KG s H s
no semiplano complexo direito
P
Nº de polos da função de transferência em
cadeia fechada no semiplano complexo direito
O sistema em cadeia fechada é estável sse Z 0 N P
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Im
O diagrama de Nyquist é uma representação polar de
KG s H s KG s H s e
j arg KG s H s
s1
KG s1 H s1
arg KG s1 H s1
para um dado valor de K
Contorno
de Nyquist
Re
Im
s j
KG j H j
Re
- pode obter-se a partir do
diagrama de Bode
KG j H j
- função par
arg KG j H j
- função ímpar
O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Contorno
de Nyquist
Im
s re
j
;
, ;
2 2
KG s H s K
r
s z1 s z 2 s z m
s p1 s p 2 s p n
Re
n m:
KG s H s 0
A imagem da semi-circunferência de raio
infinito é a origem
Isabel Lourtie
nm:
KG s H s valor finito
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 1
Diagrama de Nyquist
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
K
K
R s
dB
20
dB
40
0
dB
Y s
1
K
s 1
KG s H s
45
K
s 1
polo : s 1 P 0
90
10
K 0
2
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
K 0, N 0
2
1
Im
Contorno de
Nyquist
Z N P 0
1
K
Im 0
Re
K /2
0
Isabel Lourtie
Re
0
O sistema em
anel fechado é
estável para K 0
1
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
K
K
dB
dB
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
Exemplo 1 (cont.)
R s
dB
1
K
20
K 0
s 1
40
180
Y s
KG s H s
K
s 1
135
só a fase se altera
90
10
2
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
2
1
Im
Contorno de
Nyquist
0
1
Im
0
K
Re
K /2
Re
Isabel Lourtie
1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
KG s H s
1 K 0
1
K
polo : s 1 P 0
s 1
1 K 0, N 0
0
Im
0
1
K
K /2
K 0
O sistema em
anel fechado é
estável para
1 K 0
Z N P 0
Re
K 1, N 1
1
1 polo no SPCD
Z N P 1
K 1
Isabel Lourtie
0
Im
O sistema em
anel fechado é
instável para
K 1
1
0
0
K
1
K /2
Re
1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
K 0
K 0
1
1
0
K
Im 0
Im 0
K /2
0
Re
0
K
K /2
1
1
Re
0
rotação de 180º em torno da origem do plano
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Fase (º)
Amplitude (dB)
K
K
K
dB
dB
K 0
Exemplo 2
R s
dB
20
Y s
1
K
s 1
40
90
KG s H s
135
180
10
2
10
1
10
0
rad/s
Im
10
1
10
1
1
2
Contorno de
Nyquist
0
K
0
K /2
Re
polo : s 1 P 1
Isabel Lourtie
s 1
Im
K
Re
1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 2 (cont.) K 0
Diagrama de Nyquist
KG s H s
1
0 K 1
K
polo : s 1 P 1
s 1
O sistema em
anel fechado é
instável para
0 K 0, N 0
0
Im
K
0
1
0 K 1
K /2
Z N P 1
1 polo no SPCD
1
Re
1
K 1
0
K 1, N 1
Z N P 0
O sistema em
anel fechado é
estável para
Im
0
K
0
1
K /2
K 1
Re
Isabel Lourtie
1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 2 (cont.)
KG s H s
1
K 0
K
0
0
1
K /2
Re
1
K 0
0
Im
polo : s 1 P 1
K 0, N 0
s 1
rotação de 180º em
torno da origem
Im
K
Z N P 1
1 polo no SPCD
K
0
K /2
0
Re
0
1
O sistema em anel fechado é instável K 0
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Amplitude (dB)
K
K
dB
dB
Fase (º)
K
R s
40
dB
20
80
90
K
s s 1
KG s H s
K
0
10
1
10
Im
Contorno de
Nyquist
1
0
10
1
10
2
polos : s 1, 0 P 0
K 0, N 0
Re
Z N P 0
Re
s
s 0 : KG H
Isabel Lourtie
s s 1
Im
rad/s
0
Y s
1
135
180
2
10
0
K 0
Exemplo 3
Diagrama de Nyquist
K
1
O sistema em anel fechado
é estável para K 0
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
R s
Y s
1
K
s s 1
Exemplo 4
0
2
Im
0
KG s H s
Amplitude (dB)
K
dB
s s 1
1
2
0
Im
P 0
K
Re
s
40
?
K
Fase (º)
K
dB
dB
K 0
Re
40
120
90
180
0
270
2
10
10
1
10
0
rad/s
Isabel Lourtie
10
1
10
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
K 0
Exemplo 4 (cont)
Ponto de cruzamento com o eixo real negativo:
0
Im
Fase 180 º
Amplitude K
Sistema estável: 0
dB
K
6
K
2
dB
1 0 K 2
2
Amplitude (dB)
K
K
Fase (º)
K
dB
dB
dB
40
Re
40
120
90
180
0
270
2
10
10
1
10
0
rad/s
Isabel Lourtie
10
1
10
2
KG s H s
K
s s 1
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
KG j H j
Exemplo 5
KG s H s
K
KG j H j
2
j 1
K
2
K 0
K
s
2
s 1
Im
1
2
arg KG j H j arctan
P 0
Im
0
0
0
Re
1
0
Re
s e
Isabel Lourtie
j
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
lim KG e
0
j
H e lim
K
j
0
KG s H s
e
2
j 2
e
j
1
lim
0
K
2
e
Exemplo 5 (cont.)
K
s
2
0
0
0
0
1
Re
P 0
j
0
4
0
Z P N 2
4
Isabel Lourtie
H e 2
j
2
2
O sistema em cadeia fechada é instável para
qualquer valor de K>0
Re
lim arg KG e
j
1
N 2
s e
0
j 2
Im
K 0
Im
s 1
0
2
2
2 0
2
2
2
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
KG s H s
K
s s 1 s 4
Amplitude (dB)
40
Im
K 1
0
26 dB
0
40
80
120
?
0.05
Fase (º)
90
180
1
Re
270
10
2
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
2
O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?
O sistema fica instável quando K
1
0 . 05
Isabel Lourtie
20
0
O diagrama não
está à escala
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Ganho (MG)
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por
que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a
colocar o sistema em anel fechado na fronteira da
estabilidade.
Im
0
Amplitude (dB)
40
0
MG 26 dB
1
40
MG
80
120
1
Fase (º)
90
Re
180
270
10
2
Isabel Lourtie
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
2
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Fase (MF)
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
Im
0
Amplitude (dB)
40
0
40
80
120
1
Re
90
Fase (º)
MF 73 º
MF
180
270
10
2
Isabel Lourtie
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
2
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se
pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o
sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
MG
Im
0
1
KG j H j
1
MG
frequência para a qual a função de transferência
em anel aberto introduz uma rotação de fase de
180º
1
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
MF 180 º arg KG j H j
Isabel Lourtie
KG
j H j 1
Re
MF
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da
estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta
estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0).
Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo
em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo
critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0.
Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o
eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita.
Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de
cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo.
Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade
relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Exemplo
R s
Qual o valor de K para o qual a
margem de fase é de 45º?
K
Y s
G s
Amplitude (dB)
40
0
10 dB
26 dB
MG
40
1
2
80
Qual a margem de ganho para
este valor de K?
120
90
Fase (º)
K 10 dB K 10
MG 10 ( 26 ) 16 dB MG 10
16
20
45 º
180
270
10
Isabel Lourtie
2
10
1
10
0
rad/s
10
1
10
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem
sem zeros e com polos complexos,
Y s
R s
2
n
s 2x n s
2
Margem de Fase:
G j
n
2
2
j j 2x n
R s
2
n
que valor deve ter a Margem de Fase para que a
sua resposta ao escalão apresente uma
determinada sobre-elevação?
n
0 x
4x n
2
2
2
1
Y s
n
2
1
s s 2x n
Função de
2
n
transferência em G s
s s 2x n
cadeia aberta:
arg G j 90 º arctan
2 x n
MF 180 º arg G j 1
1 n 2x 4x 1
2
Isabel Lourtie
4
90 º arctan
4
4x 1
2x
2x
2
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
x
MF º
100
MF 90 º arctan
4
4x 1
2x
2x
2
especificação no
domínio da frequência
especificação no
domínio do tempo
Isabel Lourtie
DEEC/IST