Transcript Modelização e Linearização

Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Modelização e Linearização
Representação matemática de sistemas
Modelos de entrada/saída
Modelo de estado
Representação matemática de SLITs
Linearidade, invariância no tempo e causalidade
Transformada de Laplace unilateral
Função de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo
Modelo físico
Sistemas mecânicos de translação
Sistemas mecânicos de rotação
Sistemas electromecânicos
Linearização
Álgebra de blocos
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Representação Matemática de Sistemas
Modelos de entrada/saída
x t 
 Equação diferencial
 linear ou não linear
sistema
y t 
 variante ou invariante no tempo
 Função de transferência
 só para sistemas lineares e invariantes no tempo
 Resposta impulsional
 só para sistemas lineares e invariantes no tempo
Modelo de estado
-- relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
 linear ou não linear
 variante ou invariante no tempo
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Modelização e Linearização
Representação Matemática de SLITs Causais
x t 
SLIT
y t 
Função de transferência
Sistema invariante no tempo
x t   y  t   x t     y t  

H  s   TL h t 
Sistema linear
x1 t   y1 t 
x 2 t   y 2 t 
 a1 x1 t   a 2 x 2 t   a1 y1 t   a 2 y 2 t 
Transformada de
Laplace unilateral
Sistema causal
x1 t   x 2 t ,  t  T  y 1 t   y 2 t ,  t  T
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Transformada de Laplace
Bilateral:
x t 


 st
X B  s    x t  e dt

(expressão algébrica
Unilateral: x t 

X
B
;
s    j
 s  & região de convergência
X U s  


0
x t  e
 st
dt ;
RX
)
s    j
 Caracteriza a evolução temporal do sinal x t  para t  0 .
 Quando x t  é causal, i.e., x t   0
t  0
, TL B  x t   TL U  x t 
A transformada de Laplace unilateral de um sinal é
completamente caracterizada pela sua expressão algébrica
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Transformada de Laplace Unilateral
x t   e
Exemplo 1:
2 t
u 1 t 
1
X B s  
1
s2
;
Re  s    2
0
t
Im  s 
X U s  

2
1
s2
Re  s 
x t  causal  X U  s   X B  s 
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Transformada de Laplace Unilateral
x t   e
Exemplo 2: x t   e  2 t  e 2 t u 1   t   e  2 t u 1 t 
2 t
1
X B s  
4
 s  2  s  2 
 2  Re  s   2
;
Im  s 

2
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0
X U  s   TL

2
Re  s 
B
e
2t
t
u 1
t  
1
s2
x t  não causal  X  s   X  s 
U
B
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P1: Linearidade
Se x1 t   X 1 s  e x 2 t   X 2 s  então ax 1 t   bx 2 t   aX 1  s   bX
2
s 
P2: Translação no Tempo
Se x t  causal, x t   X  s  e t 0  0 então x t  t 0   e
 st 0
X s 
P3: Translação no Domínio da Transformada
Se x t   X  s  então e
s0t
x t   X  s  s 0 
P4: Mudança de Escala
Se x t   X  s  e a  0 então x  at  
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s
X 
a
a
1
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P5: Convolução
Se x1 t  e x 2 t  causais, x1 t   X 1 s  e x 2 t   X 2 s 
então x1 t   x 2 t   X 1  s  X 2  s 
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo
Se x t   X  s  então
dx t 
dt
 sX  s   x 0 
Generalizando
d x t 
n
dt
n
 s X s   s
n
n 1
x 0   s
n2
dx t 
dt
  s
d
t0
n2
dt
x t 

n2
t0
d
n 1
dt
x t 
n 1
t0
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada
Se x t   X  s 
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então  tx t  
dX  s 
ds
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Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P8: Integração no Domínio do Tempo
Se x t   X  s  então

t

t
0
x   d  

1
s
x   d  
X s 
1
s
X s  
1

s
0

x  d 
P9: Teorema do Valor Inicial
Se x t  causal e se x t  não contiver impulsos ou singularidades de ordem

superior na origem t  0  , então x 0   lim sX  s 
s  
P10: Teorema do Valor Final
Se x t  causal e se x t  convergir para um valor constante quando t   ,
então lim x t   lim sX  s 
t  
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s 0
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SLIT Causal Contínuo de Ordem N
x t 
y t 
SLIT
causal
N
a
k
k 0
d
k
dt
k
y t  
M
b
k 0
k
d
k
dt
k
x t 
 sistema invariante no tempo e causal: N  M
 sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,
y 0  ,
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d
dt
y t 
, ,
t0
d
dt
N 1
N 1
y t 
0
t0
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Equação Diferencial
x t 
SLIT
causal
Função de Transferência
y t 
N
a
k 0
k
d
k
dt
k
y t  
M
b
k 0
k
d
k
dt
k
k
k
 N

M

d
d
TL U   a k k y t   TL U   b k k x t 
dt
 k 0

 k  0 dt

M
H s  
d

 a k TL U  dt k y t  
k 0


k
N
d

 b k TL U  dt k x t 
k 0


k
M
x t 
b

Y s 
X s 

s
k
ak s
k
k
k 0
N

k 0
condições
iniciais nulas
 
N
k 0
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  b s
a k s Y s  
k
M
k
k 0
k

X s 
 N
M
k 
k 


a
s
Y
s

b
s
 k 
  k  X s 
 k 0

 k 0

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H s  
Função de Transferência
Forma factorizada:
 s  z1  s  z 2   s  z M 
 s  p1  s  p 2   s  p N 
zeros:
z1 , z 2 ,  , z M
polos:
p1 , p 2 ,  , p N
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M
 b M 1 s
a M s  a N 1 s
N
M 1
   b1 s  b0
N 1
   a1 s  a 0
Forma das constantes de tempo:
H s   K
Ganho estático:
bM s
H s   K 0
1  sT 1 1  sT 2  1  sT M 
1  s  1 1  s  2  1  s  N 
zeros:  1 T1 ,  1 T 2 ,  ,  1 T M
polos:  1  1 ,  1  2 ,  ,  1  N
K 0  lim H  s   K
s 0
 z1   z 2    z M 
 p1  p 2   p N 
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Modelação Matemática
A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de
hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva
os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar.
Exemplos:
 sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro,
sistema de controlo de velocidade;
 sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo
invertido;
 sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.
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Modelo Físico
Lei de Newton:
F 
Sistemas mecânicos de translacção
d  mv 
dt
Para massa m constante:
F m
F
m
v
mv
dv t 
dt
– soma das forças aplicadas ao corpo
– massa do corpo
– velocidade linear
– momento linear
2
m
d x (t )
dt
2
 ma t 
x – deslocamento linear
a – aceleração linear
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
(elementos básicos)
 Massa
x
f t   m
f t 
m
 Mola
d x t 
2
dt
2
x
K
K
– constante elástica da mola
f s t  – força de restituição da mola
K
f s t    Kx t 
f s t 
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
(elementos básicos)
 Atrito
x

– coeficiente de atrito
f d t  – força de atrito

f d t    

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dx t 
dt
f d t 
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
F  ma
Exemplo: amortecedor de um carro
y
m
K
aceleração do chassis

d y t 
2
m
dt
x
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2
deslocamento linear
na mola e no atrito
  K  y t   x t   
força de
restituição
da mola
d  y t   x t 
dt
força de
atrito
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Sistema de Controlo de Velocidade
Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo
Modelo do sistema físico:
 Entrada: força f t  gerada pelo motor
 Saída: velocidade v t  do automóvel
f t 
v ref t 
controlador

motor
v t 

sensor de
velocidade
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Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
f t 
x
v t 
m
f t 

Lei de Newton:
F  ma

f t   f d t   f t    v t   m
dv t 
dt
força do atrito
Sistema de 1ª ordem: m
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dv t 
dt
  v t   f t 
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Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
m
dv t 
dt
f t 

v t 
G s  
função de transferência
V ref  s 
C s 

  v t   f t 
F s 
V s 
F  s  ci  0
1

1
ms  
V s 
ms  

sistema controlado
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Modelo Físico
Lei de Newton: T 
Sistemas mecânicos de rotação
d J 

dt
Para J
constante:
T
J
J
T  J
– soma dos binários aplicados
– momento de inércia
– velocidade angular
– momento angular
d  t 
dt
d  (t )
2
 J
dt
2
 – deslocamento angular
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
(elementos básicos)
T  t   t 
 Inércia
T t   J
d  t 
2
dt
2
J
 Mola rotacional
 t 
K
– constante da mola
T s t  – binário de restituição da mola
K
T s t 
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T s t    K  t 
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
(elementos básicos)
 Atrito rotacional

 t 

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T d t 
– coeficiente de atrito
T d t  – binário de atrito
T d t    
d  t 
dt
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
Exemplo: pêndulo
T  J 
T c t 
d  t 
2

L
J
dt
2
 Tc t   mgL sin  t 
m
mg cos 
mg
mg sin 
T c t  - binário aplicado
2
J  mL - momento de inércia em torno
do ponto de rotação
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binário que resulta da
força da gravidade
aceleração angular da massa
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centro de gravidade
do pêndulo
Carro com Pêndulo Invertido
x G  x  L sin 
y G  L cos 
y
Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x:
d x t 
M
dt
2
m
dt
d x t 
2
M
dt
2
d x G t 
2
2
m
d
2
F 
2
dx t 

dt
 x t   L sin  t 
dt
2

dx t 
L
 F
dt
F
M
 m
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d x t 
2
dt
2

dx t 
dt
d  t 
2
 Lm
dt
2
I,m
( xG , y G )
M
x
 d  t  
cos  t   Lm 
 sin  t   F
 dt 
2
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Carro com Pêndulo Invertido

mg sin 
Lei de Newton aplicada ao movimento de rotação
do pêndulo:
I   T a t   T g t 
binário devido à aceleração
linear do pêndulo
mg
binário resultante da
força da gravidade
T a t   T a x t   T a y t 
T g t   Lmg sin  t 

d x G t 

2
m
dt
d x G t 
2
Lm
dt
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2
d y G t 
2
 Lm
dt
sin  ( t )  T a y t 
d y G t 
2
m
dt
2
cos  ( t )  T a x t 
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Modelização e Linearização
I   T a t   T g t 
Carro com Pêndulo Invertido
T g t   Lmg sin  t 
T a t   T a x t   T a y t   Lm
 Lm
d x G t 
2
dt
d
2
2
2
cos  ( t )  Lm
dt
 x t   L sin  t 
dt
d x t 
2
dt
I  L m 
2
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d  t 
2
2
dt
2
sin  ( t )
d
2
L cos  t 
dt
2
sin  ( t )
d  t 
2
cos  ( t )  L m
2
dt
d x t 
2
 Lm
2
cos  ( t )  Lm
2
 Lm
d y G t 
dt
2
2
cos  ( t )  Lmg sin  t 
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Modelização e Linearização
Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
e a t 
campo
fixo
Ra
La


e a t 

v b t 
i a t 
T m t 
circuito de armadura:
 m t 
E a s 
Vb s 
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R a i a t   L a
di a t 
dt
 v b  t   e a t 

R a I a  s   L a sI a  s   E a  s   V b  s 
circuito de armadura

 m t 
1

Ra  La s
I a s 
I a s  
1
Ra  La s
E a  s   V b  s 
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Modelização e Linearização
Motor de corrente contínua
Sistemas Electromecânicos
e a t 
 m t 
campo
fixo
Ra
La


e a t 
v b t 
i a t 

Binário no veio do motor:
T m t 
 m t 
T m t   K m i a t 

Tm s   K m I a s 
circuito de armadura
E a s 

Vb s 
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1

Ra  La s
I a s 
Km
Tm  s 
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Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
e a t 
 m t 
campo
fixo
Ra
La
2


e a t 
i a t 

v b t 
J
T m t 
dt
 m t 

Vb s 
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d  m t 
dt
 T m t 
2

1

2

Js  m  s    s  m  s   T m  s 
 m s  
circuito de armadura
E a s 
d  m t 
Ra  La s
I a s 
Km
Tm  s 
1
1
s    Js 
Tm s 
 m s 
s    Js 
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Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
e a t 
 m t 
campo
fixo
Ra
La
Força contra-electromotriz:


e a t 
v b t 
i a t 

T m t 
v b t   K b
 m t 


Vb s 
1

dt
Vb s   K b s m s 
circuito de armadura
E a s 
d  m t 
Ra  La s
I a s 
Km
Tm  s 
1
 m s 
s    Js 
Kbs
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Modelização e Linearização
Linearização
Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio
Exemplo: pêndulo
d  t 
2
mL
T c t 
2
dt

2
 Tc t   mgL sin  t 
L
Para  pequenos: sin    
m
mg
d  t 
2
mL
2
dt
2
 Tc t   mgL  t 
ponto de equilíbrio:
  0 , Tc  0
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Modelização e Linearização
dx t 
u t 
Linearização
Pontos de equilíbrio:
dx t 
0
dt
sistema
não linear
 f  x t , u t 
 x 0 , u 0  : f  x 0 , u 0   0

dt
Série de Taylor em torno de  x 0 , u 0  :
x
u
f x0   x, u 0   u   f x0 , u 0  
0
f x, u 
x
Modelo linear em torno de  x 0 , u 0  :
Isabel Lourtie
x
 x 0 ,u 0 
d x
dt

f x, u 
u
 x 0 ,u 0
f x, u 
x
 u  termos de ordem
superior

x
 x 0 ,u 0 
f x, u 
u
u
 x 0 ,u 0 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Linearização
Exemplo: carro a alta velocidade
x
f t 
v t 
m
f t 
1,  2
Força de atrito: termo linear + termo quadrático
Sistema de não linear: m
Isabel Lourtie
dv t 
dt
f d t     1 v t    2 v t 
2
 f t    1 v t    2 v  t 
2
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Linearização
f t 
Exemplo: carro a alta velocidade
v t 
m
dv t 
 f t    1 v t    2 v  t 
2
dt
Pontos de equilíbrio:
v t   cte  v e
dv t 

0
dt

f e   1v e   2 v e
2
 v t   v e   v t 
Estudo do comportamento do sistema em torno de v e , f e  : 
 f t   f e   f t 
Expansão em série de Taylor do termo quadrático:
v t   v 
2
Isabel Lourtie
2
e
dv
2
dv
 v t   v e  2 v e  v t 
2
ve
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Linearização
f t 
v t 
Exemplo: carro a alta velocidade
v  t   v e   v t 
f t   f e   f t 
f e   1v e   2 v e
2
v  t   v e  2 v e  v t 
2
m
dv t 
dt
m
 f t    1 v t    2 v  t 
d  v t 
dt
m
2
d  v e   v t  
dt
m
d  v t 
dt
Isabel Lourtie
2

  f e   f t    1 v e   v t    2 v e  2 v e  v t 
2

 f e   f t    1 v e   1 v t    2 v e  2  2 v e  v t 
2
   1  2  2 v e  v t    f t 
 V s 
 F s 

1
ms    1  2  2 v e 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo
paralelo
G 3 s 
série
X s 



G1 s 

G 4 s 

G 2 s 
Y s 

H 1 s 
H 2 s 
Como simplificar?
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
1. Combinar blocos em cascata
2. Combinar blocos em paralelo
G 3 s 
X s 



s 4  s 
G 1 Gs 1  s G 4 G

G 2 s   G 3 s 
G 2 s 

Y s 

H 1 s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
realimentação
X s 



G 2 s   G 3 s 
G 1  s G 4  s 
Y s 

H 1 s 
H 2 s 
3. Eliminar blocos de realimentação
X s 
G 1  s G 4  s 


1  G 1  s G 4  s  H 1  s 
G 2 s   G 3 s 
Y s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
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Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s 
Exemplo (cont.)
G 1  s G 4  s 

G 2 s   G 3 s 
1  G 1  s G 4  s  H 1  s 

Y s 
H 2 s 
X s 
G 1  s G 4  s G 2  s   G 3  s 


Y s 
1  G 1  s G 4  s  H 1  s 
H 2 s 
forma canónica da realimentação
Isabel Lourtie
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Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s 
Y s 
Y s 
G s 
Y s 
X 1 s 
G s 

Isabel Lourtie

Y s 
G s 
Y s 
G s 
X s 
X s 
X s 
X 2 s 
X s 
Y s 
G s 
X s 
Outras transformações
X 1 s 
X 2 s 
Y s 
G s 
1 G s 
G s 
Y s 


G s 
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Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X 1 s 
G1 s 
X 2 s 



H 1 s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
Y s 

X 2 s 
G s 

G1 s 

G 2 s 

X 1 s 
Y s 

X s 
Outras transformações
G 2 s  G1 s 
Y s 
X s 
G s 


Y s 
H 1 s   H 2 s 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s  

G1 s 
Exemplo

G 2 s 
G 3 s 
Y s 

1 G 3 s 
X s  

G1 s 

G 2 s 
G 3 s 
Y s 

malha de realimentação
Isabel Lourtie
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Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
1 G 3 s 
X s  

G1 s 

G 3 s 
G 2 s 
Y s 

malha de realimentação
X s  
G1 s 

G 2  s G 3  s 
1  G 2  s G 3  s 
Y s 
1 G 3 s 
X s 
G 1  s G 2  s G 3  s 


Y s 
1  G 2  s G 3  s 
1 G 3 s 
Isabel Lourtie
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