Transcript Diagrama de Bode

Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Função resposta de frequência
Análise dos factores elementares
Ganho K
Factores derivativo e integral
Factores de 1ª ordem
Factores de 2ª ordem
Sistemas de fase mínima/não mínima
Relação entre resposta ao escalão e resposta de frequência
Identificação de sistemas a partir da resposta de frequência
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Função resposta de frequência
x t   A sin  t  u 1 t 
H (s)
H  j    TF h t 
yyest
((tt))  ?A H  j   sin  t     u 1 t 
est
    arg H  j  
t
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Representação gráfica de H  j    H  s  s  jω
Característica de amplitude
H  j   dB  20 log H  j  
escala linear
Característica de fase
arg H  j  
 0
Isabel Lourtie
escala logarítmica
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Diagrama de Bode
Representação gráfica de H  j    H  s  s  jω
Diagrama de Bode
Função de transferência
H s  
Resposta de frequência
n
 H s 
H  j  
i
i 1
 H  j 
i
i 1
H  j   dB  20 log
arg H  j   
n
n

H i  j  
i 1
n
 arg
i 1
H i  j 
n

i 1
H i  j   dB
soma das contribuições dos
factores elementares H i  j  
Factores elementares:
 Ganho K
 Factores integral (polo na origem) ou derivativo (zero na origem)
 Factores de 1ª ordem (polo ou zero real)
 Factores de 2ª ordem (par de polos ou par de zeros complexos conjugados)
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Ganho K
H s   K  H  j   K
Exemplo: H  s    100
H  j   K

H  j   dB  20 log K
0
arg H  j    

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;
;
K 0
K 0
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Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor derivativo
H s   s  H  j   j
Im  s 
H  j1  dB  0
Re  s 
H  j   j  

H  j   dB  20 log 
arg H  j   
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
2
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor integral
H s  
1
s
 H  j  
1
j
Im  s 
Re  s 
H  j1  dB  0
H  j  
1
j

1


H  j   dB   20 log 
arg H  j    
Isabel Lourtie

2
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Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s   
100
s
Factores elementares:
 Ganho: K   100
 Polo na origem:
1
s
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: polo real
Im  s 
H s  
1
T
s 1

T
1
1  sT
 H  j  
1
1  j T
Re  s 
1/T
Caracteristica de amplitude:
H  j  
1
1   T
2
Baixa frequência:   1
H  j   dB  0 dB
 H  j   dB   20 log
T
1   T
2
H  j   dB
ganho estático
unitário
frequência de corte
0

1
T
Alta frequência:
  1
H  j   dB   20 log
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T
 T 2
  20 log  T 
 20 dB/década
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Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: polo real
Im  s 
H s  
1
T
s 1

T
1
1  sT
 H  j  
1
1  j T
Re  s 
1/T
Caracteristica de fase:
arg H  j     arg 1  j  T    arctan  T

arg H  j  
1
1
0
Baixa frequência:   1

T
arg H  j    0 rad
  1
Alta frequência:
arg H  j    
Isabel Lourtie

2
rad

T
 
10 T
T
10
T

4
2

 1
 arg H  j    arctan 1    rad
T
4
 T 
1
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: polo real
Im  s 
H s  
Isabel Lourtie
1
T
s 1

T
1
1  sT
 H  j  
1
1  j T
1/T
Re  s 
DEEC/IST
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Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s  
10
 s  0 . 1 s  10 
Factores elementares:
 Ganho: K 0  10
 Polo real:
 Polo real:
Isabel Lourtie
0 .1
s  0 .1
10
s  10
DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: zero real
Im  s 
H s  
s 1
1
T  1  sT  H  j    1  j  T
Re  s 
1/T
T
Caracteristica de amplitude:
H  j  
1   T   H  j   dB  20 log
2
1   T 
2
 20 dB/década
H  j   dB
Baixa frequência:   1
H  j   dB  0 dB
T
ganho estático
unitário
Alta frequência:
  1
H  j   dB  20 log
Isabel Lourtie
0
1
T
 T 2
 20 log  T 
T

DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: zero real
Im  s 
H s  
s 1
1
T  1  sT  H  j    1  j  T
Re  s 
1/T
T
Caracteristica de fase:
arg H  j    arg 1  j  T   arctan  T

arg H  j  

Baixa frequência:   1
2

T
arg H  j    0 rad
4
0
10 T
  1
Alta frequência:
arg H  j   
Isabel Lourtie

2
rad
T
 
10
1
1
T
T


 1
 arg H  j   arctan 1  
rad
T
T
4


1
DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: zero real
Im  s 
H s  
s 1
1
T
Isabel Lourtie
T  1  sT  H  j    1  j  T
1/T
Re  s 
DEEC/IST
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Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s  
0 . 1 s  10 
 s  0 . 1
Factores elementares:
 Ganho: K 0  10
 Polo real:
0 .1
s  0 .1
 Zero real: s  10
10
Isabel Lourtie
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
H s  
0  
n
2
s  2  n s   n
2
2
 1

1
 s
s
1  2
 
n  n




Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
 H  j  
2
1
 
1  
 n
2


  j 2

n

Im  s 
Caracteristica de amplitude:
j n
1
H  j  
  
1  
   n




2
j n 1  
2
2
n
2


 

   2 



n 

 n
  n
Re  s 

H  j   dB   20 log
Isabel Lourtie
  
1  

   n




2
2


 

   2

 n 


2
 j n 1  
2
 j n
DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
Caracteristica de amplitude:
H  j   dB   20 log
  
1  

   n




2
2
2


 

   2




n 

ganho estático
unitário
Baixa frequência:    n
H  j   dB  0 dB
Alta frequência:
0
n

   n
H  j   dB   20 log
Isabel Lourtie
H  j   dB
 


 n
4

  
   40 log 


 

 n
 40 dB/década
DEEC/IST
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Análise dos factores elementares
H s  
0  
n
2
s  2  n s   n
2
2

 1
Caracteristica de fase:
arg H  j     arctan
2
1
 s
s
1  2
 
n  n
2
 H  j  
1
 
1  
 n
2


  j 2

n


n
 
1  
 n
Baixa frequência:    n




Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
arg H  j  




2
0
n
10
n
10  n


2
arg H  j    0 rad

Alta frequência:
   n
arg H  j      rad
Isabel Lourtie
   n  arg H  j  n   

rad
2
DEEC/IST
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Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
H s  
0  
n
2
s  2 n s   n
2
2
 1
frequência de ressonância:
 r   n 1  2
2

H  j r  
1
2 1  ξ
2
frequência de natural:
 n  H  j n  
Isabel Lourtie
1
2
DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
H s  
0  
s  2  n s  
2
2
n
n
2
 1
 s
s
 1  2
 
n  n
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
2

 
  H  j   1  



 n
2


  j 2

n

Im  s 
Caracteristica de amplitude:
j n
j n 1  
H  j  

 
1  


 n




2
2
2


 

   2

 n 


2
n
 n
  n
Re  s 

H  j   dB  20 log
Isabel Lourtie

 
1  


 n




2
2
2


 

   2




n 

 j n 1  
2
 j n
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
Caracteristica de amplitude:
H  j   dB  20 log
  
1  

   n




2
2
2


 

   2




n 

H  j   dB
Baixa frequência:    n
H  j   dB  0 dB
 40 dB/década
Alta frequência:
   n
H  j   dB  20 log
Isabel Lourtie
ganho estático
unitário
 


 n
4

  
  40 log 


 

 n
0
n

DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
H s  
0  
s  2  n s  
2
2
n
n
2
 1
Caracteristica de fase:
arg H  j    arctan
 s
s
 1  2
 
n  n
2
arg H  j    0 rad
2

 
  H  j   1  



 n
n




arg H  j  
2


2
0
n
Alta frequência:
   n
arg H  j     rad
Isabel Lourtie
2


  j 2

n


 
1  
 n
Baixa frequência:    n
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
10
n
10  n
   n  arg H  j  n  


rad
2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
H s  
0  
s  2 n s   n
2
2
n
2
 1
frequência de ressonância:
 r   n 1  2
2

H  j  r   2 1  
2
frequência de natural:
 n  H  j  n   2
Isabel Lourtie
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Diagrama de Bode
Exemplo
Análise dos factores elementares
H s  
10

4
s
2


 0 .2 s  1
s s  20 s  10
2
4
Factores elementares:
 Polo na origem:
1
s
 Polos complexos:
10
4
s  20 s  10
2
4
 Zeros complexos:
s  0 .2 s  1
2
1
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Sistemas de fase mínima/não mínima
Im  s 
 10
1
Re  s 
H 1 s  
 s  10 
 s  1
H 1  j  
Isabel Lourtie
H 2 s  
10  
2
1 
2
2
 s  10 
 s  1
Im  s 
1
10 Re  s 
 H 2  j 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Sistemas de fase mínima/não mínima
Im  s 
 10
1
Re  s 
H 1 s  
 s  10 
 s  1
 
arg H 1  j    arctan 
  arctan  
 10 
Isabel Lourtie
H 2 s  
 s  10 
 s  1
Im  s 
1
10 Re  s 
 
arg H 2  j      arctan 
  arctan  
 10 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0
dB
 0 dB
e
arg K 0   rad

y     1
1
 s  1 2
ganho de alta frequência
lim H  j   dB   dB

Isabel Lourtie

y 0   0
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0
dB
  dB

y    0
s
 s  1 2
ganho de alta frequência
lim H  j   dB   dB

Isabel Lourtie

y 0   0
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0
dB
 20 dB
e
arg K 0  0 rad

y    10
s  20
s2
ganho de alta frequência
lim H  j   dB  0 dB

lim arg H  j    0 rad

y 0   1

Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Largura de banda a 3 dB
A largura de banda (LB) a 3 dB é a dimensão da banda de frequências para a qual
o módulo da função resposta de frequência não cai mais de 3 dB em relação ao
ganho de baixa frequência
Isabel Lourtie
DEEC/IST
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Diagrama de Bode
Largura de banda vs. rapidez de resposta
H 1(s) 
1
s  1
 2  1
H 2 (s) 
2
s  2
Quanto maior for a largura de banda, maior é a rapidez de resposta do sistema
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes
Im  s 


 p
Isabel Lourtie
j n 1  
2
  n
Re  s 

 j n 1  
2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes
Im  s 

  n

Isabel Lourtie
j n 1  

 p
2
Re  s 
 j n 1  
2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes
Im  s 

 p2
Isabel Lourtie
z

 p1
Re  s 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo I
K0
dB
  14 dB
arg K 0  0 rad
 1 polo em
s  1
 1 zero em
s   40
 1 polo em
s   200
H s   0 .2
H s  
Isabel Lourtie
 K 0  0 .2
1
s  40
200
s 1
40
s  200
s  40
 s  1 s  200 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo II
K0
dB
 14 dB
 K 0  5
arg K 0   rad
 1 zero em
s  1
 1 polo em
s   20
H s    5
s 1
20
1
s  20
H  s    100
Isabel Lourtie
s 1
s  20
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo III
Baixa frequência:
declive
 20 dB / década
1 polo na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo III
Sistema original
Polo na origem
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo III
Sistema sem o polo na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo III
Sem o efeito do polo na origem
K0
dB
 20 dB
arg K 0  0 rad
 1 polo em
 K 0  10
s  2
 2 zeros em
s   40
Com o polo na origem
H  s   10
H s  
Isabel Lourtie
1
2
s s2
1
80
 s  40 2
40
2
 s  40 2
s s  2 
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Baixa frequência:
declive
 20 dB / década
1 zero na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema original
Zero na origem
Sistema original
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Sistema sem o zero na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sem o efeito do zero na origem
Baixa frequência:
K0
dB
 20 dB
arg K 0  0 rad
 K 0  10
Alta frequência:
declive  60 dB / década
para   10 rad/s
1 par de polos complexos
conjugados com  n  10 rad/s
 1 polo real em
Isabel Lourtie
s   10
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Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Polo real
Sistema sem o zero na origem
Isabel Lourtie
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Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
e o polo real
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
14 dB
Exemplo IV
Sem o efeito do zero na origem
e do polo real
Baixa frequência:
K0
dB
 20 dB
arg K 0  0 rad
 K 0  10
Alta frequência:
declive
 40 dB / década
1 par de polos complexos
conjugados com  n  10 rad/s
pico de ressonância:
14 dB  5 
Isabel Lourtie
1
2
   0 .1
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Identificação de sistemas
Exemplo IV
Resumo:
Ganho
 10
1 zero na origem
polo real em
s   10
1 par de polos
complexos
conjugados com
 n  10 rad/s,   0 . 1
H  s   10 s
H s  
Isabel Lourtie
10
10
2
s  10 s  2 s  10
2
2
4
10 s
 s  10 s 2  2 s  10 2 
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Identificação de sistemas
Exemplo V
K0
dB
 20 dB
arg K 0   rad
 K 0   10
 1 polo com   10 rad/s
 1 zero com   100 rad/s
Mas
polo no SPCE porque
fase diminui ( s   10 )
zero no SPCD porque
fase diminui ( s   100 )
H  s    10
H s  
Isabel Lourtie
10
s  100
s  10  100
s  100
s  10
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Identificação de sistemas
Exemplo VI
Baixa frequência:
K0
dB
 20 dB
arg K 0  0 rad
 K 0  10
Alta frequência:
declive  40 dB / década
para   10 rad/s
Fase diminui:
Mas
polo no SPCE porque
fase diminui ( s   10 )
zero no SPCD porque
fase diminui ( s   100 )
Isabel Lourtie
1 polo real duplo em s   10
Fase diminui 2  em vez de  :
par polo (SPCE)/zero (SPCD)
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Identificação de sistemas
Exemplo VI
Fase sem o efeito do polo real duplo em s   10
polo (SPCE): s   100
zero (SPCD): s   100
Resumo:
Ganho
H  s   10
 10
polo real duplo em
1 polo em s
1 zero em
Isabel Lourtie
  100
s   100
10
2
 s  10 
100
2
s  100
s  100  100
s   10
H  s    1000
s  100
 s  10 2  s  100 
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