Transcript Root-locus
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-Locus
Introdução
Equação característica; Condição de módulo e condição de argumento;
Regras para construção do root-locus para K 0
Regra 1: Número de ramos
Regra 2: Ponto de partida dos ramos
Regra 3: Ponto de chegada dos ramos
Regra 4: Troços sobre o eixo real
Regra 5: Simetria
Regra 6: Pontos de entrada/saída do eixo real
Regra 7: Ângulos de entrada e de saída do eixo real
Regra 8: Comportamento assimptótico
Regra 9: Soma dos polos da função de transferência em anel fechado
Regra 10: Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero
Regras para construção do root-locus para K 0
Mapa polos/zeros da malha fechada
Zeros da malha fechada
Cancelamento polo/zero no root-locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Projecto apoiado no root-locus
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
cadeia de acção
Introdução
Rs
G s
K
Y s
H s
O root-locus consiste na representação gráfica
dos polos de um sistema em cadeia fechada
como função de um parâmetro do sistema
(normalmente do ganho K )
Função de transferência em cadeia fechada:
KG s
1 KG s H s
cadeia de retroacção
função de transferência
em cadeia aberta
Polos da função de transferência em cadeia fechada: raízes de 1 KGs H s 0
equação característica
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Introdução
Exemplo 1
Rs
K
KG s H s
ss 1
Y s
1
s s 1
K
K 0
Equação característica:
K
0 ss 1 K 0 s 2 s K 0
ss 1
Ims
1 1
Polos do sistema em cadeia fechada: s
1 4K
2 2
s1
s2
0
0
1
14
1 2
1 2
1
1 2 j 3 2
1 2 j 3 2
Isabel Lourtie
j 3 2
<
K
K 1
K 0
1
>
K 0
<
K 1 4
Res
<
1
K 1
j 3 2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Introdução
Root-Locus
Equação característica: 1 KGs H s 0
Os pontos do plano complexo (plano s) que pertencem ao root-locus
são aqueles que verificam a condição
KGs H s 1
Condição de módulo: KGs H s 1
(permite calcular para cada ponto do root locus o correspondente valor de K )
Condição de argumento: argKGs H s 2k 1 ,
k 0,1, 2,
(permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root locus)
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Introdução
Condição de argumento:
argKGs H s 2k 1 , k 0,1, 2,
Exemplo 1
argKGs H s argK args args 1
KG s H s
K
ss 1
0
Ims
K 0
P
> 1 2
s
<
j 3 2
1
1 2
Res
j 3 2
Isabel Lourtie
args 1
args 1 2 1
<
1
2
<
s+1
args args 1 2k 1
Qualquer ponto do root locus satisfaz a
condição de argumento
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Root-Locus
Introdução
Condição de argumento:
argKGs H s 2k 1 , k 0,1, 2,
Exemplo 1
args args 1 2k 1
Ims
K 0
P
2
<
> 1 2
<
1
j 3 2
Isabel Lourtie
2 1
1 2
Res
<
1
j 3 2
Se o ponto P não pertencer ao root locus
a condição de argumento não é satisfeita
e, portanto, P não pode ser polo do
sistema em anel fechado
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Root-Locus
Introdução
Exemplo 1
KG s H s
KGs H s
K
ss 1
Ims
K 0
KGs H s 1
Condição de módulo:
j 3 2
K ss 1
K
1
ss 1
Qual o ganho K que conduz ao par de
polos complexos conjugados
1
s j2
2
para o sistema em anel fechado?
<
<
Res
<
1
> 1 2
j 3 2
K s s 1 s 1 j 2
2
1
1
j 2 j 2
2
2
Isabel Lourtie
1
17
4
4
4
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Introdução
Rs
Exemplo 2
K' 0
Y s
2
s s 1
K'
Rs
2K '
1
s s 1
Y s
Mesmo root-locus com K 2K '
Ims
Apenas o ganho
se alterou
j 3 2
<
> 1 2
<
Res
<
1
K 0
Exemplo 1
j 3 2
Rs
K
1
s s 1
Y s
17
K 17
1
Polos em s j 2 : K K '
2
4
2 8
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Caso geral
Root-Locus
m
N s
G s H s
Ds
s z
i
i 1
n
s p
; mn
i
polinómios mónicos
i 1
m
s
z
i
2k 1
argKG s H s arg K in1
s
p
i
i 1
Condição de argumento:
m
n
i 1
i 1
arg K args zi args pi 2k 1
contribuição
dos zeros
Isabel Lourtie
contribuição
dos polos
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Root-Locus
Caso geral
Root-Locus
Condição de argumento:
m
n
i 1
i 1
arg K args zi args pi 2k 1
K 0
m
n
args z args p 2k 1
i 1
i
i 1
i
nº ímpar de
K 0
m
n
args z args p 2k
i 1
i
i 1
i
nº par de
A condição de argumento permite determinar os pontos do
plano que pertencem ao root-locus
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Root-Locus
Root-Locus
Caso geral
m
s z
N s
G s H s
;
Ds
s p
i
i 1
n
mn
i
i 1
Condição de módulo:
KG s H s K
m
sz
n
i
i 1
n
s p
i
i 1
1
K
s p
i
i 1
m
sz
i
i 1
A condição de módulo permite calcular o valor de K
correspondente a cada localização particular das raízes sobre o
root-locus
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
N s
;
Ds
n polos, m zeros, n m
KG s H s K
Equação característica:
1 KGs H s 0
Ds KN s 0
polinómio de grau n
Regra 1 – Número de ramos
O número de ramos do root-locus é igual ao número de polos da função de
transferência em cadeia aberta.
Regra 2 – Ponto de partida dos ramos
Os ramos do root-locus começam nos polos da função de transferência em
cadeia aberta.
Equação característica para K 0 : Ds 0
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Equação característica do
sistema em cadeia aberta
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Condição de módulo:
KGs H s 1
Regra 3 – Ponto de chegada dos ramos
Os ramos do root-locus terminam (K ) nos zeros da função de
transferência em cadeia aberta ou no infinito.
Gs H s
1
K
lim Gs H s lim
K
K
1
0
K
A função de transferência em cadeia aberta só se anula quando s toma o valor dos
zeros ou de infinito ( n m )
Isabel Lourtie
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
m
Condição de argumento:
n
args z args p 2k 1
i
i 1
i
i 1
Regra 4 – Troços sobre o eixo real
Pertencem ao root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita
um número ímpar de polos mais zeros.
Ims
f1
f4
f3
s
f2
Res
Contribuição do par de polos ou zeros
complexos conjugados: f1 f2 2 0
Contribuição de polos ou zeros reais:
à direita do ponto s : f3
à esquerda do ponto s : f4 0
mz - nº zeros reais, n p- nº polos reais à direira de s
np
mz
args z args p 2k 1
i
i 1
mz np é ímpar
Isabel Lourtie
i
i 1
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 1
Exemplo 2
Ims
K
KG s H s
s 10
KG s H s K
10
s3
ss 5
Ims
5
Isabel Lourtie
Res
3
0
Res
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Regra 5 – Simetria
O root-locus é simétrico em relação ao eixo real.
Regra 6 – Pontos de entrada/saída do eixo real
Um ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho K
no domínio de s real. Um ponto de entrada no eixo real ocorre para um
mínimo relativo do ganho K no domínio de s real.
Ims
Exemplo 3
KG s H s
K
s 1s 5
5
1
Res
Tem de haver um ponto
de saída do eixo real
Isabel Lourtie
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 3 (cont.)
KG s H s
Equação característica
K
s 1s 5
1
K
0 s 1s 5 K 0
s 1s 5
s 3 4 K
Ims
No ponto de saída do eixo real
existe uma raiz real dupla.
O ponto de saída corresponde
ao maior valor de K para o
qual as raízes da equação
característica ainda são reais
Isabel Lourtie
5
1
Res
s1, 2 3; K 4
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Equação característica: 1 K
N s
Ds
0 K
Ds
N s
Os pontos de entrada/saída do eixo real satisfazem a equação:
dK
d Ds
0
ds
ds N s
condição necessária mas não suficiente
Ims
Exemplo 3 (cont.)
KG s H s
K
s 1s 5
K s 1s 5
5
dK
2s 6 0 s 3 (ponto de saída)
ds
1
Res
s1, 2 3; K 4
Ganho no ponto de saída: K s 1s 5
4
s 3
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 4
KG s H s K
Ims
s 3
ss 2
3
K
2
0
Res
s s 2
s3
Tem de haver um
ponto de entrada
no eixo real
Tem de haver um
ponto de saída do
eixo real
dK
2s 1s 3 ss 2
0 s 2 6s 6 0 s1 3 3 ; s2 3 3
2
ds
s 3
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 4 (cont.)
KG s H s K
s 3
ss 2
3
3 3
(ponto de entrada)
Isabel Lourtie
Ims
0
2
Res
3 3
(ponto de saída)
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Quando a solução da equação dK ds 0 correspondente a um ponto
de entrada ou de saída do eixo real tem multiplicidade 1 , o
número de ramos que se cruzam nesse ponto é igual a .
Exemplo 5
KG s H s
K
ss 2s 1 j s 1 j
Ims
Ponto de saída do eixo real:
K ss 2s 1 j s 1 j
dK
4 s 3 3s 2 3s 1 0
ds
s 1 (raiz tripla)
1 3
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2
1
j
0
Res
j
4 ramos
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Regra 7 – Ângulos de entrada e de saída do eixo real
O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) do
mesmo ponto do eixo real é
2
O ângulo entre dois ramos adjacentes um chegando e outro partindo do
mesmo ponto do eixo real é
( - número de ramos que se cruzam num ponto do eixo real)
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 5 (cont.)
KG s H s
K
ss 2s 1 j s 1 j
Ims
4
Isabel Lourtie
2
2
4
2
1
j
0
Res
j
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 6
KG s H s
K
ss 1s 2
Ims
1. Troços sobre eixo real
2. Ponto de saída do eixo real
K s s 1s 2
dK
3s 2 6 s 2 0
ds
3
3
s1 1
; s2 1
3
3
s1 1,0 - ponto de saída do eixo real
s2 1,0
Isabel Lourtie
2
2
0
1
Res
3. Ângulo de saída do eixo real (2 ramos)
2
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Regras para construção do Root-Locus para K 0
Regra 8 – Comportamento assimptótico
Quando K , n m ramos tendem para infinito.
As assimptotas (rectas para que tendem os ramos do root-locus que
vão para infinito) cruzam-se num ponto do eixo real (centro
assimptótico)
A
n
m
i 1
i 1
polosde Gs H s zerosde Gs H s
nm
O ângulo das assimptotas com o eixo real é dado por
fA
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1 2k
nm
; k 0,1, , n m 1
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s
K
ss 1s 2
n m 3
4. Assimptotas
fA
A
1 2k ; ; 5
3
3
3
polos zeros 0 1 2
1
3
3
Ims
assimptotas
2
Isabel Lourtie
1
0
Res
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s
K
ss 1s 2
Método 1: s j verifica a condição de argumento:
Ims
ponto de cruzamento
com o eixo imaginário
2
arg j arg j 1 arg j 2
1
0
2
arctan arctan
arctan arctan
Res
2
2
2
2 s j 2
Kcrit j 2 j 2 1 j 2 2 6
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s
K
ss 1s 2
ponto de cruzamento
com o eixo imaginário
Método 2: s j é solução da equação característica:
Ds KN s ss 1s 2 K s3 3s 2 2s K 0
Critério de Routh-Hurwitz
s3
s2
s1
s0
1
3
6K
3
K
2
K
linha de zeros
raízes imaginárias puras
6K
0
3
K 6
equação auxiliar: 3s 2 K 3s 2 6 0
sj 2
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Regra 9 – Soma dos polos da função de transferência em anel fechado
Se o excesso de polos-zeros da função de transferência da malha aberta for
maior ou igual a 2 (n m 2 ), então a soma dos polos da função de
transferência da malha fechada é independente de K e igual à soma dos polos
da função de transferência da malha aberta
Exemplo 6 (cont.) KG s H s
K
ss 1s 2
Ims
K 6
s j 2
Para K 6 onde está o outro polo da f.t.c.f ?
3
3
i 1
i 1
polosda f.t.c.a polosda f.t.c.f
?
2
1
0
Res
0 1 2 j 2 j 2 p3 p3 3
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
KG s H s K
Exemplo 7
s 1
ss 1s 6
Ims
6
Isabel Lourtie
2
1
1
Res
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Regra 10 – Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero
Determinados de modo a que a condição de argumento seja satisfeita.
m
Condição de argumento:
n
i
i 1
i 1
i
2k 1
Ângulo de partida do polo j :
m
j 2k 1 i
i 1
Contribuição
angular dos zeros
Ângulo de chegada ao zero j :
m
i 1,i j
i
1
1
n
Contribuição angular
dos restantes zeros
Isabel Lourtie
i
i 1,i j
Contribuição angular
dos restantes polos
j 2k 1
Ims
3 ?
n
ponto que se admite
pertencer ao root-locus
Res
2
i
i 1
Contribuição angular
dos polos
1 1 2 3
3 1 1 2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Ims
Exemplo 8 KG s H s K
s4
ss 4 j 4s 4 j 4
1. Troço sobre eixo real
2. Assimptotas
3
2k 1 ; 3
fA
nm
A
2
2
polos zeros
nm
0 4 j4 4 j4 4
2
2
1
4
2
2
j4
1
Res
j4
3. Ângulo 3 de saída do polo complexo
3 1 2 1
Isabel Lourtie
2
2
3
4
4
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K 0
Rs
Condição de módulo:
KGs H s 1
(não depende do sinal de K)
K
1
Gs H s
G s
K
Y s
H s
Condição de argumento:
argGs H s 2k , k 0,1, 2,
Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento: regras 4
(troços sobre o eixo real), 8 (comportamento assimptótico) e 11 (ângulo de partida de
um polo ou ângulo de chegada a um zero).
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
Regra
K 0
K 0
1
Nº ramos = Nº polos f.t.c.a. ( n )
2
Ponto de partida dos ramos = polos da f.t.c.a. (K 0 )
3
Ponto de chegada dos ramos = zeros da f.t.c.a. ou ( K )
4
5
Troços sobre o eixo real = pontos
do eixo real que tenham à sua
direita um número ímpar de polos
+ zeros.
Troços sobre o eixo real = pontos
do eixo real que tenham à sua
direita um número par de polos +
zeros.
Simetria = simétrico em relação ao eixo real
Pontos de entrada/saída do eixo real = pontos s R tais que
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6
dK ds s 0
7
Ângulo entre dois ramos adjacentes que se cruzam no eixo real =
( nº ramos que se cruzam)
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
K 0
Regra
K 0
Comportamento assimptótico =
fA
8
1 2k
fA
nm
A
9
10
2k
nm
polosf.t.c.a zerosf.t.c.a
nm
Soma dos polos da f.t.c.f = soma dos polos da f.t.c.a ( n m 2)
Ângulo de partida de um polo ou
ângulo de chegada a um zero =
Ângulo de partida de um polo ou
ângulo de chegada a um zero =
Polo:
Polo:
m
j 2k 1 i
i 1
Zero:
j 2k 1
Isabel Lourtie
Comportamento assimptótico =
m
n
i 1,i j
i 1,i j
j 2k i
i
i 1
Zero:
n
i
i 1
m
i
j 2k
m
n
i 1,i j
i
n
i 1,i j
i
i 1
i
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
Exemplo 9
1
KG s H s K
s s 2 2s 2
K 0
K 0
Ims
1
Isabel Lourtie
j
j
Res
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Zeros da malha fechada
Root-Locus
Rs
G s
K
Y s
Y s
KG s
Rs 1 KG s H s
H s
G s
N G s
D G s
H s
N H s
D H s
KN G s DH s
Y s
Rs DG s DH s KN G s N H s
Os zeros da função de transferência em cadeia fechada são os zeros da função
de transferência da cadeia de acção e os polos da função de transferência da
cadeia de retroacção.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Mapa polos/zeros da malha fechada
Rs
K
Y s
Rs
K
s5
s 1
I
Rs
1
ss 3
Exemplo
s5
ss 3
Y s
1
s 1
II
K
s5
ss 1s 3
Y s
mesma função de transferência em
cadeia aberta
KG s H s K
s5
ss 1s 3
III
Mesmo Root-Locus
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Ims
Mapa polos/zeros da malha fechada
Exemplo (cont.)
3.4; 0.3 j1.7
3 .4
1
I
Ims
j1.7
j1.7
Res
1
II
3 .4
5
III
Isabel Lourtie
3 .4
3
5
3 .4
5
polos do anel fechado para K 2 :
1
j1.7
Res
j1.7
Ims
j1.7
Res
j1.7
Ims
j1.7
Res
j1.7
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Cancelamento polo/zero no root-locus
Rs
1
s 1
K
Y s
1
s
1
ss 1
K
Y s
K
Rs s 1s K
Y s
root-locus com 2 ramos
1 dos polos não depende de K
s 1
KG s H s
1
Y s
s s 1
R s 1 K 1 s 1
s s 1
K
Rs
Exemplo
K
s 1 K 1
ss 1
s
root-locus com apenas 1 ramo
pode cancelar-se?
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Cancelamento polo/zero no root-locus
Exemplo (cont.)
Zero de H(s)
KG s H s
K
s 1
ss 1
pode cancelar-se?
1
Root-locus de KG s H s K
Res
ramo de dimensão nula,
i.e, polo da malha fechada
independente de K
Res
1
s
Y s
K
Rs s 1s K
Isabel Lourtie
1
Ims
Polo fixo
Ims
Polo de G(s)
NÃO
Rs
K
1
s
1
s 1
Y s
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Rs
1
ss 3
Y s
1 Gs H s 0
procurar escrevê-la na forma
1 W s 0
Equação característica:
s 1
s s 3
0
ss 3 1
s
0
ss 3
ss 3
1
Isabel Lourtie
Root-locus em função de :
1. Dada a equação característica do
sistema em cadeia fechada
s 1
1
Exemplo
ss 3 1
s
1
0
ss 3
ss 3 1
s
0
s s 3 1
W s
s
ss 3 1
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Exemplo
W s
Root-locus em função de :
s
ss 3 1
2. Traçar o root-locus para o sistema
cuja função de transferência em
anel aberto é
ganho do
sistema
W s
Polos do sistema em anel aberto:
3
5
2 2
0
0
Pontos de cruzamento com o eixo imaginário:
s 2 3 s 1 0
Ims
j
3
1
3
sj
1
5
1
Res
Pontos singulares:
s 2 3s 1
s
Isabel Lourtie
d s 2 1
2 0
ds
s
s 1
j
3
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 1: estabilidade absoluta
K s
1ª tentativa: controlador proporcional
K s K 0
G s
Ims
Y s
1
s2
1
- sistema instável
s2
2 ramos; 2 assímptotas
A
Res
fA
polosf.t.c.a zerosf.t.c.a
1 2k
nm
nm
0
2
Não resulta: polos sobre o eixo imaginário
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 1: estabilidade absoluta
Rs
K s
2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo
K s K s 1
G s
Ims
Y s
1
s2
1
- sistema instável
s2
2 ramos; 1 assímptota
1
Porção do diagrama
no eixo real
Isabel Lourtie
Res
A
fA
polosf.t.c.a zerosf.t.c.a
nm
1
1 2k
nm
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 1: estabilidade absoluta
Rs
2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo (cont.)
K s K s 1
K s
G s
Y s
1
s2
1
- sistema instável
2
s
pontos de entrada/saída do eixo real:
s2
dK
ss 2
K
0
2
s 1
ds
s 1
Ims
s 0 s 2
ângulo entre 2 ramos adjacentes que
se cruzam no eixo real: 2
2
1
Res
Sistema em malha fechada estável, mas…
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 1: estabilidade absoluta
K s
2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo (cont.)
G s
K s K s 1
Y s
1
s2
1
- sistema instável
2
s
Sistema em malha fechada estável, mas … não é possível realizar
diferenciadores puros.
Ims
Solução:
K s K s 1
Isabel Lourtie
p
;
s p
p 1
10
Res
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 2: estabilidade relativa
K s
Sobre-elevação: S 21 %
Tempo de estabelecimento (5%): t s 0.75 seg
G s
Ims
Zona desejada
para os polos
dominantes em
malha fechada
Isabel Lourtie
1
- sistema instável
2
s
Assumindo comportamento dominante de
2ª ordem:
27 º
4
Y s
1
s2
Res
S e
1 2
0.21 0.45
arcsin 0.45 27º
t s 5%
3
n
0.75 n 4
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Sobre-elevação: S 21 %
Tempo de estabelecimento (5%): t s 0.75 seg
1. Traduzir as especificações em polos de
2ª ordem considerados dominantes
S e
1
t s 5%
2
K s
G s
j8
0.21 0.45
3
n
0.75 n 4
4
Y s
1
- sistema instável
2
s
Ims
1
s2
Polos dominantes
pretendidos para
sistema em anel
fechado
Res
j8
s1, 2 n jn 1 2 4 j8
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s K
K s
s z ; p z
G s
s p
1
- sistema instável
2
s
Ims
2. Dimensionamento preliminar apoiado no
root-locus – posicionamento de polos
f.t.c.a:
s z
K s G s K 2
s s p
p
1
4
z 4
condição de argumento:
1 2 3 4 2k 1180º
8
4
2 3 180º arctan 117º
Isabel Lourtie
Y s
1
s2
1 4 180º234º 54º
j8
2 3
Res
j8
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s K
sz
; p z
s p
G s
1 4 54º
4 90º 54º 36º
8
p 4
15
tan36º
K s K
Isabel Lourtie
s4
s 15
Ims
z 4 1 90º
p
4
K s
2. Dimensionamento preliminar apoiado no
root-locus – posicionamento de polos (cont.)
tentativa:
4
j8
1
1
s2
Y s
1
- sistema instável
s2
condição de módulo:
K s G s s 4 j 8 1
117 º
Res
j8
K 136
K s 136
s4
s 15
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s 136
K s
1
s2
s4
s 15
G s
Y s
1
- sistema instável
s2
3. Simulação
Y s
s4
136 3
Rs
s 15s 2 136s 544
Sobre-elevação muito
superior à desejada!
1 .5
yt
1
S 45 %
0 .5
0
0
0 .5
t
Isabel Lourtie
1
1 .5
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
K s
K s Gs 136
s4
s 2 s 15
Ims
15
Isabel Lourtie
7
4
j8
G s
1
s2
Y s
1
- sistema instável
s2
Polos em anel fechado:
Res
j8
s1, 2 4 j8; s3 7
Polos projectados não
são dominantes
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Ims
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 3: resposta dinâmica especificada
Controlador: K s K
s z
s p
15
4
Res
Para diminuir a sobre-elevação S:
“fechar” mais os ramos principais do root-locus
deslocar o polo do controlador para a esquerda e/ou o zero do controlador para a direita
variar consistentemente o ganho tendo em conta o correspondente deslocamento dos
polos da malha fechada
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
tentativas:
z 3
Objectivo 3: resposta dinâmica especificada
Controlador: K s K
p 25
K 250
Ims
s z
s p
10
25
5
3
j7
j7
Res
1 .5
Polos em anel fechado:
yt
s1,2 10 j7; s3 5
1
S 25%
0 .5
t s 5% 0.75 s
0
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
Y s
s3
250 3
Rs
s 25s 2 250s 750
t
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus - síntese
Dados:
Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s) )
Especificações de regime permanente
tipo
Especificações dinâmicas
polos desejados da malha fechada (polos de 2ª ordem supostos
dominantes)
Projecto:
Estruturado controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)
Dimensionamento do Controlador C(s)
Apoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo
Via algébrica
Simulação e comparação com o desempenho desejado
Ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)
simulação
Isabel Lourtie
DEEC/IST