Transcript INTEGRAL - WordPress.com

INTEGRAL
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep integral dalam memecahkan
masalah sederhana .
Kompetensi Dasar:
Memahami konsep integral tak tentu dan integral
tentu.
Indikator :
1. Menentukan integral tak tentu dari fungsi
aljabar sederhana.
2. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah
di bidang datar.
3. Menentukan integral tentu dengan
menggunakan sifat- sifat (aturan) integral.
INTEGRAL
A. Pengertian Integral
Di dalam kalkulus, integral dapat diartikan
sebagai operasi invers dari turunan, disebut
juga antiturunan atau antidiferensial.
Berdasarkan pengertian bahwa integral
adalah invers dari operasi pendifernsialan,
maka dapat disimpulkan sebagai berikut:
Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
dideferensialkan pada interval I, sedemikian
sehingga dF/dx = F’ (x) = f(x)
maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + C,
dengan C konstanta sembarang.
B. Integral Tak Tentu
1. Pengertian Integral Tak Tentu
Antipendiferensialan
adalah
operasi
untuk
mendapatkan himpunan semua antiturunan dari
suatu fungsi yang diberikan. Lambang
menyatakan
operasi antipendiferensialan yang pertama kali
diperkenalkan oleh Leibniz.
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x yang
dituliskan sebagai
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
disebut integral tak tentu
dan secara umum dituliskan sebagai
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Dengan F(x) merupakan fungsi integral
umum yang bersifat F’(x) = f(x), f(x) disebut
integran, dan C konstanta real sembarang,
disebut konstanta integrasi.
2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Jika
F(x)
merupakan
fungsi
yang
terdiferensialkan pada interval I, sedemikian
sehingga
𝑑𝐹(𝑥) ′
=𝐹 𝑥
𝑑𝑥
, maka
𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶.
Dapat disimpulkan bahwa
𝑎 𝑛+1
𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 +𝐶
𝑛+1
𝑛
Dengan a dan C konstanta, n bilangan rasional, dan
n ≠ - 1.
Berdasarkan
rumus-rumus
uraian
dasar
di
atas,
integral
untuk
fungsi aljabar adalah sebagai berikut:
Misalnya f(x) dan g(x) mempunyai
antiturunan (integral tak tentu), a dan
C adalah konstanta, maka:
1.
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶
2.
1
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1 + 𝐶, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝑛 ≠ −1
𝑛+1
𝑛
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
+ 𝐶, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝑛 ≠ −1
𝑛+1
𝑛
3.
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
LATIHAN
Tentukan hasil integral tak tentu
berikut!
1. 𝑥3 𝑑𝑥
2. 2𝑥 + 5 𝑑𝑥
3. 𝑥2 −2𝑥 𝑑𝑥
C. Integral Tentu
1. Pengertian Integral Tentu sebagai Luas Daerah
di Bidang Datar
Jika f suatu fungsi yang didefinisikan pada
selang tutup [a, b], maka integral tentu
(integral Riemann) dari f dari a sampai b
dinyatakan oleh
𝑏
𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑎
𝑖=1
𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖
𝑖=1
Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a
disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan
𝒃
𝒂
disebut tanda integral tentu.
2. Menentukan Nilai Integral Tentu
Menghitung integral pada subbab sebelumnya
menggunakan
definisi
integral
sebagai
limit
jumlah Riemann dan prosedur ini kadangkala
panjang dan sukar. Teorema Dasar Integral
Kalkulus berikut menyediakan metode yang jauh
lebih sederhana untuk penghitungan integral
Jika f kontinu pada [a, b], maka
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑏𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni
suatu fungsi
3. Sifat-Sifat Integral Tentu
Jika fungsi-fungsi f dan g terintegralkan
pada [a, b] dan k konstanta maka integral tentu
memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut:
a.
𝑎
𝑓
𝑎
b.
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑎
𝑓
𝑏
𝑥 𝑑𝑥
c.
𝑏
𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎)
𝑎
d.
𝑏
𝑏
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
e.
𝑏
(𝑓 𝑥
𝑎
f.
𝑐
𝑓
𝑎
g.
𝑏
𝑏
𝑓
𝑥
𝑑𝑥
≥
𝑔
𝑥
𝑑𝑥;𝑓(𝑥)
≥
𝑔(𝑥)
𝑎
𝑎
h.
±𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑓
𝑎
𝑏
𝑓
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑓
𝑏
𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑥 𝑑𝑥;𝑎 < 𝑏 < 𝑐
LATIHAN
1. Tentukan nilai integral tentu berikut!
a.
4
1
b.
2
(3𝑥 2 − 4𝑥 − 1)𝑑𝑥
−1
2𝑥 − 1 𝑑𝑥
2. Tentukan nilai p yang memenuhi setiap
persamaan berikut ini.
𝒑
𝟎
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝟒