KALKULUS 2 BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si

PERSAMAAN DIFERENSIAL  DEFINISI : Persamaaan yang mengandung turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui yang dinamakan y(x) dan yang ditentukan dari persmaan tersebut

CONTOH-CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL : 1 .

dy dx



yx



e x

2 2 .

d dx

2

y

3 .

 2 

x z

2  

dy

4

dx

 2

z



y

2   0 4

y

 sin

x

PEMBAGIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL :     1.PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) Persamaan Diferensial yang hanya mengandung 1 variabel bebas 2. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) Jika variabel bebas lebih dari satu atau dengan kata lain melibatkan turunan parsial

ORDE PERSAMAAN DIFERENSIAL  Suatu PD dikatakan mempunyai orde n jika turunan ke-n dari y terhadap x merupakan turunan tertinggi.

KONSEP PENYELESAIAN  Suatu fungsi y = g(x) dikatakan merupakan penyelesaian dari suatu PD apabila g(x) didefinisikan dan dapat dideferensialkan sehingga persamaan tsb menjadi suatu identitas (kesamaan) pada PD tsb

MENENTUKAN PD      Jika diketahui penyelesaian maka langkah langkahnya : 1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang 2. Turunkan sebanyak konstanta sebarangnya 3. Jika konstanta sebarang sudah lenyap maka itu merupakan PD 4. Jika konstanta sebarangnya masih ada maka lenyapkan konstanta sebarangnya sesuai dgn aturan yg ada (eliminir)

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK     Suatu PD orde pertama yg berbentuk M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Dikatakan eksak, jika ruas kiri persamaan tsb merupakan diferensial total atau diferensial eksak :

du

  

u x dx

 

u



y dy

 Syarat PD eksak : 

M



y

 

N



x

 Penyelesaian PD eksak :

u

(

x

,

y

)  

M

(

x

,

y

)

dx

 

N

  

y



Mdx



dy



C

FAKTOR-FAKTOR INTEGRASI     Jika PD M(x, y)dx + N(x,y)dy = 0 dimana 

M



y

 

N



x

Maka PD tsb bukan PD eksak PD tsb dapat menjadi PD eksak dengan menggandakan PD tsb dengan suatu faktor atau fungsi tertentu. Faktor atau fungsi tsb dinamakan FAKTOR INTEGRASI

Jika faktor integrasi F(x,y) yang hanya tergantung pada suatu peubah saja 1 .

F



e

 

M



y N

 

N



x dx

2 .

F



e

 

N



x

 

M



y M dy

  Untuk no.1 merupakan faktor integrasi hanya untuk fungsi x saja Untuk no.2 merupakan faktor integrasi hanya untuk fungsi y saja

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU  Suatu PD orde satu (pertama) dikatakan linier apabila persamaan tsb dapat dituliskan dalam bentuk : 

dy



P

(

x

)

y



Q

(

x

)

dx

Atau y’ – Py = 0 dimana P dan Q merupakan fungsi x saja

PENYELESAIAN PD LINIER ORDE SATU     Ada 3 metode : 1. Metode Lagrange 2. Metode Bernoulli 3. Metode Faktor Integrasi

1. PENYELESAIAN DGN METODE LAGRANGE

y



e

 

P

(

x

)

dx

 

Q

(

x

)

e



P

(

x

)

dx dx



C



2. PENYELESAIAN DGN METODE BERNOULLI

y



uv



e

 

P

(

x

)

dx

 

Q

(

x

)

e P

(

x

)

dx dx



C



3. PENYELESAIAN DENGAN FAKTOR INTEGRAL  FAKTOR INTEGRAL :

F



e



P

(

x

)

dx

 Penyelesaiannya :

y



e

 

P

(

x

)

dx

 

Q

(

x

)

e



P

(

x

)

dx dx



C

