Transcript Прилагане на законите на Кирхоф за изчисляване на сложни

ЛЕКЦИЯ 8
Прилагане на законите на Кирхоф
за изчисляване на сложни вериги
В общия случай, когато електрична схема е достатъчно сложна, и не може да бъде
преобразувана към схема на едноконтурна верига или на верига с 2 възела, е необходимо
да се използват по-общи методи за пресмятане на веригата.
Описаните по-долу методи и теореми са приложими за вериги както с постоянен ток,
така и с променлив ток. За общност на изложението, те се записват в комплексна форма.
В общия случай, търсените стойности на електричните величини и техните
съотношения могат да бъдат намерени посредством съвместно решаване на система
уравнения, изразяващи първия и втория закони на Кирхоф за дадената електрична верига.
Пиемаме, че в схема, съдържаща
клона и
възела, са зададени източниците на
ЕДН и се търсят токовете в клоновете. Следователно, броя на неизвестните е равен на
броя на клоновете.
Съгласно първия закон на Кирхоф (Алгебричната сума на токовете в даден възел е
равна на нула:
), може да се запишат
независими уравнения, понеже
уравнението за последния -ти възел представлява следствие на тези
уравнения. Наистина, поради това, че всеки клон свързва 2 възела, токът във всяка верига
участва 2 пъти с различни знаци в уравненията, записани за
възела. Затова ако се
сумират
уравнения, се получава тъждество от вида
. Следователно, едно от
тези уравнения е зависимо, тоест произхожда от останалите уравнения.
Възлите, за които се записват независими уравнения използувайки първия закон на
Кирхоф се наричат независими възли. Тоест от общия брой на възлите, всеки
възела са независими възли, а оставащият 1 възел е зависим.
Съгласно втория закон на Кирхоф (Алгебричната сума на ЕДН за даден контур от
верига е равна на алгебричната сума от падовете на напреженията на елементите в
контура
), може да се запишат
независими уравнения.
Наистина, ако към всички клонове се приложи закона на Ом, се получават
уравнения
от вида:
, където
са комплексните
напрежения между възлите
,
- комплексните ЕДН на източника и тока
в
- тия клон, насочени от възела към възела ,
- комплексно съпротивление на
този клон.
В системата с
уравнения участват
неизвестни тока
и
неизвестни
потенциала
и други (потенциалът за един от възлите се приема за равен на 0).
Ако от разглежданата системата уравнения се изключат тези неизвестни потенциали,
остават
уравнения, които свързват комплексните ЕДН на източниците с
напреженията на комплексните съпротивления, изразявайки втория закон на Кирхоф.
Контурите, за които се записват независими уравнения по втория закон на Кирхоф се
наричат независими контури.
Въз основа на казаното досега в тази Лекция, пресмятане на електрична верига
използувайки първия и втория закон на Кирхоф се свежда към решаване
на
уравнения, тоест на толкова
уравнения колкото е броят на клоновете във веригата. От тези уравнения могат да се
пресметнат всички неизвестните токове във веригата (токовете във всичките
клона).
За показаната на Фигурата схема, броят на клоновете
е
и броят на възлите е
. Съответният брой
уравнения използувайки първия закон на Кирхоф
е
= 5 и използувайки втория закон на Кирхоф
е
= 9 – 6 + 1 =4 . В схемата са показани 4
независими контура.
За да бъдат независими контурите, е достатъчно всеки
следващ контур да се различава от предните дори само с 1
Електрична схема с
нов клон.
4 независими контура
Граф представлява удобна форма за изобразяване
при избор на независими контури, при което клоновете
се представят като отсечки от линии, идеален източник
на ЕДН се отчита като късозатворен клон, а идеален
източник на ток – като отворен клон. Графът съдържа
всичката информация за геометричната структура на
свързване на клоновете.
Граф за горепоказаната
Дърво на графа се нарича част от графа,
схема (а) и едно от неговите
съдържаща всички възли, но не съдържаща нито един
възможни дървета (б)
затворен контур. Дървото съдържа
клона.
Клоновете на графа, които не влизат в състава на дървото се наричат главни клонове
на дървото, или хорди. Съвкупността от главните клонове на дървото се нарича
допълнение на дървото. Броят на главни клонове на дървото е равен на
тоест на броя на независимите контури.
От казаното следва способ за избиране на независими контури: чертае се дърво на
схемата и след това последователно се добавят главните клонове. Всеки контур, който се
образува посредством добавяне на нов главен клон, е независим контур, тъй като той се
различава от предните контури с нов клон. При това, когато към дървото се добавят всички
главни клонове, се получава граф на схемата и броят на независимите контури става
достатъчен за пресмятане на схемата.
Метод на контурните токове
Един от основните методи за пресмятане на сложни електрични вериги, който се
използува широко на практика е метода на контурните токове. Той се базира на това,
че вместо токове в клоновете се определят контурни токове затварящи се в контурите, с
използуване на втория закон на Кирхоф.
За илюстрираната на Фигурата двуконтурна
електрична верига,
- контурни токове.
Токовете в съпротивленията
и
са равни на
съответните контурни токове, токът в
съпротивлението
който е общ за двата контура, е
равен на разликата между контурните токове
,
понеже те са насочени в противоположни посоки в
Илюстрация за метода
[1]
клона
.
на контурните токове
При това ако положителното направление на търсения ток в клона
е прието за
съвпадащо с направлението на контурния ток
, то токът в клона ще е равен на
В противния случай той ще бъде равен на
.
Броят на уравненията, които се записват за контурните токове използувайки втория
закон на Кирхоф, е равен на броя на независимите контури, тоест за електрична схема с
възела и клона задачата за намиране на контурните токове се свежда до решаване на
система от
уравнения. За схемата от Фигурата
, така че
броят на уравненията е
(брой на независимите контури).
Приемаме сумата на комплексните съпротивления, участващи в контура, да
наричаме собствено съпротивление на контура, а комплексното съпротивление
принадлежащо едновременно на два или няколко контура – общо съпротивление на
тези контури.
Положителните направления на контурните токове се избират произволно.
Направлението на обикаляне на всеки контур обикновено се приема да съвпада с
избраното положително направление на контурния ток. Затова при съставяне на
уравнения използувайки втория закон на Кирхоф падът на напрежението от дадения
контурен ток в собственото съпотивление на контура се отчита със знак +. Падът на
напрежението от тока в съседен контур в общото съпротивление се отчита със знак -, ако
контурните токове в това съпротивление са насочени в противоположни посоки, както е
илюстрирано на Фигурата, където направлението на двата контурни тока е избрано по
посока на часовниковата стрелка.
За разглежданата електрична схема с 2 независими контура, може да се запишат 2
уравнения използувайки втория закон на Кирхоф:
където
са собствените съпротивления на контурите 1 и 2
и
е общото съпротивление на контурите 1 и 2 (знакът – в тези уравнения се дължи на
избора на положителни направления на контурните токове).
Ако дадената електрична схема съдържа
втория закон на Кирхоф се получава система от
независими контура, то въз основа на
уравнения:
където
е контурното ЕДН в контура
, тоест алгебрична
сума на ЕДН действащи в даден контур, като ЕДН съвпадащи по направление с
направлението на обикаляне се отчитат със знак +, а с противоположното направление –
със знак -.
е собственото съпротивление на контура ,
е общото
съпротивление на контурите
.
В съответствие с казаното в тази Глава, собствените съпротивления
участват
със знак +, понеже обхождането на контура се приема да съвпада с положителното
направление на контурния ток
. Общите съпротивления
се отчитат с обратен
знак, когато токовете
в тях са насочени в противоположни посоки .
При наличие в електрична схема на източници на ток, те трябва да бъдат заменени с
еквивалентни източници на ЕДН, след което пресмятането на веригата може да продължи.
Освен това, ако в дадената електрична схема има паралелни клонове, то замяната
им с еквивалентни комплексни съпротивления намалява броя на контурите (за сметка на
тези които са образувани от паралелните клонове)
Електричните вериги могат да бъдат планарни или непланарни. Планарна (плоска)
електрична верига може да бъде начертана в равнина във вид на схема с непресичащи се
клонове.
Непланарна електрична верига не може да бъде начертана в равнина във вид на
схема с непресичащи се клонове.
Планарни (а и б) и непланарна електрични вериги.
Метод на възловите напрежения
Метода на възловите напрежения се заключава в това, че се определят
потенциалите във възлите на електрична верига спрямо някой базисен възел,
използувайки първия закон на Кирхоф. Тези потенциални разлики се наричат възлови
напрежения, при което тяхната положителна посока се илюстрира със стрелка насочена от
разглеждания възел към базисния възел.
Напрежението на даден клон е равно на разликата от възловите напрежения на
краищата на клона. Произведение на това напрежение и комплексната проводимост в
дадения клон е равно на тока в този клон. По такъв начин, знаейки възловите напрежения
в електрична верига, може да се пресметнат токовете в нейните клонове.
Ако се приеме че потенциалът на базисния
възел е равен на нула, то напреженията между
останалите възли и базисния възел са равни на
потенциалите на тези възли. Затова този метод се
нарича също метод на възловите потенциали.
Илюстрация за метода [2]
на възловите напрежения
Електричната схема показана на Фигурата има
3 възела, при което възелът означен с 3 е избран за
базисен възел, и да означим възловите напрежения
в точките 1 и 2 с
. Съответно,
комплексните проводимости на клоновете са:
За разглежданата електрична верига с 3 възела може да се запишат 2 уравнения
използувайки първия закон на Кирхоф:
За възела 1:
За възела 2:
Величината
представляваща сума от комплексните проводимости на
клоновете които са свързани във възела 1, се нарича собствена проводимост на възела 1;
а величината
представляваща комплексната проводимост на клона между възлите 1
и 2, участва в уравнениата със знак - и се нарича обща проводимост между възлите 1 и 2.
Ако са известни токовете генерирани от източниците на ток и комплексните
проводимости на клоновете, то възловите напрежения се определят посредством
съвместно решаване на уравненията.
В общия случай на електрична схема съдържаща
възела, използувайки първия
закон на Кирхоф се получава система от
уравнения (възелът се приема за
базисен възел):
Тук токът от източника на ток, към възел се отчита със знак + , докато от възел се
отчита със знак - ,
е собствената проводимост на всички клонове свързани във
възела ,
е общата проводимост между възлите
. Тя участва със знак –
при избрана посока за всички възлови напрежения към базисния възел, независимо от
това дали дадената електрична верига е планарна или непланарна.
Последната записана система уравнения, изразяващи първия закон на Кирхоф, се
записва предполагайки че източниците на електроенергия са източници на ток. При
наличие в схемата на източници на ЕДН, те трябва да бъдат с еквивалентни източници на
ток.
Методът на възловите напрежения има предимство пред метода на контурните
токове, когато броят на уравненията, записани използувайки първия закон на Кирхоф, е
по-малък от броя на уравненията записани използувайки втория закон на Кирхоф.
Ако веригата има
възела и
клона, то методът на възловите напрежения има
предимство когато
, тоест когато
.