Transcript Преобразуване на схемите на електричните вериги.

ЛЕКЦИЯ 7
Преобразуване на схемите на електричните вериги
Последователно и паралелно свързване
При анализ на електрични вериги често възниква целесъобразност за
преобразуване на схеми на тези вериги в по-прости и удобни вериги. Описаните по-долу
преобразования на схеми на електрични вериги могат да се използуват за вериги с
постоянен или променлив ток. За общност на изложението, за преобазуванията се
използува записване с комплексни числа.
На Фигурата е показан
клон от електрична верига,
елементите на който са n
на брой последователно
свързаните съпротивления
Клон на електрична верига състоящ се от n на брой
последователно свързани съпротивления
От втория закон на Кирхоф следва че:
или аналогично на това:
Сумата от комплексните съпротивления на всички последователно свързани
участъци от верига:
се нарича еквивалентно комплексно съпротивление
Токът във веригата е:
където
.
Напрежението на
е:
На Фигурата е показана
схема на електрична верига с
два възела. Между тях са
паралелно свързани n на брой
клонове с комплексни
проводимости
Участък от верига състоящ се от n на брой
паралелно свързани съпротивления
От първия закон на Кирхоф следва че:
или аналогично на това:
Сумата от комплексните проводимости на всички паралелно свързани клонове на
верига:
се нарича еквивалентна комплексна проводимост
където
.
Сумарният ток във веригата е:
Тъй като
е еднакво за всички клонове на веригата, то токовете в различни
клонове се отнасят един спрямо друг както се отнасят техните проводимости. Съответно:
Този израз може да се използува особено удобно когато
стойностите на
могат да бъдат произволни.
. При това,
Смесено свързване. Метод на подобието
Електричните схеми със смесено свързване могат да бъдат преобразувани в попроста електрична схема посредством замяна на паралелно свързаните клонове с един
клон, и съответно на последователно свързаните участъци с един участък.
За показаната верига със смесено
свързване може да се запише:
Сумарното комплексно съпротивление
на цялата верига е:
Смесено свързване
Сумарният ток е:
Токовете в клоновете на веригата се отнасят един спрямо друг, както се отнасят
техните проводимости:
По такъв начин, многоконтурната електрична схема със смесено свързване се
преобразува към едноконтурна схема, имаща сумарно комплексно съпротивление
и
съответна сумарна комплексна проводимост
.
Описаният по-горе порядък на
преобразуване на схема и
определяне на разпределението
на токовете, може да се използува
принципиално и за показаната, тъй
наречена верижна схема.
Верижна схема
Такъв подход обаче е трудоемък и изморителен. По-целесъобразно в този случай е да
използуваме друг метод, който е известен като метод на подобието или метод на
единичния ток.
Задавайки тока в последния клон, да бъде равен на единица
, намираме
че напрежението на комплексното съпротивление
е равно на
. При
това съответният ток е
. Съответно:
Прибавяйки към напрежението на
пада на напрежението от тока
в
комплексното съпротивление
, получаваме напрежението на
. Продължавайки по
същия начин по-нататък, намираме тока
и напрежението
. Тъй като токът
е
избран произволно да бъде равен на единица, полученото напрежение не е равно на
зададеното напрежение
на изводите на веригата. За намиране на истинското
разпределение на токовете в схемата е необходимо всички изчислени стойности на
токовете да бъдат умножени с отношението
.
Преобразуване на свързване в триъгълник
към свързване в звезда
От втория закон на Кирхоф,
сумата от напреженията в контура на
триъгълника е равна на нула:
От първия закон на Кирхоф за
възлите 2 и 1:
и
Свързване в триъгълник (а) и в звезда (б)
Решаване на горните 3 уравнения относно
[0]
[1]
дава:
Напрежението между изводите 1 и 2 на схемата от Фигурата (а) е:
докато за схемата от Фигурата (б), то е равно на:
За еквивалентност е необходимо равенство на напреженията
токове
и
, тоест:
за всякакви
[2]
Това е възможно когато:
Тук третият израз се получава посредством
кръгово заместване на индексите.
Съответно, комплексното съпротивление на лъч от
[3] звездата е равно на произведение от комплексните
съпротивления на прилежащите страни на триъгълника,
разделено на сумата от комплексните съпротивления на
трите страни на триъгълника.
Изразът [1] дава зависимост на тока в страната 1-2 на триъгълника
от токовете
. Посредством кръгово заместване на индексите могат да бъдат
получени токовете в другите две страни на триъгълника:
Преобразуване на звезда към еквивалентен триъгълник
От [3], разделяне на третото уравнение на първото, а после и на второто води до:
Оттук, изразявайки
и
чрез
и замествайки ги в първото уравнение от [3] дава:
Откъдето
следва че:
[4]
Аналогично, кръгова заместване на индексите води до:
и
Съответно, комплексното съпротивление на страна на триъгълника е равно на сума от
комплексните съпротивления на прилежащите лъчи на звездата и тяхно произведение,
разделено на съпротивлението на третия лъч.
Токовете в лъчите на звездата се изразяват лесно посредством токовете в страните на
тиъгълника. Отчитайки положителните направления от Фигурата показваща свързването в
звезда и в триъгълник, се получава:
Еквивалентни източници на ЕДН и на ток
Два разнородни източника на електрична енергия – източник на ЕДН и източник на
ток – се считат еквивалентни, ако при смяна на единия източник с другия токовете и
напреженията във външната електрична верига, с която тези източници се съединяват,
остават неизменни.
Условието за еквивалентност на източници, което се нарича правило за
еквивалентни източници на ЕДН и ток, представлява съотношението:
където
е ЕДН на източника на ЕДН,
е тока на източника на ток, и
е вътрешно
комплексно съпротивление както на източника на ЕДН така и на източника на ток.
За източника на ЕДН:
От дефиницията за еквивалентни източници, за
източника на ток:
Приравняване на тези два израза води до:
Еквивалентни източници
на ЕДН (а) и на ток (б) [5]
Това потвърждава че условието за еквивалентност
на източници на ЕДН и ток, е:
където
е ЕДН на източника на ЕДН,
е тока на източника на ток, и
е вътрешно
комплексно съпротивление както на източника на ЕДН така и на източника на ток.
При отделяне на еквивалентните източници на ЕДН и на ток от външната
верига
, напрежението на изводите на двата източника е равно на
обстоятелство и равенството на вътрешните комплексни съпротивления на двата
източника обезпечава еквивалентността им за всеки режим на работа.
. Това
Мощносттите отделяни във външните съпротивления на еквивалентни източници на
ЕДН и на ток, не са еднакви. Тази мощност за източника на ЕДН е
, докато за
източника на ток тя е
.
Затова, еквивалентността на източници следва да се разбира в смисъл на неизменност
на токове, напрежения и мощности във външната електрична верига, присъединена към
източника.
Преобразуване на схеми с два възела
а) Обединяване на паралелни клонове с източници
Пребразуване на
паралелно свързани
клонове
с източници на ЕДН
Посредством
замяна на зададените
източници на ЕДН с
източници на ток, се
получава схемата от (б).
Съвкупността от
източниците на ток
образува еквивалентен
източник на ток от (в),
при което:
и
Ползувайки това съотношение, може да се
премине от схемата (в) към схемата (г), която се явява
еквивалентна на началната схема (а). За (г) е в сила:
По такъв начин, n паралелни клонове с източници на ЕДН между
2 възела могат да бъдат заменени с 1 източник на ток. Или на ЕДН.
Токът във външната верига (веригата със съпротивление
) е равен на:
Напрежението между 2 възела се намира по формулата:
Този израз се използва често за пресмятане на електрични вериги с 2 възела,
както и на по-сложни вериги, които могат да се преобразуват към вериги с 2 възела.
б) Пренасяне на източници в схема
Пресмятане на електрична верига се облекчава в редица случаи в резултат на пренос в
схемата на източниците на ЕДН или на ток. От уравнението на Кирхоф се вижда че
токовете в схема се определят от зададените стойности на сумарните ЕДН в контурите
независимо от това, от какви отделни събираеми те се състоят. Затова промяна в
разположението на източниците на ЕДН в схема, при което техните сумарни ЕДН във
всички контури се запазват непроменени, не влияе на токовете в клоновете. Аналогично,
напреженията на клоновете се определят от зададените сумарни токове на източниците
на ток във възлите, и затова промяна в разположението на източниците на ток в схема, при
което техните сумарни токове във всички възли се запазват непроменени, не влияе на
напреженията в схемата.
Например, ако трябва да се изключи източник на ЕДН от някой клон, то в дадения клон
се въвежда компенсиращо ЕДН, при което същото ЕДН се въвежда едновременно във
всички останали клонове,които се събират в един от възлите на дадената верига.
Компенсиращите и допълнителните ЕДН имат еднакво направление спрямо разглеждания
възел. В резултат на това, се изключва източник на ЕДН от веригата и се появяват
източници на ЕДН в другите клонове на схемата. Сумарните ЕДН във всички контури и
съответно токовете в клоновете остават предишните.
Пренос на източници на ЕДН в схема
По този начин, източник на ЕДН може да бъде пренесен от някой клон на схемата във
всички други клонове, присъединяващи се към възел на дадения клон, без изменение на
токовете в схемата.
В сила е и обратното, тоест ако във всички клонове без един клон, сходящи във възел,
има еднакви източници на ЕДН [Фиг. (а)], всичките насочени към този възел или навън от
този възел, то те могат да бъдат заменени с един източник на ЕДН в клона, в който не е
имало източник на ЕДН [Фиг. (б)]. Това се потвърждава от факта, че сумарните ЕДН в
контурите на схемите от съответно Фиг. (a) и (б) са еднакви.