ЛЕКЦИЯ 10

Резонансни (трептящи) вериги

Резонансни или трептящи вериги се наричат електрични вериги, в които могат

да възникнат явленията резонанс на напреженията или на токовете.

Резонансът представлява такъв режим на пасивна електрична верига, съдържаща индуктивности и капацитети, при който реактивното съпротивление или реактивната проводимост на веригата са равни на нула. Съответно, реактивната мощност на клемите на веригата е също равна на нула.

Резонанс на напреженията се наблюдава в електрични вериги с последователно

свързани участъци, съдържащи L и C. Неразклонена верига, съдържаща последователно свързани елементи r, L и C е един от най-простите случаи на такава верига и се нарича

последователен трептящ контур. При резонанс на напреженията , индуктивното

съпротивление на една част на веригата се компенсира от капацитивно съпротивление на друга нейна част, последователно свързана с първата. Съответно, реактивното съпротивление и реактивната мощност на клемите на веригата са равни на нула.

Резонанс на токове се наблюдава в електрична верига с паралелно свързани

участъци, съдържащи L и C. Електричнa веригa с паралелно свързани r, L и C е един от най-простите случаи на такива вериги и се нарича паралелен трептящ контур. При резонанс на токовете, индуктивната проводимост на една част на веригата се компенсира от капацитивната проводимост на другата нейна част, паралелно свързана с първата. Съответно, реактивната проводимост и реактивната мощност на клемите на веригата са равни на нула. Честотата за която се наблюдава явлението ‘резонанс’ се нарича резонансна честота.

Напрежителен резонанс в rLC - двуполюсник от последователен тип

Комплексното съпротивление на веригата е: [1] Резонанс се наблюдава при честота за която от което следва че: [2] Последователен трептящ контур Моментните стойности на енергията се изразяват като: Ако приемем че: , тогава Следователно: и Максималните стойности са равни, тъй като: Моментните стойности трептят с удвоена честота около средната стойност при което има непрекъснато преразпределение на енергията между магнитното и електричното полета, сумарната стойност на които има постоянна стойност:

В разглеждания случай няма обмен на енергия между източника и рективните елементи на веригата, а цялата електрична енергия постъпваща от източника се изразходва в съпротивлението. По-рано сме дефинирали понятия за качествен фактор на верига състояща се от последователно свързани индуктивност и съпротивление и на качествен фактор на и на верига състояща се от паралелно свързани капацитет и съпротивление . Тези изрази могат да се препишат както следва: където - средната мощност разсеяна в съпротивлението, - максималната стойност на енергията натрупвана периодично в индуктивноста където - максималната стойност на енергията натрупвана периодично в капацитета За резонансни вериги също се използува понятието качествен фактор на

веригата

, където е резонансната честота, е сума от максималните стойности на енергията, която се натрупва периодично при резонанса в индуктивните (или в капацитивните елементи) и е активната мощност на клемите при резонанс. За илюстрирания по-горе последователен трептящ контур е в сила: където се нарича характеристично [3] (вълново) съпротивление

на резонансния контур

Относителна разстройка на честотата спрямо резонансната честота на контура се нарича величината: . Съответно, и съпротивлението на контура може да се запише като: [4] [5] Следователно, пълното съпротивление на веригата е: и фазовият ъгъл е: . Токът във веригата е: За честота близка до резонансната <<1 и: [6] Това показва че, при резонанс на напреженията, пълното съпротивление е

минимално, а токът във веригата достига максимална стойност .

Отношението на тока към максималния ток при резонанс е равно на: [7] В условия близки до резонанса, напреженията върху и могат да бъдат твърде големи, което следва да се отчита, за да не се повреди изолацията. Вижда се че качественият фактор на веригата характеризира остротата на резонансната крива. Условието за границата на ивицата на пропускане е:

→

Векторна диаграма при резонанс на напреженията

→ → →

Напреженията върху реактивните елементи при резонанс се определят от изразите:    [8] Когато , тези напрежения са по големи от напрежението приложено към резонансния контур. Максимумът на се разполага за малко по-голяма честота, а максимумът на се разполага за малко по-малка честота от собствената честота .