Transcript Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía

Estadística Administrativa I
2014-3
Prueba de hipótesis de 2 muestras - t
Estadístico t
› Muestras aleatorias de 2 poblaciones distintas
› No se conocen las desviaciones estándar poblacionales
› Se supone que las desviaciones estándar son desiguales
› Poblaciones independientes
› Cálculo de los grados de libertad
𝑔𝑙 =
2
2 2
𝑠1 𝑠2
+
𝑛1 𝑛2
2 2
2 2
𝑠1
𝑠2
𝑛1
𝑛2
𝑛1 − 1
+
𝑛2 − 1
Fórmulas del estadístico
𝑡=
𝑋1 − 𝑋2
𝑠12 𝑠22
+
𝑛1 𝑛2
𝑋1 : 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑋2 : 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑛1 : 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑛2 : 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑠𝑐2 : 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎
𝑡: 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
Ejemplo 1 . . .
› Una muestra aleatoria de 20 elementos de la primera
población revelo una media de 100 y una desviación
estándar de 15. Una muestra de 16 elementos para la
segunda población revelo una media de 94 y una desviación
estándar de 8. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para
probar la hipótesis que la media de la primera población es
menor que la segunda población.
Datos muestra 1
Datos muestra 2
𝑋1 = 100
𝑠1 = 15
𝑛1 = 20
𝑋2 = 94
𝑠2 = 8
𝑛2 = 16
𝑠12 = 152 = 225
𝑠22 = 82 = 64
. . . Ejemplo 1
› Hipótesis
𝐻0 : 𝜇1 < 𝜇2
𝐻𝑎 = 𝜇1 ≥ 𝜇2
› Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
› Estadístico de prueba
𝑋1 − 𝑋2
𝑡=
𝑠12 𝑠22
+
𝑛1 𝑛2
𝑔𝑙 =
2 2
2
𝑠1 𝑠2
𝑛1 + 𝑛2
2 2
2 2
𝑠2
𝑠1
𝑛1
𝑛2
𝑛1 − 1
+
𝑛2 − 1
. . . Ejemplo 1
› Regla de decisión
2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
1 𝑐𝑜𝑙𝑎
𝛼 = 0. 05
𝑥𝑖
𝑋=
𝑛
Datos muestra 1
Datos muestra 2
𝑋1 = 100
𝑠1 = 15
𝑛1 = 20
𝑋2 = 94
𝑠2 = 8
𝑛2 = 16
𝑔𝑙 =
225 64 2
+
20 16
225 2 64 2
20 + 16
20−1 16−1
=30.08
𝑠2 =
𝑥𝑖 − 𝑋
𝑛−1
2
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠
𝑠12 = 152 = 225
𝑠22 = 82 = 64
𝑡 = 1.697
. . . Ejemplo 1
› Toma de decisión
𝑡=
100−94
225 64
+
20 16
=
6
15.25
=
6
4.03
=1.54
La hipótesis nula no se rechaza
Ejemplo 2 . . .
El personal de una laboratorio de pruebas del consumidor
evalúa la absorción de toallas de papel. Se desea comparar
un conjunto de toallas con otra marca. Cada una de ellas se
sumerge en un líquido durante 2 minutos y se evalúa la
cantidad de líquido que el papel absorbió.
Una muestra aleatoria de 9 toallas de nuestra marca
absorbieron la siguiente cantidad de líquido (mm).
8
8
3
1
9
7
5
5
12
Una muestra aleatoria de 12 toallas de otra marca absorbió
las siguientes cantidades:
12
11
10
6
8
9
9
Con un nivel de significancia de 0.10
10
11
9
8
10
. . . Ejemplo 2
› Hipótesis
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑎 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
› Nivel de significancia
𝛼 = 0.10
› Estadístico de prueba
𝑡=
𝑋1 − 𝑋2
𝑠12 𝑠22
+
𝑛1 𝑛2
𝑔𝑙 =
2 2
2
𝑠1 𝑠2
𝑛1 + 𝑛2
2 2
2 2
𝑠2
𝑠1
𝑛1
𝑛2
𝑛1 − 1
+
𝑛2 − 1
. . . Ejemplo 2
› Regla de decisión
2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠
𝛼 = 0.10
Datos muestra 1
𝑛1 = 9
𝑋1 = 6.44
𝑠12 = 11.03
𝑔𝑙 =
11.03 2.63 2
+ 12
9
11.03 2 2.63 2
9
+ 12
9−1
12−1
𝑥𝑖
𝑋=
𝑛
𝑠2 =
𝑥𝑖 − 𝑋
𝑛−1
Datos muestra 2
𝑛2 = 12
𝑋2 = 9.42
𝑠22 = 2.63
=10
𝑡 = ±1.812
2
. . . Ejemplo 2
› Toma de decisión
𝑡=
6.44 − 9.42
−2.98
=
= −2.479
11.03 2.63 1.2020
+
9
12
La hipótesis nula no se acepta
Ejemplo 3 . . .
Un banco desea saber el comportamiento de sus clientes de
tarjeta de crédito de acuerdo a la solicitud con fue contratado
el producto; por interés propio o contactado por teléfono por un
agente. Con una significancia de 0.05 probar la hipótesis para
las siguientes muestras:
Solicitadas (1)
𝑋1 = 1,568
𝑠1 = 356
𝑛1 = 10
› Hipótesis
Interés propio (2)
𝑋2 = 1967
2
2
𝑠
=
356
= 126736
𝑠2 = 857
1
𝑠22 = 8572 = 734449
𝑛2 = 8
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑎 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
› Nivel de significancia
𝛼 = 0.05
. . . Ejemplo 3
› Estadístico de prueba
𝑋1 − 𝑋2
𝑡=
𝑠12 𝑠22
+
𝑛1 𝑛2
𝑔𝑙 =
2 2
2
𝑠1 𝑠2
𝑛1 + 𝑛2
2 2
2 2
𝑠2
𝑠1
𝑛1
𝑛2
𝑛1 − 1
+
𝑛2 − 1
› Regla de decisión
2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠
𝛼 = 0.05
126736 734449 2
2
+
(104480)
10
8
𝑔𝑙 =
2
2 = 160620137
8428364588
126736
734449
+
9
7
10
8
+
10 − 1
8−1
. . . Ejemplo 3
› Regla de decisión
2 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠
𝛼 = 0.05
10 916 012 936
𝑔𝑙 =
= 8.934
122 189 876 6
𝑔𝑙 = 8
𝑡 = ±1.860
› Toma de decisión
1568 − 1967
𝑧=
=
126736 734449
+
10
8
−399
194468,625
= −1.234
La hipótesis nula no se rechaza
Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística
Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill
15