Transcript estimasi

ESTIMASI
Sri Sulasmiyati, S.Sos, M.AP
PENGERTIAN
Dalam penelitian sampel kita berharap dapat
menarik suatu kesimpulan tentang peristiwa
yang sedang diselidiki dengan mengguna
kan data yang kita kumpulkan dari
penelitian sampel tersebut. Berdasarkan
hasil penelitian pada sampel, kita ingin
menarik kesimpulan tentang populasi dari
mana sampel tersebut diambil. Penarikan
kesimpulan itu antara dapat terbentuk
estimasi (pendugaan) tentang satu atau
beberapa nilai parameter.
Populasi
N = 400
Sampel
n=21
Variabel umur
µ = 26 th
σ = 1,1 th
Variabel umur
X = 26,7 th
SD = 1,6 th
Parameter
Statistik
Point Estimation
(Pendugaan Titik), yaitu harga parameter diduga dengan
satu harga yakni statistik sampelnya.
Misalnya:
1. Diperkirakan rata-rata harga saham Rp 5.000 per lembar ( μ =
5.000).
2. Diperkirakan proporsi saham yang risikonya tinggi sebesar 0,15
atau 15% (p = 0,15)
Kelemahannya: Kita tidak dapat mengetahui berapa jarak/seleisih
nilai pendugaan (estimate) terhadap nilai sebenarnya (parameter).
Interval Estimation
(Pendugaan
Interval), yaitu harga parameter diduga
dengan banyak sekali harga, atau harga yang hendak
diduga terletak dalam dua batas nilai (interval)
Misal:
Dikatakan pengeluaran mahasiswa per bulan di Kota
Malang pada rata-ratanya Rp 200.000,00 – Rp
500.000,00
Istilah-istilah (terminology)
1.
Taksiran Interval
Apabila kita menaksir sebuah harga dengan sebuah interval,
maka kita akan memperoleh taksiran interval. Misalkan saja:
Dikatakan pengeluaran mahasiswa per bulan di Kota Malang pada rataratanya Rp 200.000,00 – Rp 500.000,00
2. Batas Bawah dan Batas Atas taksiran Interval
Setiap taksiran interval mempunyai Batas Bawah taksiran (lower
limit) dan Batas Atas taksiran (upper limit)
3. Interval Kepercayaan (Confidence Interval)
Apabila kepada sebuah taksiran interval kita memberikan
kepercayaan tertentu (dalam bentuk persentase), maka taksiran
interval terebut namanya interval kepercayaan
4. Koefisien/Derajat Kepercayaan (Coefficient of
Confidence)
Statistika klasik memberikan dua koefisien kepercayaan yaitu :
95% dan 99%.
Koefisien kepercayaan ini secara umum ditulis (1 - α) 100%
Jika koefisien kepercayaan 95%= (1-α)100%=95%→ α = 0,05
99%= (1-α)100%=99%→ α = 0,01
Makin tinggi koefisien kepercayaan makin lebar interval taksiran,
tetapi dalam penelitian interval yang terlalu lebar tidak baik.
Seorang peneliti menghendaki derajat kepercayaan yang tinggi dan
interval yang sempit. Keadaan ini bisa dicapai dengan cara
menentukan terlebih dahulu berapa ukuran sampel.
POLA UMUM ESTIMASI






Tentukan secara tegas parameter apa yang
hendak diduga, apakah rata-rata (), apakah
persentase/proporsi () atau yang lainnya.
Tentukan besar koefisien kepercayaan yang
akan digunakan (1- )100%.
Kumpulkan data melalui sampel berukuran n.
Gunakan rumus estimasi yang tepat.
Lakukan perhitungan
Berikan kesimpulan statistis.
Menaksir Rata-rata 1 Populasi (μ)
a. Sampel Besar (n ≥30)
Rumus Estimasi:
XZ
s
α/2
n
 μ  X  Z α/2
s
n
Error dan Ukuran Sampel

Ditentukan oleh: error yg diinginkan dan CL
Kesalahan
E 
Zα 
2
n
Ukuran
sampel
n 

Zα 
2
E

2
-
-1,64
X  Z / 2
X  Z / 2
+1,64
sd
adalah batas bawahTaksiran
n
sd
n
adalah batas atastaksiran
Contoh:
Sebuah biro riset ingin mengestimate rata-rata
pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per
minggu dari mahasiswa indekost. Sebuah sampel
random yang terdiri dari 100 mahasiswa indekost telah
dipilih dari populasi mahasiswa indekost. Dari seratus
mahasiswa indekost tersebut diketahui bahwa ratarata pengeluarannya adalah Rp 250.000,00 dengan
standard deviasi Rp 50.000,00. Hitunglah “interval
keyakinan 95%” untuk pengeluaran rata-rata untuk
pembelian bahan makanan per minggu dari semua
mahasiswa indekost.
Jawab
1.Parameter yang ditaksir Mean
 Diketahui:
2. IK = 95%→α= 0,05 Z α/2 = 1,96
s
s
3.
X  Z α/2.
 X. 000
 Z/2.
sd
sd
X μ250
 n = 100
s n
X  Z  / 2.
   X  Z / 2.
n
n
n
=
50.000
IK
=
95%→α=
0,05
4. n = 100 X
= 250.000 s = 50.000
5. Z α/2 = 1,96
50 . 000
50 . 000
250 . 000  (1, 96 )
   250 . 000  (1,96 )
100
100
250 . 000  (1, 96 ) ( 5 . 000 )    250 . 000  (1, 96 )( 5 . 000 )
250 . 000  ( 9 . 800 )    250 . 000  ( 9 . 800 )
240 . 200    259 . 800
Jawab
1.Parameter yang ditaksir Mean
 Diketahui:
2. IK = 90%→α= 0,10 α/2= 0,05 Z α/2 = 1, 64
s
s
3.
X  Z α/2.
 X. 000
 Z/2.
sd
sd
X μ250
 n = 100
s n
X  Z  / 2.
   X  Z / 2.
n
n
n
=
50.000
IK
=
95%→α=
0,05
4. n = 100 X
= 250.000 s = 50.000
5. Z α/2 = 1,96
50 . 000
50 . 000
250 . 000  (1, 64 )
   250 . 000  (1, 64 )
100
100
250 . 000  (1, 64 ) ( 5 . 000 )    250 . 000  (1, 64 )( 5 . 000 )
250 . 000  ( 8 . 200 )    250 . 000  ( 8 . 200 )
241 . 800    258 . 200
Contoh 2
Hasil survey terhadap 900 pengamen di daerah A menunjukkan bahwa
rata-rata per bulan pendapatan Rp 500.000,00 dengan standard
deviasi Rp 100.000,00.
a.Hitunglah interval estimasi μ (rata-rata pendapatan
pengamen di
daerah A) bila Cl 95%
Jawab.
X ± Zα/2 S/√n
100.000
500.000 ± (1,96)
900
500.000 ± (1,96) 100.000
30
500.000 ± 6.533,33
Interval estimate Rp 493.466,67 < μ < Rp 506.533,33
b. Dengan CI berapakah supaya diperoleh hasil estimatenya adalah
antara 495.000 hingga 505.000?.
Estimasi μ →
± Zα/2 S/√n
= berarti 500.000 ± 5.000
Maka
± Zα/2 S/√n
= 5.000
± Zα/2 100.000 = 5.000
X
900
3.333,33 Zα/2 = 5.000 → Zα/2 = ± 1,5 →
Zα = + 1,5= 0,4332
Zα = - 1,5= 0,4332 +
CI = 0,8664
CI= 86,64%- α = 13,36%

c. Berapakah estimasi total pendapatan bila
pengamen di Daerah A ditaksir berjumlah
100.000 dengan CI 95%?.
Jawab:
 Total estimasi pendapatan pengamen
N( X ± Zα/2 S/√n ) 100.000
100.000 (500.000 ± 1,96
900
100.000 (500.000 ± 6.533,33 ) yaitu antara Rp
49.346.667.000 – 50.653.333.000
Menentukan ukuran sampel
Berapa jumlah sampel (n) yang dibutuhkan utk
mengestimasi rata-rata pendapatan RT di Kab. Malang,
bila diketahui CI = 95%. Error dlm estimasi tdk lebih dari
Rp 10.000.00. Dari data sensus diperoleh bahwa ratarata income RT = Rp 750.000 dgn SD Rp 400.000
e = 10.000, CI= 95% a = 5%  Za/2 = 1,96
s = 400.000
n = [(1,96) (400.000)/(10.000)]2 = 6146
Maka jumlah sampel yang harus dipilih supaya error
tidak lebih dari Rp 10.000 paling sedikit adalah 6146 RT
Menentukan ukuran sampel
Berapa jumlah sampel (n) mahasiswa yang harus dipilih
bila diketahui standard deviasi dari hasil ujian mahasiswa
= 20 dan probabilitas dari error sebesar 5 atau lebih
adalah sebesar 0,0456.
Probabilitas = 0,0456 berarti a = 0,0228 CI= 95,44%
n = [(2) (20)/(5)]2 = 64
Menaksir Rata-rata 1 Populasi (μ)
b. Sampel Kecil (n <30)
Rumus Estimasi:
x  t(
S
α/2 ; db)
n
<<
x  t (  / 2 ; db ) .
;
S
n
Contoh

Hasil penelitian terhadap 20 orang investor, ternyata saham yang
dibeli (ribuan lembar) sebagai berikut:
20
15
17
18
22
21
18
14
15
13
16
14
24
25
26
21
19
18
17
15
Dengan menggunakan tingkat keyakinan 95% buat perkiraan
interval rata-rata saham yang dibeli per investor.
Jawab
1. Parameter yang ditaksir Mean
2. 
IK =
Diketahui:
95%→α= 0,05 α/2 = 0,025 df = n-1= 20-1= 19 t0,025 (19) = 2,093
3.  n = 100 SdX  250 . 000
x  t/2.

Sd sd    X  Z  / 2 . sd
s
X  Z  / 2.
x  t/2.
n
n
= 50.000 IKn = 95%→α=
0,05
<<
n
Z α/2 = 1,96
4. : n = 20
X
= 18,4 s = 3,80
18,4 - (2,093) (3,80/√20) < μ < 18,4 + (2,093) (3,80/√20)
18,4 - (2,093) (0,8497) < μ < 18,4 + (2,093) (0,8497)
18,4 - (1,7784)
< μ < 18,4 + (1,7784)
16,6216 < μ < 20,1784
16,62 < μ < 20,18
Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan rata-rata pembelian saham akan
berkisar antara 16.62 sampai dengan 20.18 lembar
MENAKSIR 1 PROPORSI (P)
^
p  Z/2
p(1  p)
n
n
^
 P  p  Z/2
p(1  p)
n
: banyaknya elemen sampel
 x : banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu
 p =x/n
Error dan Ukuran sampel
^
E
<
Zα/2
p (1  p )
Besar
Ukuran
^
n
sampel
n  1 / 4
Zα
2
E

2
Contoh

Dari hasil penelitian sampel random di Kota A, dari
100 pembeli saham ada 60 pegawai negeri. Dengan
tingkat keyakinan 90% buatlah perkiraan interval
proporsi pegawai negeri yang membeli saham
jawab
1. Parameter
yangditaksir Proporsi
2. IK = 90%→α=10% →Zα/2 = Z0,05 = 1,64
3.
n = 100
4.
p= x =
n
X = 60
60
100
= 0,60
0 , 6  1, 64
0 , 6 (1  0 , 6 )
 p  0 , 6  1, 64
0 , 6 (1  0 , 6 )
n
0 , 6  1, 64
0 ,6 x 0 , 4
n
 p  0 , 6  1, 64
0 ,6 x 0 , 4
100
100
0,6 – 1,64 (0,049) < p < 0,6 + 1,64 (0,049)
0,52
< p < 0,68
Menaksir Beda Dua Rata-rata (μ1- μ2)
a. Sampel Besar (n1 dan n2 ≥ 30)
Rumus Estimasi
1
2
(x 1  x 2 )  Z
2
2

n1
n2
2
 1   2  (x 1  x 2 )  Z
atau
(x1  x 2 )
1
2
±
1
Z /2
n1
2
2

n2
n1
2
2

n2
Besar Error

E <
Z
2
1
n1


2
2
n2
Contoh

Suatu sampel random yang terdiri dari 100
pengamen di Kota A menunjukan rata-rata
pendapatan per hari Rp 15.900 dengan
standard deviasi Rp 190. Sampel random
yang lain yang terdiri dari 120 pengamen di
Kota B menunjukkan rata-rata pendapatan per
hari Rp 15.700 dengan standard deviasi Rp
165.
 Hitunglah confidence interval 95% untuk
perbedaan rata-rata pendapatan dari semua
pengamen yang berada di kedua kota itu.
Jawab
Parameter yang akan diestimasi Beda Mean
IK = 95% →α= 5%→Zα/2= 1,96
Rumus Estimasi
1.
2.
3.
1
2
(x1  x 2 )
x

1
 x2
 x1  x 2


Z /2
±
n1
= 15.900 – 15.700
190
=
100
2

165
120
2
=
2
2

n2
=
200
361  226 ,875
=
24.25
4. 200 – 1,96 (24,25) < 1 – 2 < 200 + 1,96 (24,25)
200 – 47,53
152,47
< 1 - 2
<
200 + 47,53
< 1 – 2
<
247,53
Beda rata-rata pendapatan pengamen di kota
A dan kota B berkisar antara Rp. 152,47
hingga Rp. 247,53
Menaksir Beda Dua Mean Sampel Kecil
x
1
 x2
atau


 t  ; n1  n 2  2 
 2

 ( n1  1) S 12  ( n 2  1) S 22


n1  n 2  2

 1
1 


  n  n   1   2  x1  x 2 
2 
 1


t ; n 1  n 2  2 
2

  n 1  1) S 12  ( n 2  1) S 22


n1  n 2  2

 1
1 


 n  n 
2 
 1



Menaksir Beda Dua Mean Sampel kecil

x
1
 x2

±
t 

 ; n1  n 2  2 
 2

 (n 1  1)S 12  (n 2  1)S 22


n1  n 2  2

 1
1 


 n  n 
2 
 1
Contoh:

10 buah sampel random ban merk A
daya pakai rata-rata 1000 km dan
Standard deviasi 80 km, 6 sampel lain
merk B dengan daya pakai rata-rata 900
km dan Standard deviasi 90 km. Hitung
confidence interval 95% untuk beda mean
pada daya pakai ban mobil kedua merk
tersebut.
x
1
 x2

Jawab
1. Parameter yang akan diestimasi Mean (μ)
2. IK = 95% → α = 5% → df = 10 + 6 – 2 = 14
t α/2= t(0,025; 14) = 2,145
3. n1 = 10 n2 = 6
x1
x
= 1000
1
 x2
S1 = 80
;

x2
= 900
= 100
S2 = 90
100-2,145
 9 ( 80 ) 2  5 ( 90 ) 2


10  6  2

 1
1


   1   2  100  2 ,145
 10
6

 9 ( 80 ) 2  5 ( 90 ) 2


10  6  2

 1
1



 10
6



100 - 92,72 < µ1 -µ2 < 100 + 92,72
7,28 < µ1 -µ2 < 192,72
Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan selisih rata-rata
daya pakai ban mobil merk A dan B akan terletak dalam
interval antara 7,28 sampai dengan 192,72
Menaksir Beda dua Proporsi
^

P ± Zα/2
^
P 1 (1  p 1 )
n1
^

^
P 2 (1  p 2 )
n2
Contoh

Hasil penelitian sampel acak di Kota A,
dari 120 pembeli saham ada 90 pegawai
negeri dan di Kota B, dari 120 pembeli
saham ada 78 pegawai negeri. Dengan
tingkat keyakinan 90% buat perkiraan
interval selisih proporsi pegawai negeri
yang membeli saham di A dan B.
Jawab
1. Parameter yang ditaksir proporsi
2. IK = 90%→α = 10% Z α/2 = 1,64
^
3. Rumus Estimasi P ± Z α/2
^
P (1  p 1 )
n1
^

^
P 2 (1  p 2 )
n2
4. Dik : n1 = 120
n2 = 120
X1 = 90
X2 = 78
p1 = 90/120 = 0,75 p2 =78/120 = 0,65
(p1 - p2) = 0,75 – 0,65 = 0,10
0,10 ± 165
0,75 (1  0,75 )
120

0,65(1  0 , 65 )
120
0,10 - 1,65 (0,059) ≤ P1-P2 ≤ 0,10 + 1,65(0,059)
0,003 ≤ P1-P2 ≤ 0,197
atau
0,3% ≤ P1-P2 ≤ 19,7%
Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan selisih proporsi
pegawai negeri pembeli saham di A dan B akan terletak
dalam interval antara 0,003 sampai dengan 0,197 atau 0,3%
sampai 19,7%.