Transcript Bab 8B Statistik terapan, Universitas Tarumanagara

Bab 8B
Estimasi 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bab 8B
Estimasi 2
A. Estimasi Interval Lanjutan
1. Pendahuluan
Seperti
pada
estimasi
satu
juga mengestimasi besaran lainnya
rerata,
kita
Estimasi selanjutnya dilakukan pada
selisih dua rerata
selisih dua proporsi
koefisien korelasi linier
koefisien regresi linier
dapat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------B. Estimasi Interval pada Selisih Dua rerata
1. Dasar
• Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari
sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh
satu rerata
• Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua
rerata dengan menggunakan beberapa contoh
• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah
dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada
Bab 6A dan 6B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Estimasi interval akan menghasilkan
(  ) – (  )  X  Y  (  ) + (  )
• Distribusi probabilitas pensampelan mencakup beberapa kasus
• Simpangan baku populasi diketahui
• Simpangan baku populasi tidak diketahui tetapi variansi sama
• Simpangan baku populasi tidak diketahui tetapi variansi tidak
sama
• Perlu ada pengujian kesamaan variansi populasi
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Beberapa Contoh
Contoh 1 (Simpangan baku populasi diketahui)
Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan independen. Simpangan
baku populasi X dan Y adalah masing-masing 320 dan 375
Dari populasi X, sampel acak kecil sebesar 42 memberikan rerata sampel 1360.
Dari populasi Y, sampel acak kecil sebesar 48 memberikan rerata sampel 1320.
Pada interval keyakinan 0,95, estiamsi selisih rerata populasi X dan Y.
•
Rumusan estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, estimasikan
X  Y
• Sampel
nX = 42
nY = 48
= 1360
= 1320
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
DP populasi
: normal
Simpangan baku populasi : X = 1360
Y = 1320
DP pensampelan
: normal
Kekeliruan baku
 X2  Y2
320 2 375 2
 X Y 



 73,27
n X nY
42
48
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½  = 0,025
Nilai kritis
Untuk batas bawah z0,975 = 1,960
Untuk batas atas
z0,025 =  1,960
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Bentangan estimasi
Batas bawah = (  )  (  ) = (  )  z(½)
= (1360 – 1320) – (1,96)(73,27) =  103,60
Batas atas
= (  ) + (  ) = (  ) + z(½)
= (1360 – 1320)  (1,96)(73,27) = 183,60
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata
 103,60 ≤ X  Y ≤ 183,60
–
–
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 2 (Simpangan baku populasi tidak diketahui)
Pada interval keyakinan 0,95 diestimasi selisih rerata populasi dari sesuatu di
antara tahun 1970 (X) dan tahun 2004 (Y).
Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kecil
menunjukkan nX = 35, nY = 40, = 267, = 255, sX = 27, dan sY = 30
Estimasi ini memerlukan dua tahap. Tahap pertama menguji apakah variansi
populasi sama atau tidak sama. Tahap kedua mengestimasi selisih dua rerata
Tahap pertama uji homogenitas variansi
Rumusan hipotesis
 Y2
H0 : 2  1
X
 Y2
H1 : 2  1
X
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Sampel
nX = 35 sx = 27
nY = 40 sY = 30
s2X = 729
s2Y = 900
• Distribusi probabilitas pensampelan
DP pensampelan : DP F Fisher-Snedecor
Derajat kebebasan : X = 34 Y = 39
• Statistik uji
F
sY2
s X2
 Y2
 X2

900
 1,235
729
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Kriteria pengujian
Uji pada dua ujung, nilai kritis
Ujung bawah
Ujung atas
: F(0,025)(39)(34) = 0,52
: F(0,975)(39)(34) = 1,95
Tolak H0 jika F < 0,52 atau F > 1,95
Terima H0 jika 0,52 ≤ F ≤ 1,95
• Keputusan
Pada taraf signifikasi 0,05, terima H0 yakni variansi populasi X dan Y adalah
homogen atau variansi populasi X dan Y adalah sama
Tahap 2 mengestimasi selisih dua rerata
• Rumusan estimasi
Pada interval keyakinan 0,95 estimasikan X  Y
• Sampel
nX = 35
nY = 40
X = 267
Y = 255
sX = 27
sY = 30
• Distribusi probabilitas pensampelan
DP populasi
Variansi populasi
Sampel acak kecil
: DP t Student
: sama
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Kekeliruan baku
 X Y
(n X  1) s X2  (nY  1) sY2

(n X  1)  (nY  1)
1
1
(34)(729)  (39)(900) 1
1



n X nY
34  39
35 40
 6,597
 X Y  (n X  1)  (nY  1)  34  39
 73
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½ = 0,025
Distribusi pensampelan t Student
Nilai kritis
Untuk batas bawah t(0,975)(73) = 1,993
Untuk batas atas
t(0,025)(73) =  1,993
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------•
Bentangan estimasi
Batas bawah = (  )  (  ) = (  )  t(½)()
= (267 – 255) – (1,993)(6,597)
=  1,15
Batas atas = (  ) + (  ) = (  ) + t(½)()
= (267 – 255) + (1,993)(6,597)
= 25,15
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata
 1,15 ≤ X  Y ≤ 25,15
–
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 3 (dikerjakan di kelas)
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak SATP berukuran kecil adalah
X
Y
5 7 5 8
4 6 3 4
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
(Tahap pertama uji hipotesis kesamaan variansi, tahap kedua estimasi
selisih rerata populasi)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 4
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak SATP berukuran kecil adalah
X
Y
6 7 4 5 3
3 2 0 1
Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 5
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak SATP berukuran kecil adalah
X
Y
17 14 13 10 14
12 11 14 12
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 6
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak SATP berukuran kecil adalah
X
Y
9 8 9 7 6 3 2
5 4 2 6 5
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 7
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Sampel acak SATP berukuran kecil adalah
X
Y
12
9
9
7
8 12 10 10 12
6 9 10 9
Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 8
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Ukuran populasi NX = 50 dan NY = 40. Sampel acak SATP adalah
X
Y
25 27 25 22 29 24
20 18 17 19 15 18
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 9
Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal.
Ukuran populasi NX = 50 dan NY = 60. Sampel acak SATP adalah
X
Y
22 17 19 17 15 17 20 21
19 16 14 16 16 13 18 19
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------C. Estimasi Interval pada Selisih Dua Proporsi
1. Dasar
• Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel
sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata
• Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua
proporsi dengan menggunakan beberapa contoh
• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan
memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan
6B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Estimasi interval akan menghasilkan
(pX  pY) – (XpX Y)  X  Y  (pX  pY) + (pX  pY)
• Distribusi probabilitas pensampelan mencakup beberapa kasus
• Menggunakan proporsi sampel pada kekeliruan baku
• Menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku
• Pendekatan kekeliruan baku ke distribusi probabilitas normal
untuk sampel lebih dari 20
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Beberapa Contoh
Contoh 10 (Menggunakan proporsi sampel untuk kekeliruan baku)
Di antara sampel 600 pembeli mobil buatan dalam negeri (X), 483 merasa puas.
Di antara sampel 450 pembeli mobil buatan luar negeri (Y), 352 merasa puas.
Sampel cukup besar.
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi perbedaan di antara dua proporsi itu.
• Rumusan estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi X  Y
• Sampel
nX = 600 pX = 483 / 600 = 0,805
nY = 450 pY = 352 / 450 = 0,782
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi propobabilitas pensampelan
DP pensampelan didekatkan ke DP normal
Kekeliruan baku
p
X
 pY
 n p  nY pY
 n  X X
 n X  nY
 n X p X  nY pY
1 
n X  nY

 1
1


 n X nY
1
 483 352 483 352 1
 

1 

1050  600 450
 1050 
 0,025
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½ = 0,025
DP pensampelan DP normal
Nilai kritis
Untuk batas bawah
Untuk batas atas
z0,975 = 1,96
z0,025 =  1,96
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Bentangan estimasi
Batas bawah = (pX – pY)  (pX – pY) = (pX – pY)  z½pX-pY
= (0,805 – 0,782)  (1,96)(0,025)
=  0,026
Batas atas
= (pX – pY)  (pX – pY) = (pX – pY) + z½pX-pY
= (0,805 – 0,782)  ( 1,96)(0,025)
= 0,072
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, selisih proporsi
 0,026 ≤ X  Y ≤ 0,072
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 11 (Menggunakan variansi maksimum untuk kekeliruan baku)
Di antara sampel 600 pembeli mobil buatan dalam negeri (X), 483 merasa puas.
Di antara sampel 450 pembeli mobil buatan luar negeri (Y), 352 merasa puas.
Sampel cukup besar.
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi perbedaan di antara dua proporsi itu.
• Rumusan estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi X  Y
• Sampel
nX = 600 pX = 483 / 600 = 0,805
nY = 450 pY = 352 / 450 = 0,782
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi propobabilitas pensampelan
DP pensampelan didekatkan ke DP normal
Kekeliruan baku
p
X
 pY

1 1
1 1 1
1



2 nX nY 2 600 450
 0,031
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½ = 0,025
DP pensampelan DP normal
Nilai kritis
Untuk batas bawah
Untuk batas atas
z0,975 = 1,96
z0,025 =  1,96
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Bentangan estimasi
Batas bawah = (pX – pY)  (pX – pY) = (pX – pY)  z½pX-pY
= (0,805 – 0,782)  (1,96)(0,031)
=  0,038
Batas atas
= (pX – pY)  (pX – pY) = (pX – pY) + z½pX-pY
= (0,805 – 0,782)  ( 1,96)(0,031)
= 0,084
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, selisih proporsi
 0,038 ≤ X  Y ≤ 0,084
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 12 (dikerjakan di kelas)
Dari populasi X berukuran NX = 500 ditarik sampel acak berukuran nX = 50 dan
menemukan proporsi sebesar pX = 0,70. Dari populasi Y berukuran NY = 700
ditarik sampel acak berukuran nY =70 dan menemukan proporsi pY = 0,40. Pada
interval keyakinan 0,95, estimasi selisih proporsi dua populasi itu dengan
menggunakan proporsi sampel
Contoh 13 (dikerjakan di kelas)
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih proporsi dua populasi pada
contoh 12 dengan menggunakan variansi maksimum
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 14
Dari sampel 250 wanita (X), 145 memperoleh beasiswa. Dari sampel 320 pria
(Y), 150 memperoleh beasiswa. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih
dua proporsi itu (menggunakan proporsi sampel untuk kekeliruan baku)
Contoh 15
Di wilayah X, sampel 600 siswa menunjukkan 90 siswa putus sekolah. Di
wilayah Y, sampel 400 siswa menunjukkan 48 siswa putus sekolah. Sampel
cukup besar.
Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih proporsi siswa putus sekolah
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------D. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Korelasi Linier
1. Dasar
• Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari
sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu
rerata
• Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu koefisien
korelasi linier dengan menggunakan beberapa contoh
• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan
memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan
6B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------• Estimasi interval akan menghasilkan
rXY – rXY  XY  rXY + rXY
• Menggunakan transformasi Fisher agar distribusi probabilitas
pensampelan berdistribusi probabilitas normal
• Estimasi dilakukan pada distribusi probabilitas normal
• Menggunakan kebalikan dari transformasi Fisher untuk
mengembalikan estimasi ke distribusi probabilitas semula
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Beberapa Contoh
Contoh 16
Sampel hasil ujian matematika dan fisika pada 30 siswa menunjukkan rXY = 0,70.
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi linier XY
• Rumusan estimasi
• Pada interval keyakinan 0,95 estimasi XY
• Sampel
n = 30
rXY = 0,70
Transformasi Fisher
ZrXY = tanh-1 0,70 = 0,867
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
Pada transformasi Fisher, DP pensampelan menjadi DP normal
Kekeliruan baku
Z
rXY

1
1

 0,1925
n3
27
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½ = 0,025
DP normal sehingga nilai kritis
Untuk batas bawah z0,975 = 1,96
Untuk batas atas
z0,025 =  1,96
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Bentangan estimasi
Batas bawah = ZrXY  ZrXY = ZrXY  z½Z = 0,867 – (1,96)(0,1925)
= 0,490
Kebalikan transformasi Fisher = tanh 0,490 = 0,45
= ZrXY + ZrXY = ZrXY + z½Z = 0,867 ( 1,96)(0,1925)
= 1,244
Kebalikan transformasi Fisher = tanh 1,244 = 0,85
Batas atas
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, koefisien korelasi linier
0,45 ≤ XY ≤ 0,85
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 17 (dikerjakan di kelas)
Sampel X dan Y berukuran 40 menghasilkan koefisien korelasi linier
sampel rXY = 0,20. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien
korelasi linier XY
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 18
Pada koefisien korelasi linier populasi = 0, dari dua populasi X dan Y
yang beregresi linier ditarik pasangan sampel acak
X
Y
450 500 525 650 760
2,40 3,12 3,05 3,19 3,74
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi XY
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 19
Pada koefisien korelasi linier populasi = 0, dari dua populasi X dan Y
yang beregresi linier ditarik pasangan sampel acak
(a) X
1
2
4
5
Y
3
6
4
7
(b) X
1
3
5
7
Y
2
2
3
5
(c) X
3
6
4
7
Y
5
1
2
0
(d)
X Y
1 0
3 1
7 6
5 2
4 1
Pada interval keyakinan 0,98, estimasi koefisien korelasi linier XY
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------E. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Regresi Linier
1. Dasar
• Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari
sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu
rerata
• Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu
koefisien regresi linier dengan menggunakan beberapa contoh
• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan
memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan
6B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Estimasi interval akan menghasilkan
b – b  B  b + b
• Pada dasarnya ada dua koefisien regresi yakni a dan b
• Koefisien regresi a hanya menunjukkan perpotongan dengan sumbu Y
sehingga tidak banyak dipersoalkan
• Koefisien regresi b menunjukkan koefisien arah sehingga masih
dipersoalkan
• Koefisien regresi b berhubungan dengan koefisien korelasi XY sehingga
ada kemiripan di dalam estimasi
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Beberapa Contoh
Contoh 20
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B,
apabila dari sampel berukuran 9 ditemukan b = 2,9303, sX = 1,2796,
sY = 2,7834, dan rXY = 0,9911
• Rumusan estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi B
• Sampel
n = 9 b = 2,9303 sX = 1,2796, sY = 2,7834
rXY = 0,9911
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
DP pensampelan
Kekelriuan baku
: DP t Student
s
b  Y
sX
2
1  rXY
3,7834 1  0,9823

 0,1478
n  2 1,2796
92
b  n  2  9  2  7
• Interval keyakinan
1   = 0,95
½ = 0,025
DP t Student
Untuk batas bawah t(0,975)(7) = 2,365
Untuk batas atas
t(0,025)(7) =  2,365
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Bentangan estimasi
Batas bawah = b  b = b  t(½)()b = 2,9303 – (2,365)(0,1487)
= 2,5786
Batas atas
= b + b = b + t(½)()b = 2,9303  ( 2,365)(0,1487)
= 3,2820
• Interval estimasi
Pada interval keyakinan 0,95, koefisien regresi linier
2,5786 ≤ B ≤ 3,2820
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 21
(dikerjakan di kelas)
Sampel acak dari regresi linier adalah
X 2 3 3 4 5
Y 5 4 6 9 7
Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 22
Sampel acak dari regresi linier adalah
(a)
X 1 3 5
Y 4 9 8
(c)
X 7 4 6 3 5
Y 11 3 5 4 7
(b) X
Y
1 2 3 4 5
6 8 2 0 4
Pada interval keyakinan 0,98, estimasi koefisien regresi linier B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 8B
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Contoh 23
Sampel acak dari regresi linier adalah
X 5 4 10 6 6 8 9 7 8 10
Y 4 5 9 3 6 5 10 7 8 9