Transcript Reglas de probabilidad
Estadística Administrativa I
Período 2014-2 REGLAS DE LAS PROBABILIDADES
Nomenclaturas
Para simplificar la escritura en los cálculos se ha establecido una serie de convenciones que minimizan el espacio de escritura.
Sin importar el nombre de la variable o sus respectivos eventos, éstos pueden ser sustituidos por las letras del alfabeto (A, B, C, etc.).
La letra P en mayúscula indica que se va a calcular una probabilidad y el evento correspondiente se escribe encerrado entre paréntesis.
P(evento)
Nomenclaturas
El experimento que se estudiará es la caída de una bomba llena de agua.
Se quiere calcular la probabilidad de que al llegar al suelo, la bomba explote.
Evento Nomenclatura = = La bomba llena de agua explote Al evento se le llamará A 𝑃 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑡𝑒 = 𝑃(𝐴)
Probabilidad conjunta
En estadística, los evento pueden ser combinados por lo que puede suceder que un evento sea simultáneo con otro y los resultados no se puedan subdividir.
En estos caso, a la probabilidad se le denomina conjunta y su nomenclatura es la siguiente: 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) P(A y B) es la probabilidad de que A y B ocurran simultáneamente
Probabilidad conjunta
Se está llamando a los televidentes para hacerles una encuesta sobre sus preferencias sobre el noticiero que ven a las 7:00 p.m. El Canal 4 transmite “Las noticias hoy” y el canal 13 el noticiero “Siempre primero”.
Al calcular las probabilidades, si un televidente responde que a las 7 ve “La noticias hoy”, es imposible que al mismo tiempo vea el noticiero “Siempre primero”; por lo que ambos eventos son mutuamente excluyentes.
Regla del Complemento
La regla del complemento es la probabilidad de que no ocurra un evento.
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 ~𝐴
La probabilidad total siempre es 1; por lo tanto si a un evento dato se le resta de 1, el resultado es el evento que no ocurre.
Regla del complemento 1.
2.
3.
4.
5.
6.
El complemento del evento “masculino” es “femenino” El complemento del evento “lloverá” es “no lloverá” El complemento del evento “no aprobar” es “aprobar” El complemento del evento “par” es “impar” El complemento del evento “1” en un dado es “2, 3, 4, 5 y 6” El complemento de las “bolsas con menos peso” es “bolsas con mayor peso y bolsas con peso correcto”
Regla del complemento 1. P(~femenino) = P(masculino) 2.
P(~lloverá)= P(no lloverá) 3. P(~no aprobar)=P(aprobar) 4. P(~par)=P(impar) 5. P(~1) = P(2 o 3 o 4 o 5 o 6) 6. P(~bolsas con menos peso)= P(bolsas con mayor peso o bolsas con peso correcto)
Reglas para calcular probabilidades
Es común que las probabilidades se midan en combinación de más de 1 evento; para lo cual se necesita conocer las fórmulas de estos casos.
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Regla especial de la adición
Es especial porque es la que se utiliza para eventos mutuamente excluyentes.
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
El evento A o B significa que se ocurrirá el evento A o el evento B. La probabilidad se calcula sumando cada una de sus respectivas probabilidades.
Regla de la adición Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contienen el peso correcto; aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y otras verduras, un paquete podrá pesar más o menos de lo estipulado. Una revisión de 4,000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes resultados.
PESO DE BOLSAS
Menos peso Peso correcto Mayor peso
NOMENCLATURA EVENTO
A B C
NÚMERO DE PAQUETES
100 3600 300
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
0.025
0.900
0.075
Regla de la adición
PESO DE BOLSAS
Menos peso Peso correcto Mayor peso
NOMENCLATURA EVENTO
A B C
NÚMERO DE PAQUETES
100 3600 300
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
0.025
0.900
0.075
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más? 𝑃 𝐴 𝑜 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐶 = 0.025 + 0.075 = 0.10
La muestra analizada tiene eventos
mutuamente excluyentes
es
colectivamente exhaustiva.
y
Regla general de la adición
Esta es la fórmula para los casos en los que los eventos pueden no ser mutuamente excluyentes, por lo que se debe eliminar la duplicidad de probabilidad
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)
La suma de las probabilidades no debe ser superior a 1
Regla general de la adición Estamos haciendo un estudio sobre turista que hayan visitado Copán Ruinas o Islas de la Bahía. Supongamos que la probabilidad de que un turista conozca la Islas de la Bahía es de 0.4, que conozca Copán Ruinas es de 0.6 y de que conozca ambos sitios es 0.25. ¿Cuál es la probabilidad de que conozca Islas de la Bahía o Copán Ruinas.
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 0.6 + 0.4 − 0.25
= 0.75
Eventos independientes
Si un evento que ocurre no tiene ningún efecto sobre el siguiente, se dice que los eventos son independientes.
Eventos independientes
1.
En un hospital, un pediatra está atendiendo los partos que van llegando, si el parto que acaba de terminar tuvo un resultado de “niña”, no tiene ningún efecto sobre la otra mamá que está esperando para ser atendida.
2.
Si está tirando una moneda al aire y en esta oportunidad cayo en “escudo”, nada garantiza que el próximo tiro vuelva a salir “escudo”.
Eventos dependientes
Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Puede ocurrir que al querer obtener un resultado para una probabilidad conjunta, un evento dependa del otro.
Eventos dependientes
El fin de semana compró 10 latas de refresco, de las cuales 7 son normales y 3 son de dieta y los guardó en el refrigerador. La probabilidad de que el lunes se tome un refresco normal es de 7/10 = 0.7 y la probabilidad de que se tome uno de dieta es de 3/10 = 0.3
Cuando el martes se quiere tomar otro refresco, ya solo hay 9 latas de refresco.
Sigue…..
Eventos dependientes
Seguimos con el ejemplo de los refrescos, ya solo hay 9 latas en el refrigerador. Si se quiere tomar un refresco normal, la probabilidad es de 6/9 = 0.67
Si se quiere tomar un refresco de dieta, la probabilidad es de 2/9 = 0.22
En este caso los eventos del martes son dependientes de lo que ocurrió el lunes.
Probabilidad condicional
Si dos eventos son dependientes, el segundo evento ocurre condicionado a lo que ocurrió con el primero y los resultados reciben el nombre de probabilidad condicional. Se denota de la siguiente forma:
𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) 𝑃(𝐴)
El resultado del evento B va a depender del resultado que se haya tenido con el evento A
Probabilidad condicional
La probabilidad de que un turista haya visitado Copán Ruinas (evento A) es 0.7, que haya visitado Islas de la Bahía (evento B) es 0.6 y la probabilidad que haya visitado ambos sitios es de 0.5.
¿Cuál es la probabilidad de que un turista visite Islas de la Bahía (B) siendo que ya visitó Copán Ruinas (A)?
𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 𝑃(𝐴) 0.5
0.7
= 0.714
Reglas de la multiplicación
Regla especial de la multiplicación Regla general de la multiplicación Las reglas de la multiplicación está relacionada con probabilidad conjunta
𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)
Regla especial de la multiplicación
Para aplicar la regla especial de la multiplicación se requiere que ambos eventos sean independientes.
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵)
El evento A y B significa que se ocurrirá el evento A y al mismo tiempo el evento B. La probabilidad se calcula multiplicando cada una de sus respectivas probabilidades.
Regla especial de la multiplicación En una encuesta llevada a cabo por American Airlines año pasado?
reveló que el año pasado el 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieron reservaciones el A= Probabilidad que el primero hizo una reservación = 0.6
B = Probabilidad que el segundo hizo una reservación = 0.6
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 0.6 ∗ 0.6 = 0.36
Regla general de la multiplicación
La regla general de la multiplicación se aplica si los eventos son dependientes.
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵/𝐴)
El evento A y B significa que se ocurrirá el evento A y al mismo tiempo el evento B. La probabilidad se calcula multiplicando la probabilidad del evento que ocurrió primero y en base a es resultado se multiplica la probabilidad del segundo evento.
Regla general de la multiplicación Un futbolista tiene 12 camisetas limpias en su closet, de las cuales 9 son blancas y las demás azules. El día de hoy en la noche sin encender la luz sacó una camiseta y se la puso; mañana que volverá a salir se pondrá otra.
¿Cuál es la probabilidad que hoy y mañana se ponga camiseta blanca? 𝑃 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 ℎ𝑜𝑦 𝑦 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎 = 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) Sigue…..
Regla general de la multiplicación La probabilidad de que hoy se ponga una camiseta blanca es 9/12 = 0.75. Para mañana solo quedan 11 camisetas limpias y como hoy se puso una blanca, solo le van a quedar 8 camisetas blancas en el closet, por lo que la probabilidad será 8/11=0.727
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 𝐴 = 0.75 ∗ 0.727
= 0.545 = 0.55
Sigue…..