Espacios Vectoriales
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Espacios Vectoriales
Dr. Rogerio
uno de los conjuntos mas importantes de las matemáticas
• Casi todas las matemáticas que han estudiado
están basadas en las propiedades de los
Reales
• Primero enfoque intuitivo ahora
• Enfoque axiomático
conjunto que contiene mas de un elemento y dos operaciones:
la adición y multiplicación ´+´ y ´.´
Las operaciones cumplen con los axiomas de:
i) la adición y la multiplicación
ii) orden
iii) completidad o complitud.
Axiomas sobre la adición y multiplicación
• Axiomas de CAMPO
• Cualquier conjunto que cumpla será un
campo
• Propiedades de CAMPO:
– Leyes conmutativas
– Leyes asociativas
– Leyes distributivas
– Elemento idéntico para cada operación
– Elementos inversos
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes
– Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Axiomas sobre la adición y multiplicación
I . Leyes conmutativas a, b
ab ba
a b b a
II . Leyes asociativas a, b, c
a (b c) (a b) c
a (b c) (a b) c
III . Leyes distributivas a, b, c
a (b c) (a b) (a c) izquierda
(b c) a (b a ) (c a ) derecha
IV . Elemento idéntico a
aditivo e
denotado 0 a 0 a 0 a
multiplicativo denotado 1 a 1 a 1 a
V .Elementos Inversos a
aditivos a´
denotado a a ( a) 0 ( a) a
multiplicativos a 0 denotado a 1 a a 1 1 a 1 a
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes
– Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Espacio lineal
o Espacio Vectorial lineal
o Espacio Vectorial
o Espacio Vectorial Lineal Real
o Espacio Vectorial Lineal Complejo
• Conjunto de elementos de cualquier tipo con
ciertas operaciones definidas
(suma y multiplicación por números
• Sea V un conjunto no vacío de objetos
llamados elementos donde se satisfacen 10
axiomas, el conjunto es llamado espacio lineal
Espacio lineal o Espacio Vectorial lineal
Cerradura
I . Cerrado bajo la adición, a, b V , a b V
II .Cerrado bajo la multiplicación por números escalares (reales o complejos),
a V y a o ,
aa V
Suma
III. Leyes conmutativas a, b V , a b b a
IV . Leyes asociativas a, b, c V , a (b c ) (a b) c
V . Elemento idéntico a V , e V denotado 0 a 0 a 0 a
VI .Elemento Inverso a V , a´
denotado a a (a ) 0 (a ) a
Multiplicación por escalares
VII . Asociativa a a,b , (ab) a a(b a)
VIII .Distributiva para la adición en V, a, b V y a a (a b) (a a ) (a b)
IX .Distributiva para la adición de escalares, a V y a,b (a+b) a (a a) (b a)
X .Elemento idéntico escalar a V , e denotado 1 1a a
Ejemplos
1.
2.
3.
n
Espacio de funciones
4.Funciones reales
5.Polinomios
6.C (a, b) Funciones continuas en el intervalo (a, b)
7.Funciones diferenciables en un punto dado
8.Funciones integrables en un intervalo
6.Soluciones de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Sub-Espacio Vectorial
Sub-Espacio Vectorial
• Dado un espacio vectorial V y sea S un
subconjunto de V , si S es tambien un espacio
vectorial con las mismas operaciones que V,
S es llamado sub-espacio de V.
Tma.
Sea S un subconjunto no vacío del espacio
vectorial,
S es sub-espacio S satisface los axiomas de
cerradura.
Espacios Vectoriales Métricos o Normados
• Medimos en segmentos de línea:
– longitud
– Ángulos
• Producto interno (punto o escalar)
– No necesidad de fórmula explicita solo aximaticamente
En un espacio vectorial V se define el producto interno si para cada par de sus elementos x, y
le corresponde un único número escalar ( x, y ) tal que x, y, z V y c
i )Conmutativo o simetría
x, y y , x
ii ) Distributivo o linealidad
x, y z x, y x , z
iii ) Asociativo u homegeneidad
c x, y cx, y
iv)" positivez "
x, x 0
si x 0
ESPACIO EUCLIDIANO
Espacios Euclidiano
Norma
x
x, y
2
cos
x, y
x y
En un espacio Euclidiano dos elementos:
son ortogonales si su producto interno es cero.
son ortonormales si la norma de cada uno es unitaria.
Tma.
x, y, z V y c
la norma es tal que
i ) x 0 si x 0
ii ) x 0 si x 0
iii ) cx c x
" positivez "
homegeneidad
iv) x y x y desigualdad del triángulo
iv) x, y x y desigualdad del Cauchy-Schwarz
ejemplos
producto punto
x ( x1 ,....., xn ) y
y ( y1 ,....., yn )
n
x y xk yk
k
funciones
toman valores continuos
b
f , g f ( x) g ( x)dx
a
Ortogonalidad
Un subconjunto S de V es llamado un conjunto ortogonal si
x, y 0
para cada par x, y de elementos distintos en S
S es llamado conjunto ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma unitaria
Bases
Una combinación lineal de elementos en de V significa Intuitivamente
N
v cn en
n 1
donde cn v, en
Tma.En un espacio Euclidiano, cada conjunto de elementos ortogonales no cero es independiente.
i.e. no se puede obtener uno del otro.
Ejemplo i.j =0
Generalizando
e1 ,......, eN cn em , en 0 lo que nos lleva a
N
c e
n 1
n n
0
N
pero si cn 0 y cn vn 0 entonces son dependientes
n 1
BASES
Si son independientes y el espacio se puede generar
(todos los demas vectores son combinaciones lineales) a partir de solo ellos
entonces se llama base del espacio vetorial.
Si un espacio vectorial tiene una base de N elementos, N es la dimension de V
Y cualquier base tendra la misma cantidad de elementos
Bases ortogonales
En un espacio Euclidiano V , cada conjunto ortogonal de elementos no zero es independiente.
En particular, en un espacio de dimension finita dim V n cada conjunto ortogonal de n elementos no zero es una base de V
Tma
Sea V un espacio de dimension n finita y suponga que S e1 ,....., en es una base ortogonal de V entonces
cualquier elemento x puede ser exprsado como una combinacion lineal del conjunto base, es decir,
n
x ci ei
i 1
donde
cj
x, e
e , e
j
j
j
son las componentes de x
En particular si S u1 ,....un es ortonormal, entonces las componentes son
c j x, u j
Ejemplo
En el espacio lineal de funciones continuas C (0, 2 ) se define el conjunto
S u0 , u1 , u2 ,.......
u0 ( ) 1
u2 n 1 ( ) cos(n )
u2 n ( ) sin( n )
con n 1, 2,.......
y como f , g
2
f ( ) g ( ) d
0
entonces
S es ortogonal es decir, si n m
2
u ( )u
n
m
( ) d 0
0
y las normas de casa elemento son
2
u0 , u0 d 2
0
2
u2 n1 , u2 n1 cos 2 (n )d
0
2
u2 n , u2 n sin 2 (n )d
0
asi que podemos definir un conjuntoortonormal
u
S= 0 , 1 , 2 ,....... con n n
un
0
1
cos(n )
sin(n )
, 2 n 1 ( )
, 2 n ( )
,n 1
2
Con matrices
• El numero de renglones o columnas no
iguales implica el numero de la dimension
OBSERVACION
La combinacion lineal significa que los elementos de la base el no estan elevados a ninguna potencia
N
c e
n 1
0
n n
Pero eso no significa que en si, los elementos de la base esten definidos directamente como potencias,
por ejemplo
e1 (t ) cos 2 t , e2 (t ) sin 2 t , e3 1, t
pero de todas maneras una combinacion lineal de esos
elementos no lineales quede como sigue
e1 e2 (1)e3 0 por teorema de Pitagoras
es decir en la formula general
N
cn 0 y cn en 0 entonces son dependientes
n 1
tambien
ek (t ) t k , k 1, 2,.....N , &t
N
c t
k 1
k
k
N
c e
k 1
k k
0 son independientes se demuestra por induccion y derivadas en t 0
tambien
un ( ) e an
N
c e
k 1
k
ak
an son umeros distintos reales
N
c u
k 1
k
k
0 son independientes se demuestra por induccion