Transcript Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales
Dr. Rogerio
uno de los conjuntos mas importantes de las matemáticas
• Casi todas las matemáticas que han estudiado
están basadas en las propiedades de los
Reales
• Primero enfoque intuitivo ahora
• Enfoque axiomático
conjunto que contiene mas de un elemento y dos operaciones:
la adición y multiplicación ´+´ y ´.´
Las operaciones cumplen con los axiomas de:
i) la adición y la multiplicación
ii) orden
iii) completidad o complitud.
Axiomas sobre la adición y multiplicación
• Axiomas de CAMPO
• Cualquier conjunto que cumpla será un
campo
• Propiedades de CAMPO:
– Leyes conmutativas
– Leyes asociativas
– Leyes distributivas
– Elemento idéntico para cada operación
– Elementos inversos
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes
– Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Axiomas sobre la adición y multiplicación
I . Leyes conmutativas a, b 
ab  ba
a b  b a
II . Leyes asociativas a, b, c 
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (b  c)  (a  b)  c
III . Leyes distributivas a, b, c 
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)  izquierda
(b  c)  a  (b  a )  (c  a )  derecha
IV . Elemento idéntico a 
aditivo  e 
denotado 0  a  0  a  0  a
multiplicativo denotado 1  a 1  a  1  a
V .Elementos Inversos a 
aditivos  a´
denotado  a  a  (  a)  0  (  a)  a
multiplicativos  a  0 denotado a 1  a  a 1  1  a 1  a
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes
– Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Espacio lineal
o Espacio Vectorial lineal
o Espacio Vectorial
o Espacio Vectorial Lineal Real
o Espacio Vectorial Lineal Complejo
• Conjunto de elementos de cualquier tipo con
ciertas operaciones definidas
(suma y multiplicación por números
• Sea V un conjunto no vacío de objetos
llamados elementos donde se satisfacen 10
axiomas, el conjunto es llamado espacio lineal
Espacio lineal o Espacio Vectorial lineal
Cerradura
I . Cerrado bajo la adición, a, b  V , a  b  V
II .Cerrado bajo la multiplicación por números escalares (reales o complejos),
a  V y a  o ,
aa  V
Suma
III. Leyes conmutativas a, b  V , a  b  b  a
IV . Leyes asociativas a, b, c  V , a  (b  c )  (a  b)  c
V . Elemento idéntico a  V ,  e  V denotado 0  a  0  a  0  a
VI .Elemento Inverso a  V ,  a´
denotado  a  a  (a )  0  (a )  a
Multiplicación por escalares
VII . Asociativa a  a,b  , (ab)  a  a(b  a)
VIII .Distributiva para la adición en V, a, b V y a  a (a  b)  (a  a )  (a  b)
IX .Distributiva para la adición de escalares, a  V y a,b  (a+b) a  (a  a)  (b  a)
X .Elemento idéntico escalar a  V ,  e  denotado 1  1a  a
Ejemplos
1.
2.
3.
n
Espacio de funciones
4.Funciones reales
5.Polinomios
6.C (a, b)  Funciones continuas en el intervalo (a, b)
7.Funciones diferenciables en un punto dado
8.Funciones integrables en un intervalo
6.Soluciones de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Sub-Espacio Vectorial
Sub-Espacio Vectorial
• Dado un espacio vectorial V y sea S un
subconjunto de V , si S es tambien un espacio
vectorial con las mismas operaciones que V,
S es llamado sub-espacio de V.
Tma.
Sea S un subconjunto no vacío del espacio
vectorial,
S es sub-espacio  S satisface los axiomas de
cerradura.
Espacios Vectoriales Métricos o Normados
• Medimos en segmentos de línea:
– longitud
– Ángulos
• Producto interno (punto o escalar)
– No necesidad de fórmula explicita solo aximaticamente
 En un espacio vectorial V se define el producto interno si para cada par de sus elementos x, y
le corresponde un único número escalar ( x, y ) tal que x, y, z  V y c 
i )Conmutativo o simetría
 x, y    y , x 
ii ) Distributivo o linealidad
 x, y  z    x, y    x , z 
iii ) Asociativo u homegeneidad
c  x, y    cx, y 
iv)" positivez "
 x, x   0
si x  0
ESPACIO EUCLIDIANO
Espacios Euclidiano
Norma
x
 x, y 
2
cos  
 x, y 
x y
En un espacio Euclidiano dos elementos:
son ortogonales si su producto interno es cero.
son ortonormales si la norma de cada uno es unitaria.
Tma.
x, y, z  V y c 
la norma es tal que
i ) x  0 si x  0
ii ) x  0 si x  0
iii ) cx  c x
" positivez "
homegeneidad
iv) x  y  x  y desigualdad del triángulo
iv)  x, y   x  y desigualdad del Cauchy-Schwarz
ejemplos
producto punto
x  ( x1 ,....., xn ) y
y  ( y1 ,....., yn )
n
x y   xk yk
k
funciones
toman valores continuos
b
f , g   f ( x) g ( x)dx
a
Ortogonalidad
Un subconjunto S de V es llamado un conjunto ortogonal si
 x, y   0
para cada par x, y de elementos distintos en S
S es llamado conjunto ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma unitaria
Bases
Una combinación lineal de elementos en de V significa Intuitivamente
N
v   cn en
n 1
donde cn   v, en 
Tma.En un espacio Euclidiano, cada conjunto de elementos ortogonales no cero es independiente.
i.e. no se puede obtener uno del otro.
Ejemplo i.j =0
Generalizando
e1 ,......, eN  cn   em , en   0 lo que nos lleva a
N
c e
n 1
n n
0
N
pero si cn  0 y  cn vn  0 entonces son dependientes
n 1
BASES
Si son independientes y el espacio se puede generar
(todos los demas vectores son combinaciones lineales) a partir de solo ellos
entonces se llama base del espacio vetorial.
Si un espacio vectorial tiene una base de N elementos, N es la dimension de V
Y cualquier base tendra la misma cantidad de elementos
Bases ortogonales
En un espacio Euclidiano V , cada conjunto ortogonal de elementos no zero es independiente.
En particular, en un espacio de dimension finita dim V  n cada conjunto ortogonal de n elementos no zero es una base de V
Tma
Sea V un espacio de dimension n finita y suponga que S  e1 ,....., en  es una base ortogonal de V entonces
cualquier elemento x puede ser exprsado como una combinacion lineal del conjunto base, es decir,
n
x   ci ei
i 1
donde
cj 
 x, e 
e , e 
j
j
j
son las componentes de x
En particular si S  u1 ,....un  es ortonormal, entonces las componentes son
c j   x, u j 
Ejemplo
En el espacio lineal de funciones continuas C (0, 2 ) se define el conjunto
S  u0 , u1 , u2 ,.......
u0 ( )  1
u2 n 1 ( )  cos(n )
u2 n ( )  sin( n )
con n  1, 2,.......
y como  f , g  
2

f ( ) g ( ) d
0
entonces
S es ortogonal es decir, si n  m
2
 u ( )u
n
m
( ) d  0
0
y las normas de casa elemento son
2
 u0 , u0    d  2
0
2
 u2 n1 , u2 n1    cos 2 (n )d  
0
2
 u2 n , u2 n    sin 2 (n )d  
0
asi que podemos definir un conjuntoortonormal
u
S= 0 , 1 ,  2 ,....... con  n  n
un
0 
1
cos(n )
sin(n )
, 2 n 1 ( ) 
, 2 n ( ) 
,n 1
2


Con matrices
• El numero de renglones o columnas no
iguales implica el numero de la dimension
OBSERVACION
La combinacion lineal significa que los elementos de la base el no estan elevados a ninguna potencia
N
c e
n 1
0
n n
Pero eso no significa que en si, los elementos de la base esten definidos directamente como potencias,
por ejemplo
e1 (t )  cos 2 t , e2 (t )  sin 2 t , e3  1, t 
pero de todas maneras una combinacion lineal de esos
elementos no lineales quede como sigue
e1  e2  (1)e3  0  por teorema de Pitagoras
es decir en la formula general
N
cn  0 y  cn en  0 entonces son dependientes
n 1
tambien
ek (t )  t k , k  1, 2,.....N , &t 
N
c t
k 1
k
k
N
c e

k 1
k k
 0  son independientes  se demuestra por induccion y derivadas en t  0
tambien
un ( )  e an
N
c e
k 1
k
ak

an son umeros distintos reales
N
c u
k 1
k
k
 0  son independientes  se demuestra por induccion