Transcript mecánica cuántica

I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
Átomo de Rutherford (1911)
Átomo de Bohr (1913)
Hipótesis de de Broglie (1923)
Mecánica matricial (1924)
Heisenberg
Born, Jordan y Pauli
Mecánica ondulatoria (1925)
Schrödinger
Mecánica matricial.
Heiseberg.
Born, Jordan, Pauli
Mecánica
ondulatoria.
Schrödinger
Mecánica matricial
Heisenberg
Born, Jordan, Pauli
1925
Mecánica ondulatoria
Schrödinger
1926
Formulación general de la
Mecánica Cuántica
Dirac creo la formulación general de la
MECÁNICA CUÁNTICA
Estableció claramente
los fundamentos
matemáticos de la
Mecanica Cuántica
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una función
de onda   x , t  .
4. A toda variable dinámica B le
corresponde un operador
hermitiano Bˆ .
Los valores bi que puede tomar
la variable dinámica son los
valores propios del operador Bˆ ;
es decir, Bˆ  b 
i
i
i
5. (Principio de desarrollo)
Toda función de onda puede ser
desarrollada en términos de las
funciones propias i del
operador Aˆ asociado a alguna
variable dinámica A.
Un espacio vectorial es un conjunto V en el que hay
definidas dos operaciones:
suma + y multiplicación  por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Existe el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
1) x  y  V
2) rx  V
3) x  y  y  x
4)
 x  y  z  x   y  z 
5) x  0  x
6) x   1 x  0
7) r  sx    rs  x
8) rx  ry  r  x  y 
9) rx  sx   r  s  x
10) 1x  x
•Espacios vectoriales reales
•Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se
les denomina escalares. A los escalares los
denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les
llamaremos genéricamente vectores. A los vectores
los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
R
3
V   f :  a, b   R f continua
M  m  n   Matrices m  n
Sea V el conjunto de funciones continuas
definidas en el intervalo  a, b ;es decir,
V   f :  a, b   R f es continua en el intervalo
Sean f : R  R
entonces
y g:R R
 f  g  ( x)  f  x   g  x 
Sea c  R, entonces
cf  ( x)  cf  x 
Sean
f :  a, b   R  R
y g :  a, b   R  R.
Si f y g son continuas en el intervalo  a, b  ,
también lo es f  g y cf , donde c  R
Sea V el conjunto de funciones continuas definidas en el
intervalo  a, b .
V   f :  a, b   R f es continua en el intervalo
La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,
y ante bajo esas operaciones las funciones siguen siendo
continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas
operaciones.
Las demás propiedades son triviales.
V es un espacio vectorial.
Un conjunto
S   xi i  1, 2,..., k 
de elementos de un espacio vectorial V
es llamado independiente si cualquier
combinación lineal igual a cero implica
que todos los coeficientes son cero.
Es decir, si
k
c
x

0
ii
i 1
entonces necesariamente
ci  0 para toda i.
Un conjunto S de elementos de un espacio
vectorial V es llamado dependiente si hay
un conjunto de elementos diferentes en S ,
x1 , x2 ,..., xk
y un correspondiente conjunto de escalares
c1 , c2 ,..., ck
no todos cero, tales que
k
c x
i 1
i i
0
Un conjunto S de elementos de un espacio vectorial V es llamado
dependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en S ,
x1 , x2 ,..., xk y un correspondiente conjunto de escalares
k
c1 , c2 ,..., ck no todos cero, tales que
c x
i 1
i i
0
Sea c j  0, entonces
1
xj  
cj
k
c x
i 1
i j
i i
Dado un conjunto S   xi i  1, 2,..., k 
de elementos de un espacio vectorial V ,
al conjunto de vectores que se obtienen
como combinaciones lineales de los
elementos de S se le llama espacio
generado por S .
S   xi i  1, 2,..., k   V


v  V v   ai xi 
i 1


k
Una base de un espacio vectorial
es un conjunto de vectores
linealmente independientes que
genera el espacio.
Es decir, todo elemento del
espacio vectorial se puede
escribir como una combinación
lineal de los elementos de la base.
Es decir, todo elemento del espacio vectorial se puede
escribir como una combinación lineal de los elementos de la base.
Si el conjunto de vectores eˆ1 , eˆ2 , eˆ3 ,
, eˆn 
es una base, entonces para cualquier vector
tenemos
x  c1eˆ1  c2eˆ2  c3eˆ3 
 cn eˆn .
Los escalares c1 , c2 , c3 ,
, cn son las
componentes ó coordenadas del vector x
en la base eˆ1 , eˆ2 , eˆ3 ,
, eˆn 
La dimensión de un espacio
vectorial es el número de
elementos en cualquiera de
sus bases.
•Un espacio vectorial tiene dimensión
finita si tiene una base con un número
finito de vectores.
•En un espacio de dimensión finita
todas las bases tienen el mismo
número de elementos.
Sea V un espacio vectorial sobre los
complejos.
Se dice que V tiene un producto escalar
ó producto interno ó producto punto,
si para cualesquiera dos elementos x , y
en V se asocia un número complejo
único
 x, y .
x , y en V se asocia un número complejo único  x , y  .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:
Para cualesquiera x , y, z  V
y para cualquier escalar c  C ,
1)  x , y    y, x 
Simetría hermitiana
2)  x , y  z    x , y    x , z 
Distributividad o linealidad
3)  cx , y   c  x , y 
Asociatividad o homogeneidad
4)  x , x   0 si x  0
Positividad

Un espacio vectorial real que
tiene definido un producto
escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO
REAL
Un espacio vectorial complejo
que tiene definido un producto
escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO
COMPLEJO O ESPACIO
UNITARIO
Normalmente se dice
ESPACIO EUCLIDIANO
y punto, independientemente
del campo sobre el cual esté
definido.

2
L R    f : R  R


f g 


f
*

 f  x

2

dx   

 x  g  x  dx
En un espacio euclidiano V , todos los productos
escalares satisfacen la desigualdad de
Cauchy-Schwarz
 x, y 
2
  x , x  y, y 
para todos los x y y en V
La igualdad se cumple si y sólo si x y y son
dependientes.
En un espacio euclidiano V ,
se define el número no negativo
x   x, x 
1/2
y es llamado la norma de x.
En un espacio euclidiano V , todas las normas
tienen las siguientes propiedades:
(a) x  0 si x  0
(b) x  0 si x  0
(c) cx  c x
(d) x  y  x  y
La igualdad se cumple si x  0, si y  0 o
si y  cx para alguna c.
Todo espacio vectorial normado
es un espacio métrico.
La métrica la definimos como:
d  x, y   x  y
 Un espacio euclidiano es un
espacio normado.
 Un espacio euclidiano es un
espacio métrico.
En un espacio euclidiano real V , el ángulo entre
dos elementos no nulos, x , y, se define como el
número  en el intervalo  0,   que satisface la
ecuación
x, y 

cos 
x y
En un espacio euclidiano V ,
(a) dos elementos son ortogonales
si su producto escalar es cero
En un espacio euclidiano V ,
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es cero
(b) S  V es llamado ortogonal si  x , y   0
para todo par de elementos distintos en S
En un espacio euclidiano V ,
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es cero
(b) S  V es llamado ortogonal si  x , y   0 para
todo par de elementos distintos en S
(c) S  V es llamado ortonormal si además de ser
ortogonal, todos sus elementos tienen norma 1
En un espacio euclidiano V ,
todo conjunto S ortogonal
de elementos no nulos,
es linealmente independiente.
En un espacio euclidiano V ,
de dimensión finita n,
todo conjunto S ortogonal
de n elementos no nulos,
es una base.
Una base ortonormal de un
espacio vectorial es un
conjunto de vectores
ortonormales, que genera
el espacio.
Sea espacio euclidiano V de dimensión finita n,
y sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base ortogonal de V .
Todo elemento de V se puede escribir como
n
x   ci eˆi
i 1
donde c j
x , eˆ 


 eˆ , eˆ 
j
j
j
para
j  1,2,..., n
Sea espacio euclidiano V de dimensión finita n,
y sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base ortonormal de V .
Todo elemento de V se puede escribir como
n
x   ci eˆi
i 1
donde c j   x , eˆ j 
para
j  1,2,..., n
Sea espacio euclidiano V de dimensión finita n,
y sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base ortonormal de V .
n
 x , y     x, eˆi  y, eˆi 

i 1
Es decir,
n
 x, y    x y
i 1
*
i i
Sea espacio euclidiano V de dimensión finita n,
y sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base ortonormal de V .
n
 x , y     x, eˆi  y, eˆi 

i 1
En particular, si x  y, se tiene
n
n
2
ˆ
x    x , ei    xi
2
i 1
2
i 1
En un espacio métrico  X , d  ,
una sucesión  x1 , x2 , x3 ,...
es una sucesión de Cauchy,
si para cada   0, existe un entero positivo
N tal que para todos los números naturales
m, n  N ,
d  xm , xn    .
Un espacio métrico  X , d  es completo,
si toda sucesión de Cauchy en  X , d 
converge en  X , d  .
Un espacio métrico es separable si existe
una sucesión de Cauchy  x1 , x2 , x3 ,...
en dicho espacio tal que para todo
elemento x del espacio y para toda   0,
existe al menos un elemento de la
sucesión para el cual
x  xn  
Un espacio de Hilbert
es un espacio euclidiano
completo y separable.
Un espacio de Hilbert es un espacio
euclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial
2. Tiene un producto escalar
3. Es completo
4. Es separable


2
L R    f : R  R




f  x
2

dx   



2
3
3
3
L R    f : R  R

 f  x 
R3
2

dx   

S
F
S
Es una función entre dos espacios vectoriales S y S 
Un mapeo entre dos espacios vectoriales S y S 
A todo elemento del dominio S se le asigna un,
y sólo un, elemento del contradominio S 
F : S  S
Una función es un mapeo de R en R
Dominio
S
F
S
Dominio
S
Contradominio
F
S
Imagen o rango de S
S
S
F
F:R R
2
2
F  x, y    2 x  y , x  y 
Dominio: R
2
Contradominio o codominio: R
Imagen o rango: R
2
2
T :R R
2
3
T  x, y    x  y, x  y, xy 
 x, y   R
2
  x  y, x  y, xy   R
Dominio: R
2
Contradominio o codominio: R
Imagen o rango: R
3
3
3
T :R R
2
2
T  x, y    x  y , xy 
2
2
2
2
2
2
x
,
y

R

x

y
,
xy

R
 


Dominio: R 2
Contradominio o codominio: R
2
2
Imagen o rango: "La parte derecha de R "
C  a, b    f :  a, b   R f  existe y es continua
2
D : C  a, b   C  a, b 
2
df  x 
Df 
dx
2
Las transformaciones lineales,
mapeos lineales,
ó funciones lineales
es uno de los conceptos fundamentales
del álgebra lineal
Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo K
F : V  W un mapeo de V en W
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos u y v en V
y cualesquiera r y s en K , se tiene
F  ru  sv   rF  u   sF  v 
También se les llama HOMOMORFISMOS
F :R  R
2
2
F  x, y    2 x  y , x  y 
Dominio: R 2
Contradominio o codominio: R 2
Imagen o rango: R 2
Este mapeo es lineal
T :R  R
2
3
T  x, y    x  y , x  y , xy 
2
3
x
,
y

R

x

y
,
x

y
,
xy

R
 


Dominio: R 2
Contradominio o codominio: R 3
Imagen o rango: R 3
Este mapeo NO es lineal
T : R2  R2
T  x, y    x 2  y 2 , xy 
 x, y   R
2
  x  y , xy   R
2
2
2
Dominio: R 2
Contradominio o codominio: R 2
Imagen o rango: "La parte derecha de R 2 "
Este mapeo NO es lineal
C  a, b    f :  a, b   R f ´´ existe y es continua
2
D : C 2  a, b   C 2  a, b 
Df 
df  x 
dx
Este mapeo es lineal
Dados dos espacios vectorias, V y W ,
el conjunto de funciones lineales de V en W
es un espacio vectorial.
Normalmente se le denota L(V ;W ).
Es un subespacio vectorial del conjunto de
todos los mapeos de V en W .