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Jueves 16 de febrero
de 2012
Novena clase de 1:30
horas.
Van 12:00 horas
I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal
Si
†
T
x
,
y

x
,
T
      y 
para todo
x, y  V
es la transformación adjunta o hermitiana de T
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal
Si
 T  x  , y    x, T  y  
para todo
x, y  V
la transformación T es hermitiana
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal
Si
 T  x  , y     x, T  y  
la transformación T es
para todo
x, y  V
antihermitiana


  f :  a, b   C f es infinitamente diferenciable y f  a   f  b 

b
Producto escalar:
 f , g    f  x  g *  x  dx
a
 es un espacio euclidiano
Definimos la transformación lineal:
D:  
D f   f 


  f :  a, b   C f es infinitamente diferenciable y f  a   f  b 

b
 f , g    f  x  g *  x  dx
Producto escalar:
D f   f 
D:  
a
 *
d
 D  f  , g     dx f  x  g  x  dx 

a 
b
*

d
 f  b  g  b   f  a  g  a    f  x   g  x   dx

 dx
a
b
*
*
*

d
   f  x   g  x   dx    f , D  g  

 dx
a
b
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal
 es un valor propio y x es el vector propio.
a) Si T es hermitiana,  es real:   

b) Si T es antihermitiana,  es imaginario
puro:   

Sea e1 ,..., en  una base ortonormal de V  E
Sea T : V  E  E lineal
Sea A   aij  la representación matricial de T
respecto a la base e1 ,..., en 
a) T es hermitiana si y sólo si aij  a*ji
para toda i y para toda j
b) T es antihermitiana si y sólo si aij  a*ji
para toda i y para toda j
Sea e1 ,..., en  una base ortonormal de V  E
Sea T : V  E  E lineal
Sea A   aij  la representación matricial de T respecto
a la base e1 ,..., en 
a) T es hermitiana si y sólo si A es autoadjunta o
ó hermitiana, es decir, A†  A
b) T es antihermitiana si y sólo si A es antihermitiana,
es decir, A†   A
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal
Si T es hermitiana ó antihermitiana, y  y 
son valores propios distintos con vectores
propios x y y, entonces x y y son ortogonales:
 x, y   0
Sea E un espacio euclidiano
T :V  E  E
T lineal y dimV  n
Si T es hermitiana ó antihermitiana,
entonces existen n vectores propios
u1 ,..., un de T , que forman una base
ortonormal de V .
Sea E un espacio euclidiano T : V  E  E
T lineal y dimV  n
Si T es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen n
vectores propios u1 ,..., un de T , que forman una base ortonormal de V .
La matriz de T relativa a esta base es
=diag  1,..., n 
donde k es el valor propio
correspondiente al vector propio uk
Toda matriz cuadrada
A   aij 
hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal
=diag  1 ,..., n 
de sus valores propios.
Toda matriz cuadrada A   aij  hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal =diag  1 ,..., n  de sus valores propios.
1
La matriz C que la diagonaliza,   C AC , es
i) La formada por los vectores propios
normalizados
ii) La matriz C es no singular y es unitaria,
es decir,
1
C C .
†
Transformaciones
lineales
Matrices
Transformaciones
lineales
Matrices
Sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base de V .
Sea L : V  W una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a L es:
A   a1 , a2 , a3 ,..., an 
donde
ai  L  eˆi 
Sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base de V .
Sea L : V  W una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a L es:
A   a1 , a2 , a3 ,..., an 
donde
ai  L  eˆi 
Las columnas de la matriz A, son los
transformados de los vectores de la base.
F :R  R
2
2
F  x, y    2 x  y , x  y 
Dominio: R 2
Contradominio o codominio: R 2
Imagen o rango: R 2
Este mapeo es lineal
F :R  R
2
F  x, y    2 x  y , x  y 
2
F 1, 0    2,1
F  0,1   1,1
 2 1 
A

1 1 
F  x, y    2 x  y , x  y 
F : R2  R2
F 1, 0    2,1
1
0
F  0,1   1,1
0  F 1, 0   1 0   2 1  2
1 F 1, 0    0 1  2 1  1
1 0  F  0,1  1 0   1 1  1
 0 1 F  0,1   0 1  1 1  1
2
A
1
1

1
F  x, y    2 x  y , x  y 
F : R2  R2
F 1, 0    2,1
F  0,1   1,1
 2
1 0  F 1, 0   1 0     2
1
 2
 0 1 F 1, 0    0 1    1
1
 1
1 0  F  0,1  1 0     1
1
 1
 0 1 F  0,1   0 1    1
1
 2 1 
A

1
1


Sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base de V .
Sea L : V  W una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a L es:
A   a1 , a2 , a3 ,..., an 
donde
ai  L  eˆi 
Las columnas de la matriz A, son los
transformados de los vectores de la base.
Sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base de V .
Sea L : V  W una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a L es:
A   a1 , a2 , a3 ,..., an 
donde ai  L  eˆi 
El escalar  eˆ j , ai  es el elemento aij
de la matriz correspondiente a la
transformación L.
Sea S  eˆ1 ,..., eˆn  una base de V .
Sea L : V  W una transformación lineal.
Entonces la matriz asociada a L es:
A   a1 , a2 , a3 ,..., an 
donde ai  L  eˆi 
El escalar  eˆ j , Leˆi  es el elemento aij
de la matriz correspondiente a la
transformación L.
I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Advanced Quantum Theory
Paul Roman
Addison-Wesley, 1965
ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una función
de onda   x , t  .
La función de onda es un vector
en un espacio de Hilbert.
3. (La hipótesis de Born) El cuadrado
de la función de onda,
  x, t 

 x, t     x, t 
2
es la densidad de probabilidad del
sistema.
3. El cuadrado de la función de onda,
  x, t 

 x, t     x, t 
2
es la densidad de probabilidad del sistema.
  x, t 
2
Probabilidad de encontrar a la partícula 
dx  

entre x y x  dx, al tiempo t

Para una partícula en un estado  ,
la probabilidad de que esté entre
a y b es entonces
b
Prob(a  x  b)  t      x, t  dx
a
2
Para una partícula en un estado  , la probabilidad de que esté
b
entre a y b es entonces Prob(a  x  b)  t      x, t  dx
2
a
Es claro, que se tiene que tener
Prob   x   

   x, t 

2
dx  1
Un espacio de Hilbert es un espacio
euclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial
2. Tiene un producto escalar
3. Es completo
4. Es separable


2
L  aa, b    f :  a, b   R  C


b
 f  x
a
2


dx   


Sean f : R  C
entonces
y
g:R C
 f  g  ( x)  f  x   g  x 
Sea c  C, entonces
cf  ( x)  cf  x 
b


2

2
L  aa, b    f :  a, b   R  C  f  x  dx   


a
L  a, b es un espacio vectorial
2
Sean f , g  L  aa, b  ,
2
definimos
b
 f , g    f  x  g  x  dx
*
a
Sean f , g  L2  aa, b  ,definimos
b
*
f
,
g

f
    x  g  x  dx
a
Sean f  L  aa, b  ,
2
b
b
 f , f    f  x  f  x  dx   f  x 
*
a
a
2
dx
En un espacio euclidiano V , todos los
productos escalares satisfacen la
desigualdad de Cauchy-Schwarz
 x, y 
2
  x , x  y, y 
para todos los x y y en V
La igualdad se cumple si y sólo si x y y son
dependientes.
En un espacio euclidiano V , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad
de Cauchy-Schwarz
 x, y 
2
  x , x  y, y  para todos los x y y en V .
Sean f , g  L2  aa, b  ,
 f ,g
2
b

b
 f  x  g  x  dx   f  x 
*
a
a
2
b
dx   g  x  dx  
a
2
b


2

2
L  aa, b    f :  a, b   R  C  f  x  dx   


a
es un espacio vectorial
Con la definición de producto escalar
b
 f , g    f  x  g  x  dx
*
a
es un espacio euclidiano
b


2

2
L  aa, b    f :  a, b   R  C  f  x  dx   


a
b
es un espacio euclidiano con  f , g    f
*
 x  g  x  dx
a
¿Es este espacio completo?
El teorema de Riesz-Fischer lo afirma

2
L  aa, b    f :  a, b  R  C

b
 f  x
a
b
con el producto escalar  f , g    f
a
es un espacio de Hilbert
*
2

dx   

 x  g  x  dx
Para este tipo de espacio de Hilbert
se puede encontrar una base ortonormal
infinita numerable i ; i  1, 2,3,
es decir,
b
k , l    k  x l  x  dx   kl
*
a
;
Si f  L  aa, b  , entonces
2

f    k k
k 1
donde
b
 k   k , f      x  f  x  dx
*
k
a
n
Sea f n    k k . Entonces
k 1

f    k k
k 1
si
f  f n   para n  N   
Si

f    kk
k 1
para toda f en el espacio
entonces se dice que el conjunto
i ; i  1, 2,3, 
es completo.
Si f  L  aa, b  , entonces
2

f    k k
k 1
donde
b
 k   k , f      x  f  x  dx
*
k
a

Si f  L2  aa, b  , entonces f  x    kk  x 
k 1
b
donde  k  k , f    k*  x '  f  x '  dx '
a



k , f    k ,   j j  x   
j 1




j 1
j 1
   j k ,  j     j jk   k

Si f  L2  aa, b  ,entonces f  x    kk  x 
k 1
b
donde  k  k , f    k*  x ' f  x ' dx '
a
b
b 

a
a k 1
l 1
*
* *
f
,
g

f
x
g
x
dx


      
  kk  x  ll  x dx


b
   k* l  k*  x  l  x  dx
k 1 l 1

a


   l kl     k
k 1 l 1
*
k
k 1
*
k

Si f  L  aa, b  , entonces f  x    kk  x 
2
k 1
b
donde  k  k , f    k*  x '  f  x '  dx '
a

 b
k 1
k 1 a
f  x     kk  x     k*  x ' f  x '  dx 'k  x 

b
  f  x '  
k 1
a
b
*
k
 x ' k  x dx '   f  x '   x  x ' dx '


   x '   x     x  x '
k 1
*
k
k
a
Se dice que un conjunto ortonormal
de funciones es completo, si se
satisface la relación

   x '   x     x  x '
k 1
*
k
k

  x  
 0
x0
x0

  x  
 0
x0
x0


x
dx

1





 f  x    x  x  dx  f  x 
0

0
Hˆ   E


2



V
r

r

E

r








 2m

2
 2 2

  V  r    r   E  r 

 2m

Una dimensión y V  0

d 

x

E

x






2
 2m dx 
2
2

d   x
2
2
2m
dx
2
 E  x 
d   x
2
 k   x 
2
dx
2
1  x   Ae
ikx
2  x   Be
ikx
1  x   Aeikx

   x    x  dx 
*
k
k

A
2

e
2  x   Beikx
 ikx  ik x
e

En particular, si k  k  tenemos

   x    x  dx 
*
k

k

A
2
 dx  


dx  A
2
e

 i  k  k  x
dx
Si el rango sobre el cual el espacio
está definido es infinito
   x    el espacio de Hilbert
no es separable; es decir, no existe
una base infinita numerable.
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito    x    el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
En ese caso denotaremos
las funciones base como
  k;

donde k es continuo y varía
de   a  .
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito    x    el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
En el punto x el valor de
las funciones de la base
  k;

se denotará
  k; x .
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito    x    el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
La condición de completez se escribe


k
;
x

k
;
x
'
dk


x

x
'







*

En este caso las funciones de onda no se pueden
normalizar.
Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac
  k ;  ,   k ;

      k ; x    k '; x  dx    k  k '
*

Sea f una función del espacio.
Entonces

f 

k

k
;
dk






donde

  k     k ;  , f      k ; x  f  x  dx
*

f 




*

k

k
;
dk
;

k


k
;
,
f













  k; x  f  x  dx


  k ;  , f      k ;  ,    k '   k ';




 dk '  dk  k '   k ';    k ; 
*





 dk '  k '  dk  k ;    k '; 
*





 dk '  k '   k ' k     k 


 dk ' 

f 
g




*

k

k
;
dk
;

k


k
;
,
f













  k ; x  f  x  dx




*

k

k
;
dk
;

k


k
;
,
g











   k ; x  g  x  dx


 f , g      k    k  dk
*

f 




*

k

k
;
dk
;

k


k
;
,
f


        k; x  f  x  dx
    


 f , f      k   k  dk     k 
*


2
dk
1  x   Aeikx

   x    x  dx 
*
k
k

A
2

e
2  x   Beikx
 ikx  ik x
e

En particular, si k  k  tenemos

   x    x  dx 
*
k

k

A
2
 dx  


dx  A
2
e

 i  k  k  x
dx
Transformada de Fourier:
F    F
f 

1
2
 f  xe
i x
dx

Transformada inversa de Fourier:
f  x F
1
F  
1
2

 F   e

 i x
d
f  x   A exp    x 2  ;
A 1
 1
xR
f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F
F    F
f 
A
2
xR
f 

e

1
2


f  x  ei x dx

  x2 i x
e dx
f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F
F    F
f 
A
2

e
 x

 2 
2
  x  i x     x  i


2

  2
   x  i  
2  4

2
i x
xR
f 
e dx 
A
2

1
2


f  x  ei x dx

e
  x 2  i x
dx

 2 

2  2
x     x  i x  2  


4  4


f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F
A
F    F  f  
2
A
F   
2

e


e

  x 2  i x
xR
f 
1
2



A
e dx 
2
  x 2 i x
2

4 
Ae
dx 
2
e

f  x  ei x dx

e
  x 2  i x


 
   x i 
2 

2
dx
dx
f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F

e


 
   x i

2



xR
f 
1
2


f  x  ei x dx

2
dx


  xi
2

e


  2

d 

;
d   dx
f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F
2

4 
Ae
2
2

4
Ae
2
e
xR
f 

 
   x i

2



1
2
2
dx

2

4
 Ae


2



f  x  ei x dx
f  x   A exp    x 2  ;
Transformada de Fourier: F    F
F  A exp    x   
2
xR
f 
1
2


f  x  ei x dx

  
exp  

2
 4 
A
2
La transformada de Fourier de una gaussiana
es otra gaussiana
F    F exp   x 2  
 2 
exp  

2
 4 
1
F    F exp  10 x 2  
 2 
exp   
20
 40 
1
F    F exp  100 x 2  
 2 
exp  

200
 400 
1
F    F exp  1000 x 2  
 2 
exp  

2000
 4000 
1


x

x

x
dx


x






0
0


F   x   
F
1
2
1  2  
Nota: Estas "funciones" no satisfacen las
condiciones que hemos impuesto para la
existencia de la transformada de Fourier.
No son funciones, son distribuciones.