Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas
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Transcript Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas
Modelo de formación de imágenes a
través de pantallas de fase
compensadas
Manuel Pérez Cagigal
Grupo de Optica. Universidad de Cantabria
ESPAÑA
La resolución astronómica en un
telescopio está limitada por :
Errores
de diseño y manufactura
Límite difraccional
Distorsiones introducidas por la atmósfera
2
Sistemas de OA
Frente de onda plano
Atmósfera
Frente de onda
distorsionado
Sistema de
detección
Espejo
deformable
Frente de onda compensado
Sensor de
frente de
onda
3
Ejemplos
LARGA
CORTA EXPOSICION
Distorsión
atmosférica
Compensación
parcial
4
EFECTO DE LA COMPENSACION
5
OBJETIVOS:
Descripción de la pantalla de fase distorsionada y
compensada
Modelo de proceso de formación de imágenes
6
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Caso no-Gauss.
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
7
MODELO DE ATMOSFERA
ATMOSFERA = PANTALLA DE FASE
r0
Parámetro de
Fried
Ddiámetro del telescopio
8
FRENTE DE ONDA CORREGIDO
ATMOSFERA+ COMPENSACION = PANTALLA FASE
Parámetro de Fried
generalizado
r0
D diámetro del telescopio
9
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana
con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de
onda: Dj.
2
1
P( )
exp
2D j
2D j
TF
D j 2
M ( ) exp
2
10
P( )
ESTADISTICA DE LA FASE
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
( rad)
11
VARIANZA DE LA FASE
Descomposición en polinomios de Zernike :
( r , ) a i Z i ( r , )
i
Dj
2
a
i
i j1
Varianza de la fase (D/r 0)5/3
100
10
1
0.1
1
10
100
Número de modos corregidos
12
FUNCION DE ESTRUCTURA
( (r r ) (r)2
100
(r/r0)5/3
2
D (rad )
D ( r )
2Dj
10
2Dj´
1
(r/r0)5/3
0.1
0.01
lc´
l
0.1 c
1
r (D units)
13
LONGITUD DE CORRELACION
lc no depende de las condiciones atmosféricas
lc = 0.286 j-0.362 D
0.25
l c ( D units)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
25
50
75
100
125
Número de polinomios corregidos
14
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
lc
6.88
r0
5/3
2D j
r0
3.44
coef(j)
3/ 5
0.286 j0.362 r0
15
PARAMETERO GENERALIZADO DE FRIED
Igual a r0 pero en compensación parcial:
- Función de estructura
- Tamaño de celda en F.O.
- Tamaño del halo en PSF
16
D APROXIMADA
Modelo aproximado de la función de estructura:
2
D (rad )
100
10
1
(r/r0
2Dj
)5/3
lc
0.1
0.01
0.1
1
r (D units)
17
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
1.- P(I)
2.- P(n)
3.- SR
4.- SNR
5.- Dj
6.- PSF
7.- Ganancia
8.- Simulación
9.- Experimento
18
FORMACION DE IMÁGENES
Amplitud del C.E.: suma de un gran número de
contribuciones elementales.
N
Ar k cos k
Frente de onda
k
N
Ai k sin k
k
Plano imagen
19
PROBABILIDAD CONJUNTA de Ar y Ai
Aplicando el teorema del límite central:
( Ar Ar ) 2
Ai2
p ( Ar , Ai )
exp
2
2
2 r i
r
i
1
Donde:
Ar N M (1)
r2
i2
2
2
2
2
1 M (2)
2
M 2 (1)
1 M (2)
20
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana
con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de
onda: Dj.
2
1
P( )
exp
2D j
2D j
TF
D j 2
M ( ) exp
2
21
1. PDF DE LA INTENSIDAD
De p(Ar,Ai) :
Ar I cos
Ai I sin
( I cos θ A )2
2
I sin θ
1
r
p (I )
exp
d
2πσ σ
σ2
σ 2
r i
r
i
INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración
numérica
(Speckle statistics in partially corrected wavefronts. Cagigal, Canales. OL 1998)
22
Camino aleatorio + fasor const.
En compensación
parcial:
Rician P(I)
Ai
Ai
Ar
Ar
<Ar>
S
23
DISTRIBUCION DE RICE
Aproximación de P(I):
I a2 a I
I0 2
P( I )
exp
2
2
2
2
1
Se igualan medias y varianzas
2 2
2
a
24
(Rician distribution to describe spec kle statistics in adaptive optics. Canales, Cagigal. AO 1999)
PARAMETROS APROXIMADOS
Los parámetros se pueden aproximar por:
a 2 N M( 1 )2 I
P
2σ 2 1 M( 1 )2 I
P
22: energía en el halo
a2: energía coherente
25
EXTENSION AL PLANO COMPLETO
Del teorema de desplazamiento:
P(x,y)
2
xD
yD
D j ( x, y ) D j (0,0)
2f
2f
2
2
2 a ( x, y) 2 I
1
I
a
(
x
,
y
)
I0
p( I )
exp
I ( x, y) a ( x, y) 2 I ( x, y) a ( x, y) 2
I ( x, y) a ( x, y) 2
26
2. DISTRIBUCION DE FOTONES
La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I):
P ( n)
(2σ
2 n
(1 2σ
2 n 1
a2
exp
2
1
2
σ
a2
L n 2
2
2
σ
1
2
σ
(
27
(Photon statistics in compensated wavefronts. Canales, Cagigal. JOSA 1999)
3. COCIENTE DE STREHL, SR
El cociente de Strehl se puede derivar en función de
parámetros conocidos:
SR
Ar
2
r2 i2
1 ( N 1) e
SR
N
D j
28
SR DESDE EL HALO
El radio del halo se define como:
6.00E-03
RHALO
2
I HALO( x )dx RHALO I HALO(0)
PSF
4.00E-03
2.00E-03
imagen
0.00E+00
x (32
l /D)
0
64
Desde el halo del PSF halo:
SR
(
1
-D j
2
(
1
D
/
r
1
e
0
(D / r0 2
29
COMPARACION ENTRE SR
Comparando ambas expresiones del SR:
1. Número de celdas
r0 = diámetro de la celda
Baja compensación
2. SR
(r0/D)2
D
N
r
0
2
Alta compensación
exp(-Dj)
30
4. SNR
I
SNR
I
1 ( N 1) e
1 (2N - 2)e
-D j
-D j
( 2 4 N )e
-2 D j
0(e
-3 D j
)
3
SNR
2
1
0
0
4
r
8
12
31
5. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Desde la función de estructura y el modelo de imagen:
σ 2
3.44 lc
SR exp( σ ) 2
D
1 exp( σ 2 )
2
1 / 2
5/3
(Residual phase variance in partial correction. Canales, Cagigal.JOSA 2000)
32
ESTIMACION DE LA V.R.F.
Sustituyendo la long. de correlación:
σ 2
3.44 0.286 j0.362
SR exp( σ )
2
1 exp( σ )
2
1 / 2
5/3
Para baja compensación:
σ 2
0.286 j0.362
3.44
1/ 2
SR
5/3
33
6. PSF APROXIMADA
Modelo aproximado de la PSF:
0.015
OTF (r )
1
OTFTEL (r ) exp D (r )
2
PSF
0.01
0.005
0
0
PSF ( x) TF
x (32
l /D)
64
5/3
r
OTFTEL (r ) exp ( D j exp 3.44
exp ( D j r l c
r 0
OTF (r ) exp ( D
r lc
TEL
j
34
7. GANANCIA
Ganancia del sistema :
G = Ic /I halo
La intensidad media en el halo es:
I halo
La intensidad en el pico coherente es:
Ic
ET 1 exp ( D j
(lf
/ 2l corr
2
ET exp ( D j
(lf / 2 D 2
35
(Gain estimates for exoplanet detection with adaptative optics. Canales, Cagigal A&A 2000)
GANANCIA
G
Δ
exp
j
1 exp
Δ j
Tiempo de integration
(horas)
Ganancia
8,E+05
6,E+05
4,E+05
2,E+05
0,E+00
D
l
corr
2
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
0
4000
8000
Numero de actuadores
12000
0
2500
5000
7500 10000
Numero de actuadores
36
8. SIMULACION POR COMPUTADOR
Simulamos pantallas de fase compensadas
siguiendo el procedimiento de N. Roddier.
• Cumple la estadística de la atmósfera
• Fácil de introducir la compensación
• Calculo rápido
37
38
ESTADÍSTICA DE LA FASE
ESTADISTICA DE INTENSIDAD
SNR
0.4
0.3
0.3
p(I)
p(I)
0.2
0.2
0.1
0.1
P( )
3
0
0
0
0.0025
0.005
0.0075
0
0.006
0.012
0.018
I
I
2
0.2
1
p(I)
p(I)
0.2
0.1
0.3
SNR
0.3
-3.14
-1.57
0
0
0
0
0.025
1.57
0
0.05
I
0.075
3.14
0.1
0
0.1
0.5
1
x ( l /D)
0
0.1
0.2
I
1.5
0.3
0.4
39
ESTADISTICA DE FOTONES
0.2
0.3
ANALISIS
DE LA PSF
0.05
0.1
P(n)
P(n)
0.15
0.2
0.1
0
0
0
5
10
0.003
15
20
0
0.003
10
5
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
15
20
n
PSF
0.002
0.001
0.002
0.001
0.6
0
20
40
x ( l /D)
60
P(n)
0
0
0.480
0
20
40
60
80
x ( l/ D)
0.2
0
5
10
0.015
15
20
0
5
10
0.12
15
20
n
n
0.01
0.08
PSF
0
PSF
P(n)
PSF
n
0.005
0.04
0
0
20
40
x ( l /D)
60
80
0
0
20
40
60
80
x ( l /D)
40
PSF
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
x ( l /D)
41
9. EXPERIMENTO
PC1
F. de O.
CORREGIDO
PROYECTOR
CCD
Laser
P1 LCD2
P2
42
IMAGENES
43
0.1
0.1
0.075
0.075
P(I)
P(I)
ESTADISTICA DE LA INTENSIDAD
0.05
0.05
0.025
0.025
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0.1
0.2
0.4
I
0.75
0.6
0.5
0.4
P(I)
P(I)
I
0.3
0.25
0
0.2
0
0
0.05
I
0.1
0
0.05
0.1
I
44
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
45
I.1 ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
Número de celdas= (D / r0)2
Parámetro de Fried
generalizado
r0
D diámetro del telescopio
(Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001)
46
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
La función característica de N celdas es:
N
N
~
C (U ) exp( j k U cos( i ) J 0 (aU ) j k J k (aU ) exp( k 2 D2j )
k 1
1
1
La distribución de probabilidad del c.e.:
1
~
~~ N
k
2 2 2
P ( A)
exp( jUA) J 0 (aU ) j J k (aU ) exp( k D j ) d U
2
4
k 1
1
47
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
2,5
P(I)
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
I/<I>
48
I.2. AREA ISOPLANATICA
iso
h
r0
h
Pupila Telescopio
Sin compensación:
r0
0 0.314(cos )
h
Con compensación:
0 0.314(cos )
r0
h
49
AREA ISOPLANATICA
Dependencia del número de polinomios corregidos:
0 0.314(cos )
r0
h
3.44
coef(j)
3/ 5
0.286 j0.362
0 ( unid. arb. )
0,1
0,075
0,05
0,025
0
0
25
50
75
Numero de polinomios corregidos
100
50
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
51
II.1. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Fuentes de error:
- Resolución finita: espacial y temporal
- Ruido
de fotones
Valor
instantáneo
de Dj es útil para:
- Anisoplanatismo
A. Calibrar el sistema
- Scintillation
B. Estadística instantánea de fotones
- Retraso entre sensado y compensación
C. PSF instantáneas
52
A. ESTIMACION DE LA V.R.F
B. ESTADISTICA INTENSIDAD
1000
C.
PSF INSTANTANEAS 0.3
0.3
0.2
100
P(I)
P(I)
2
(
rad
)
0.2
0.1
2
0.1
0
0.015
10
0
0.02
0.04
I
PSF
1
0
0.2
0
0.06
0
0.05
0.15
0.2
I
0.01
25
0.1
50
750.2
100
0.1
P(I)
P(I)
0.005
Number of corrected modes
0.1
20
0
0
0
0
0.2
0.4
I
00.6
40 0.2
x ( l /D)
0
60 0.4
80
0.6
I
53
II.2. DETECCION DE EXOPLANETAS
Desviaciones de:
- P(n)
-Transformada de Fourier o Laplace de P(n)
- n(2), g(2)...
SNR
no
N
n*
54
GANANCIA
G(Δ j )
ρ 02 (Δ j )e
D 2 (1 e
Tiempo de integracion
(horas)
Ganancia
8,E+05
6,E+05
4,E+05
2,E+05
Δ j
Δ j
)
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
0,E+00
0
4000
8000
Numero de actuadores
12000
0
2500
5000 7500 10000
Numero de actuadores
55
INTERFEROMETRO DE NULO
I * D2r D2i
2 r2 2 i2
Intensidad
1,E+00
1,E-02
1,E-04
1,E-06
1,E+00
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
Núm ero de m odos corregidos
56
INTERFEROMETRO DE NULO
S / N I 0 n(1 2 I * D j ( x, y )
Tiempo de integración
(horas)
6
S/N
4
2
0
0
2500
5000
7500
Numero de modos corregidos
10000
1/ 2
1000
100
10
1
0
20000
40000
60000
Numero de modos corregidos
57
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
58
DISTRIBUCION DE FASE
1
0,5
0,25
0,4
0
-4
-2
0
2
0,3
4
P( )
P( )
0,75
0,2
0,1
0
-30
-10
10
30
59
100
100
10
10
1
1
D
D
FUNCION DE ESTRUCTURA
0,1
0,1
0,01
0,01
0,001
0,001
0,01
0,1
0,01
1
100
10
10
1
1
D
D
100
0,1
0,01
0,01
0,001
0,001
0,01
0,1
r
1
1
r
r
0,1
0,1
0,01
0,1
1
r
60
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
1,2
0,4
0,8
0,3
0,4
0,2
0
0,1
Longitud de correlacion (D
units)
r0
LONGITUD DE CARACTERISTICOS
CORRELACION
PARAMETROS
1,6
2
3
4
5
6
0
Numero de modos corregidos
2
3
4
5
7
6
7
Numero de modos corregidos
61
MODELO DE F. DE ESTRUCTURA
D ( r )
1.55
r
0.63
r0
2D
j
r lc
r l
c
1,E+02
1,E+02
1,E+01
1,E+01
D
D
1,E+00
1,E-01
1,E+00
1,E-02
1,E-01
0,01
0,1
r
1
1,E-03
0,01
0,1
1
r
62
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
PSF
PSF
PSF MODELO-EXPERIMENTAL
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
50
60
x
70
80
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
PSF
PSF
0,4
0,4
0,2
0,0
0,0
60
x
70
80
60
x
70
80
50
60
x
70
80
0,4
0,2
50
50
63
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gauss.
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
64