Transcript Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas

Modelo de formación de imágenes a
través de pantallas de fase
compensadas
Manuel Pérez Cagigal
Grupo de Optica. Universidad de Cantabria
ESPAÑA
La resolución astronómica en un
telescopio está limitada por :
 Errores
de diseño y manufactura
 Límite difraccional
 Distorsiones introducidas por la atmósfera
2
Sistemas de OA
Frente de onda plano
Atmósfera
Frente de onda
distorsionado
Sistema de
detección
Espejo
deformable
Frente de onda compensado
Sensor de
frente de
onda
3
Ejemplos
LARGA
CORTA EXPOSICION
Distorsión
atmosférica
Compensación
parcial
4
EFECTO DE LA COMPENSACION
5
OBJETIVOS:
Descripción de la pantalla de fase distorsionada y
compensada
Modelo de proceso de formación de imágenes
6
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Caso no-Gauss.
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
7
MODELO DE ATMOSFERA
ATMOSFERA = PANTALLA DE FASE
r0
Parámetro de
Fried
Ddiámetro del telescopio
8
FRENTE DE ONDA CORREGIDO
ATMOSFERA+ COMPENSACION = PANTALLA FASE
Parámetro de Fried
generalizado
r0
D diámetro del telescopio
9
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana
con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de
onda: Dj.
 2
1
P( ) 
exp  
 2D j
2D j






TF
 D j 2 

M  ( )  exp  

2 

10
P(  )
ESTADISTICA DE LA FASE
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
 ( rad)
11
VARIANZA DE LA FASE
Descomposición en polinomios de Zernike :

 ( r , )   a i Z i ( r , )

i
Dj 

2

a
 i 
i  j1
Varianza de la fase (D/r 0)5/3
100
10
1
0.1
1
10
100
Número de modos corregidos
12
FUNCION DE ESTRUCTURA
( (r  r )   (r)2
100
(r/r0)5/3
2
D  (rad )

D ( r ) 
2Dj
10
2Dj´
1
(r/r0)5/3
0.1
0.01
lc´
l
0.1 c
1
r (D units)
13
LONGITUD DE CORRELACION
lc no depende de las condiciones atmosféricas
lc = 0.286 j-0.362 D
0.25
l c ( D units)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
25
50
75
100
125
Número de polinomios corregidos
14
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
 lc 
6.88  
 r0 
5/3
 2D j
r0
 3.44 

 
 coef(j) 
3/ 5
0.286 j0.362 r0
15
PARAMETERO GENERALIZADO DE FRIED
Igual a r0 pero en compensación parcial:
- Función de estructura
- Tamaño de celda en F.O.
- Tamaño del halo en PSF
16
D APROXIMADA
Modelo aproximado de la función de estructura:
2
D  (rad )
100
10
1
(r/r0
2Dj
)5/3
lc
0.1
0.01
0.1
1
r (D units)
17
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
1.- P(I)
2.- P(n)
3.- SR
4.- SNR
5.- Dj
6.- PSF
7.- Ganancia
8.- Simulación
9.- Experimento
18
FORMACION DE IMÁGENES
Amplitud del C.E.: suma de un gran número de
contribuciones elementales.
N
Ar    k cos  k
Frente de onda
k
N
Ai    k sin  k
k
Plano imagen
19
PROBABILIDAD CONJUNTA de Ar y Ai
Aplicando el teorema del límite central:
  ( Ar   Ar ) 2
Ai2 
p ( Ar , Ai ) 
exp  
 2 
2
2 r i
r
 i 
 
1
Donde:









Ar  N  M  (1)
 r2 
 i2 
2
2
2
2
1 M  (2)  
2
M 2 (1)
1 M  (2)
20
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana
con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de
onda: Dj.
 2
1
P( ) 
exp  
 2D j
2D j






TF
 D j 2 

M  ( )  exp  

2 

21
1. PDF DE LA INTENSIDAD
De p(Ar,Ai) :
Ar  I cos
Ai  I sin 
  ( I cos θ   A  )2

2


I sin θ 
1
r
p (I )  
exp  

d


 2πσ σ
σ2
σ 2 
r i
 
r
i

INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración
numérica
(Speckle statistics in partially corrected wavefronts. Cagigal, Canales. OL 1998)
22
Camino aleatorio + fasor const.
En compensación
parcial:
Rician P(I)
Ai
Ai
Ar
Ar
<Ar>
S
23
DISTRIBUCION DE RICE
Aproximación de P(I):
 I  a2   a I
 I0  2
P( I ) 
exp 
2
2 

2
 2   
1
Se igualan medias y varianzas





 2 2
 2
 a
24
(Rician distribution to describe spec kle statistics in adaptive optics. Canales, Cagigal. AO 1999)
PARAMETROS APROXIMADOS
Los parámetros se pueden aproximar por:
a 2  N M( 1 )2 I
P
2σ 2  1  M( 1 )2  I

 P
22: energía en el halo
a2: energía coherente
25
EXTENSION AL PLANO COMPLETO
Del teorema de desplazamiento:
P(x,y)
2
 xD 
 yD 
  

D j ( x, y )  D j (0,0)  
2f 
2f 
2
2

  2 a ( x, y) 2 I 
1
I

a
(
x
,
y
)


 I0 
p( I ) 
exp
 I ( x, y)  a ( x, y) 2   I ( x, y)  a ( x, y) 2 
I ( x, y)  a ( x, y) 2

 

26
2. DISTRIBUCION DE FOTONES
La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I):
P ( n) 
(2σ 
2 n
(1  2σ 
2 n 1

a2
exp  
2
1

2
σ

 
a2
 L n   2
2
2
σ
1

2
σ
 
(




27
(Photon statistics in compensated wavefronts. Canales, Cagigal. JOSA 1999)
3. COCIENTE DE STREHL, SR
El cociente de Strehl se puede derivar en función de
parámetros conocidos:
SR 
Ar
2
  r2   i2
1  ( N  1) e
 SR 
N
D j
28
SR DESDE EL HALO
El radio del halo se define como:
6.00E-03
RHALO

 
2
 I HALO( x )dx  RHALO I HALO(0)
PSF
4.00E-03
2.00E-03
imagen
0.00E+00
x (32
l /D)
0
64
Desde el halo del PSF halo:
SR

( 

1
-D j
2
(

1

D
/
r

1
e
0
(D / r0 2

29
COMPARACION ENTRE SR
Comparando ambas expresiones del SR:
1. Número de celdas
r0 = diámetro de la celda
Baja compensación
2. SR
(r0/D)2
 D 
N  
 r 

0 

2
Alta compensación
exp(-Dj)
30
4. SNR
I
SNR 
I

1  ( N  1) e
1  (2N - 2)e
-D j
-D j
 ( 2  4 N )e
-2 D j
 0(e
-3 D j
)
3
SNR
2
1
0
0
4
r
8
12
31
5. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Desde la función de estructura y el modelo de imagen:
σ 2

 3.44 lc


 SR  exp( σ  ) 2 


D
 1  exp( σ 2 )




2
1 / 2




5/3
(Residual phase variance in partial correction. Canales, Cagigal.JOSA 2000)
32
ESTIMACION DE LA V.R.F.
Sustituyendo la long. de correlación:
σ 2

 3.44 0.286 j0.362


 SR  exp( σ  ) 


2
 1  exp( σ ) 



2
1 / 2




5/3
Para baja compensación:
σ 2
 0.286 j0.362 
 3.44 

1/ 2
SR


5/3
33
6. PSF APROXIMADA
Modelo aproximado de la PSF:
0.015
OTF (r )
 1

 OTFTEL (r ) exp   D (r ) 
 2

PSF
0.01
0.005
0
0
PSF ( x)  TF
x (32
l /D)
64
5/3







r


 OTFTEL (r ) exp ( D j    exp  3.44 
 exp ( D j  r  l c






 r 0  





 OTF (r ) exp ( D 
r  lc
TEL
j



34
7. GANANCIA
Ganancia del sistema :
G = Ic /I halo
La intensidad media en el halo es:
I halo 
La intensidad en el pico coherente es:
Ic 


ET 1  exp ( D j 

(lf

/ 2l corr 
2

ET exp ( D j 
 (lf / 2 D 2
35
(Gain estimates for exoplanet detection with adaptative optics. Canales, Cagigal A&A 2000)
GANANCIA
G 

  Δ 
exp


j 






1  exp 
  Δ j 




Tiempo de integration
(horas)
Ganancia
8,E+05
6,E+05
4,E+05
2,E+05
0,E+00

D

l
 corr




2
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
0
4000
8000
Numero de actuadores
12000
0
2500
5000
7500 10000
Numero de actuadores
36
8. SIMULACION POR COMPUTADOR
Simulamos pantallas de fase compensadas
siguiendo el procedimiento de N. Roddier.
• Cumple la estadística de la atmósfera
• Fácil de introducir la compensación
• Calculo rápido
37
38
ESTADÍSTICA DE LA FASE
ESTADISTICA DE INTENSIDAD
SNR
0.4
0.3
0.3
p(I)
p(I)
0.2
0.2
0.1
0.1
P(  )
3
0
0
0
0.0025
0.005
0.0075
0
0.006
0.012
0.018
I
I
2
0.2
1
p(I)
p(I)
0.2
0.1
0.3
SNR
0.3
-3.14
-1.57
0

0
0
0
0.025
1.57
0
0.05
I
0.075
3.14
0.1
0
0.1
0.5
1
x ( l /D)
0
0.1
0.2
I
1.5
0.3
0.4
39
ESTADISTICA DE FOTONES
0.2
0.3
ANALISIS
DE LA PSF
0.05
0.1
P(n)
P(n)
0.15
0.2
0.1
0
0
0
5
10
0.003
15
20
0
0.003
10
5
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
15
20
n
PSF
0.002
0.001
0.002
0.001
0.6
0
20
40
x ( l /D)
60
P(n)
0
0
0.480
0
20
40
60
80
x ( l/ D)
0.2
0
5
10
0.015
15
20
0
5
10
0.12
15
20
n
n
0.01
0.08
PSF
0
PSF
P(n)
PSF
n
0.005
0.04
0
0
20
40
x ( l /D)
60
80
0
0
20
40
60
80
x ( l /D)
40
PSF
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
x ( l /D)
41
9. EXPERIMENTO
PC1
F. de O.
CORREGIDO
PROYECTOR
CCD
Laser
P1 LCD2
P2
42
IMAGENES
43
0.1
0.1
0.075
0.075
P(I)
P(I)
ESTADISTICA DE LA INTENSIDAD
0.05
0.05
0.025
0.025
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0.1
0.2
0.4
I
0.75
0.6
0.5
0.4
P(I)
P(I)
I
0.3
0.25
0
0.2
0
0
0.05
I
0.1
0
0.05
0.1
I
44
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
45
I.1 ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
Número de celdas= (D / r0)2
Parámetro de Fried
generalizado
r0
D diámetro del telescopio
(Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001)
46
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
La función característica de N celdas es:
N
N



~
C (U )   exp( j k U cos( i   )    J 0 (aU )   j k J k (aU ) exp( k 2 D2j )
k 1
1
1 

La distribución de probabilidad del c.e.:

1
~
~~  N 
k
2 2  2
P ( A) 
exp(  jUA)  J 0 (aU )   j J k (aU ) exp( k D j ) d U
2 
4
k 1

 1 
47
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
2,5
P(I)
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
I/<I>
48
I.2. AREA ISOPLANATICA

iso 
h
r0
h
Pupila Telescopio
Sin compensación:
r0
 0  0.314(cos  )
h
Con compensación:
 0  0.314(cos  )
r0
h
49
AREA ISOPLANATICA
Dependencia del número de polinomios corregidos:
 0  0.314(cos  )
r0
h
 3.44

 coef(j)





3/ 5
0.286 j0.362
 0 ( unid. arb. )
0,1
0,075
0,05
0,025
0
0
25
50
75
Numero de polinomios corregidos
100
50
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
51
II.1. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Fuentes de error:
- Resolución finita: espacial y temporal
- Ruido
de fotones
Valor
instantáneo
de Dj es útil para:
- Anisoplanatismo
A. Calibrar el sistema
- Scintillation
B. Estadística instantánea de fotones
- Retraso entre sensado y compensación
C. PSF instantáneas
52
A. ESTIMACION DE LA V.R.F
B. ESTADISTICA INTENSIDAD
1000
C.
PSF INSTANTANEAS 0.3
0.3
0.2
100
P(I)
P(I)
2
(
rad
)

0.2
0.1
2
0.1
0
0.015
10
0
0.02
0.04
I
PSF
1
0
0.2
0
0.06
0
0.05
0.15
0.2
I
0.01
25
0.1
50
750.2
100
0.1
P(I)
P(I)
0.005
Number of corrected modes
0.1
20
0
0
0
0
0.2
0.4
I
00.6
40 0.2
x ( l /D)
0
60 0.4
80
0.6
I
53
II.2. DETECCION DE EXOPLANETAS
Desviaciones de:
- P(n)
-Transformada de Fourier o Laplace de P(n)
- n(2), g(2)...
SNR

no
N
n*
54
GANANCIA
G(Δ j ) 
ρ 02 (Δ j )e
D 2 (1  e
Tiempo de integracion
(horas)
Ganancia
8,E+05
6,E+05
4,E+05
2,E+05
Δ j
Δ j
)
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
0,E+00
0
4000
8000
Numero de actuadores
12000
0
2500
5000 7500 10000
Numero de actuadores
55
INTERFEROMETRO DE NULO
I *  D2r  D2i
 2 r2  2 i2
Intensidad
1,E+00
1,E-02
1,E-04
1,E-06
1,E+00
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
Núm ero de m odos corregidos
56
INTERFEROMETRO DE NULO


S / N  I 0 n(1  2 I * D j ( x, y ) 
Tiempo de integración
(horas)
6
S/N
4
2
0
0
2500
5000
7500
Numero de modos corregidos
10000
1/ 2
1000
100
10
1
0
20000
40000
60000
Numero de modos corregidos
57
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gaussiana
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
58
DISTRIBUCION DE FASE
1
0,5
0,25
0,4
0
-4
-2
0

2
0,3
4
P( )
P(  )
0,75
0,2
0,1
0
-30
-10
10
30

59
100
100
10
10
1
1
D
D
FUNCION DE ESTRUCTURA
0,1
0,1
0,01
0,01
0,001
0,001
0,01
0,1
0,01
1
100
10
10
1
1
D
D
100
0,1
0,01
0,01
0,001
0,001
0,01
0,1
r
1
1
r
r
0,1
0,1
0,01
0,1
1
r
60
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
1,2
0,4
0,8
0,3
0,4
0,2
0
0,1
Longitud de correlacion (D
units)
r0
LONGITUD DE CARACTERISTICOS
CORRELACION
PARAMETROS
1,6
2
3
4
5
6
0
Numero de modos corregidos
2
3
4
5
7
6
7
Numero de modos corregidos
61
MODELO DE F. DE ESTRUCTURA
D ( r )

1.55

 r 


 0.63 

 r0 
 2D
j


r  lc
r l
c
1,E+02
1,E+02
1,E+01
1,E+01
D
D
1,E+00
1,E-01
1,E+00
1,E-02
1,E-01
0,01
0,1
r
1
1,E-03
0,01
0,1
1
r
62
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
PSF
PSF
PSF MODELO-EXPERIMENTAL
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
50
60
x
70
80
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
PSF
PSF
0,4
0,4
0,2
0,0
0,0
60
x
70
80
60
x
70
80
50
60
x
70
80
0,4
0,2
50
50
63
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
Caso
estándar
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
APLICACIONES I
APLICACIONES II
- Est. no-Gauss.
- Calibrado de sistemas
- Efecto en isopl.
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
64