Transcript Curso de Probabilidad y Estadística Tema: (7) Estadística Descriptiva El campo de la Estadística     Recopilación, Presentación, Análisis y Uso de Información para resolver problemas, tomar decisiones, hacer estimaciones.

Curso de Probabilidad y Estadística
Tema: (7) Estadística Descriptiva
El campo de la Estadística




Recopilación,
Presentación,
Análisis y
Uso de Información para resolver
problemas, tomar decisiones, hacer
estimaciones y diseñar productos y
procedimientos
La variabilidad


La Estadística sirve para presentar,
describir y entender la variabilidad
Un proceso produce un resultado, al
repetirse un proceso, los resultados
cambian a pesar de que el proceso se
reprodujo aparentemente en las
mismas circunstancias.
Población


Colección de mediciones de un universo
respecto al cual queremos obtener
conclusiones o tomar decisiones.
Ej. Conjunto de valores de consumo de
energía (KWH) facturados en el primer
bimestre de 2008
Tipos de datos



Datos numéricos (continuos o discretos)
Datos categóricos (Ej. Sexo, marca, ..)
Datos identificadores de unidades
Muestreo de datos
Muestreo aleatorio
Muestra
Población
Nota: Si la muestra es igual a la población, al muestreo le llamamos censo
Estadística


Descriptiva. Organización, resumen y
presentación de datos
Inferencial. Llegar a una conclusión
acerca de la población, el proceso o el
modelo de asignación de las variables
Presentación gráfica de la
información







Diagrama de puntos
Gráficas de dispersión
Diagramas de tallos y hojas
Histogramas
Diagramas de cajas con bigotes
Gráficas de Pareto
Series de tiempo
Diagrama de puntos
Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de muestras de
mortero Portland (Kg/cm2) con polímero agregado:
16.85 16.40 17.21 16.35 16.52
17.04 16.96 17.15 16.59 16.57
mortero Portland sin modificar:
17.50 17.63 18.25 18.00 17.86
17.75 18.22 17.90 17.96 18.15
* *
16.0
** *
16.5
*
**
17.0
* = Mortero modificado
+ = Mortero sin modificar
* *
+ + +
17.5
+ + ++
18.0
+ + +
18.5
Graficas de dispersión
Gráfica de dispersión
Grafica de dispersión 3D
Gráfica de burbujas
Ejemplo: Resistencia a la tensión de 80
muestras de aleación Aluminio-Litio
105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168
167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115
160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178
76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169
199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237
150 135 196 201 200 176 150 170 118 149
Diagrama de tallos y hojas
Tallo
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Hoja
6
7
7
5 1
5 8 0
1 0 3
4 1 3
2 9 5
4 7 1
3 0 7
8 5 4
0 3 6
9 6 0
7 1 0
8
1 8 9
7
5
5
8
3
3
4
1
9
8
3
3
4
0
1
4
3
5
1
0
5
6
1
4
6
8
0
2
0
9
8 6 8 0 8
8 7 9
1 0 6
Frecuencia
1
1
1
2
3
3
6
8
12
10
10
7
6
4
1
3
1
1
Tallos y Hojas ordenado
Tallo
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Hoja
6
7
7
1 5
0 5 8
0 1 3
1 3 3
1 2 3
0 0 1
0 0 0
0 1 1
0 0 1
0 3 4
0 1 7
8
1 8 9
7
5
4
5
3
3
2
1
6
8
5
8
4
3
4
3
9
5
6 9
4 6
5 7
4 5
4 6
9
9
7 8 8 8 8
7 8 9
6 6 8
Frecuencia
1
1
1
2
3
3
6
8
12
10
10
7
6
4
1
3
1
1
Los datos ordenados
76
123
145
154
163
172
181
200
87
131
146
156
163
174
183
201
97
133
148
157
165
174
184
207
101
133
149
158
167
175
186
208
105
134
149
158
167
176
190
218
110
135
150
158
168
176
193
221
115
135
150
158
169
178
194
228
118
141
151
160
170
180
196
229
120
142
153
160
171
180
199
237
121
143
154
160
171
181
199
245
Son 80 datos, como es un numero par, la mediana será el promedio de los
que ocupan los lugares 40 y 41, o sea (160+163)/2=161.5
El primer cuartil es el valor en (0.25)*80+0.5=20.5, es decir, el promedio de
los valores en los puestos 20 y 21, o sea (143+145)/2=144
El tercer cuartil es el promedio de los valores en los puestos 60 y 61, es
decir, (181+181)/2=181
El rango intercuartil



RIC=Q3-Q1
Es una medida de dispersión de datos
En el ejemplo anterior: RIC=181-144=37
Tabla de Frecuencias
Clase
70 a 90
90 a 110
110 a 130
130 a 150
150 a 170
170 a 190
190 a 210
210 a 230
230 a 250
Frecuencia
2
3
6
14
22
17
10
4
2
Frec. Relativa
0.0250
0.0375
0.0750
0.1750
0.2750
0.2125
0.1250
0.0500
0.0250
Frec. Rel. Acum.
0.0250
0.0625
0.1375
0.3125
0.5875
0.8000
0.9250
0.9750
1.0000
Histograma
25
20
15
10
5
0
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
Ejercicio
En un aeropuerto se registran los vuelos que arriban en una semana determinada
y los datos se vuelcan en la siguiente tabla:
Día
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Vuelos
25
37
45
50
32
40
30
Ordene en forma creciente y calcule mediana y cuartiles.
¿Cuántos vuelos hay el día que hay menos vuelos?
¿Cuántos vuelos hay el día que hay más vuelos?
Diagrama de Pareto





Se ordenan la frecuencias en orden descendente
La escala horizontal no es necesariamente numérica
La línea indica los porcentajes acumulados
Útiles en análisis de datos de defectos en procesos
de producción
Muy usada en los programas de mejoramiento de
calidad pues permite a los ingenieros concentrarse en
los problemas realmente importantes
Ejemplo, Proceso de fabricación
de un puerta de automóvil
Tipo de
Defecto
Cant
Mancha
21
Rayón
35
Defecto en
manija
17
Floja
Tipo de Defecto
Cant
%
Rayón
35
32
Floja
29
26
Mancha
21
19
Defecto en manija
17
16
29
Otros
8
7
Abollada
3
TOTAL
110
100
Defecto en vidrio
5
TOTAL
110
Diagrama de Pareto
Serie de tiempo
300
Resist a la tensión
250
200
150
100
50
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Descripción numérica de los
datos








Media
Varianza
Moda
Mediana
Sesgo
Curtosis
Covarianza
Factor de correlación
La media
La media muestral
x1  x2  ...  xn 1 n
x
  xi
n
n i 1
La media de la población
1

N
N
x
i 1
i
La varianza
La varianza muestral
1
1
2
2
2
s   ( xi  x )    xi   x
n i 1
n  i 1 
n
n
2
n
La varianza de la población
N
1
 2   ( xi   ) 2
N i 1
Varianzas muestrales, Covarianza
muestral y correlación muestral
n

1
1
2
2
2
2
sx   ( xi  x )    xi   x
n i 1
n  i 1 
n
n

1
1
2
2
2
s y   ( yi  y )    yi   y 2
n i 1
n  i 1 
n

1 n
1 n
sxy   ( xi  x )( yi  y )    xi yi   xy
n i 1
n  i 1

S xy
rxy 
SxS y
La moda


El valor de mayor frecuencia
Si hay dos, la distribución es bi-modal
El rango dinámico

La diferencia entre el máximo y el
mínimo de los valores de la población
Sesgo y Curtosis
n
n
sesgo 
(n  1)(n  2)
 (x  x)
i 1
i
s3
n
n(n  1)
curtosis 
(n  1)(n  2)(n  3)
4
(
x

x
)
 i
i 1
s4
3
Regresión lineal





Es una técnica estadística para investigar la relación
entre dos o mas variables
Se utiliza para realizar predicciones de una variable
(respuesta) en términos de otras (regresivas)
El término “regresión” fue acuñado por el frances
Francis Galton quien lo usó en sus estudios de la
herencia
La regresión simple o bivariada consiste de hacer
predicciones de una variable en términos de otra
solamente
En la regresión múltiple, la predicción se hace
tomando en cuenta a varias variables
Regresión lineal simple



Asumimos que la relación entre la variable
respuesta y la variable regresiva es una línea
recta E[ y | x]  0  1 x
Cada observación cumple yi  0  1 xi  
La suma de los cuadrados de los errores es
n
n
2


(
y




x
)
  i 0 1i
2
i 1
i 1
Regresión lineal simple

Para minimizar el error derivamos e
igualamos a ncero respecto a 0
 2 ( yi  0  1 xi )  0
i 1

De la misman manera derivando respecto a 1
 2 ( yi  0  1 xi ) xi  0
i 1

Simplificando estas dos ecs:
n
n
i 1
i 1
n 0  1  xi   yi
n
n
n
 0  xi  1  x   yi xi
i 1
i 1
2
i
i 1
Regresión lineal simple

Reconociendo que
1 n
y   yi
n i 1
1 n
x   xi
n i 1
n



n 0  1  xi   yi
La ecuación
i 1
i 1
Se convierte en 0  y  1 x
n
n
Esto lo reemplazamos en  x   x 2 
0

n
Para obtener

i 1
n
i
1

i 1
i
n
n
y x
i 1
n
i i
( y  1 x ) xi  1  x   yi xi
i 1
i 1
2
i
i 1
Regresión lineal simple


n
n
i 1
i 1
i 1
( y  1 x ) xi  1  xi2   yi xi
De la ecuación
Despejamos 1
n
n
n
n

2
y  xi  1  x  xi   xi    yi xi
i 1
i 1
 i 1
 i 1
n
n

Para obtener
1 
n
 y x  y x
i 1
i i
n
i 1
n
i 1
i 1
i
 x  xi   xi2
Regresión lineal simple
1 
n
n
i 1
n
i 1
n
i 1
i 1
 yi xi  y  xi
 x  xi   xi2
n
1 
Es lo mismo que

n
1 n
yi xi   yi  xi

n i 1 i 1
i 1

1
x   xi 

n  i 1 
i 1
n
n
2
i
2
n

 y (x  x)
i 1
n
i
i
 (x  x)
i 1
i
2

S xy
S xx
Ejemplo

Un Ingeniero está investigando el efecto de
la temperatura sobre el rendimiento de un
producto, sus experimentos arrojan los
siguientes resultados
Temp 100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
Rend
51
54
61
66
70
74
78
85
89
45
La gráfica de dispersión

Esta gráfica nos indica una fuerte suposición de que
la relación entre las dos variables puede ser lineal
Haciendo los cálculos
10
n  10
x
i 1
i
 1450
x
i 1
2
i
10
y
 218,500
y
i 1
x  145
10
10
i 1
2
i
i
 673
y  67.3
 47,225
10
x y
i 1
i
i
 101,570
2
2


1
(
1450
)
S xx   xi2    xi   218,500
 8,250
10  i 1 
10
i 1
10
10
10
1 10 10
(1450)(673)
S xy   xi yi   xi  yi  101,570
 3,985
10 i 1 i 1
10
i 1
Finalmente
S xy
3985
1 

 0.483
S xx 8250
0  y  1x  67.3  (0.483)(145)  2.739
y  0  1x  2.739 0.483x
Perspectiva histórica de la teoría de la fiabilidad
• Estudios para poder evaluar la mortalidad derivada de las
epidemias.
Orígenes:
• Compañías de seguros, para determinar los riesgos de sus pólizas
de seguro de vida.
• Tablas de vida: La primera tabla de vida data de 1693 y es
debida a Edmund Halley
Siglo XX:
se utilizaban los métodos actuariales tanto para estimar la
supervivencia de pacientes sometidos a distintos tratamientos
como para estudiar la fiabilidad de equipamientos, en particular de
los ferrocarriles.
En 1939 Waloddi Weibulll, cuando era profesor del Royal Institute
of Technology en Suiza, propuso una distribución para describir la
duración de materiales, que más tarde llevaría su nombre.
En 1951 Epstein y Sobel empezaron a trabajar con la distribución
exponencial como modelo probabilístico para estudiar el tiempo de vida
de dispositivos
43
Herramientas de Fiabilidad
Se estudia mediante el análisis estadístico de datos de
supervivencia.
ISO define fiabilidad como la probabilidad de que un
componente o sistema, desarrolle durante un periodo de
tiempo dado, la tarea que tiene encomendada sin fallos, y en
las condiciones establecidas.
Estudiar Duraciones de Procesos que es común en muchas ciencias:
• Duración de un componente (Fiabilidad)
• Supervivencia de un paciente a un tratamiento (Medicina)
• Duración del desempleo (Economía)
• Edad de las personas (Demografía y sociología)
44
Veamos, a partir de un histograma podemos desarrollar las cuatro
funciones de importancia para la caracterización de la fiabilidad.
9
8
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
TOTAL
fallas
2
5
7
8
7
6
5
4
3
1
48
7
6
5
Fallos
MES
ENERO
Serie1
Serie2
4
3
2
1
0
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
Meses
45
En estudios de mantenimiento necesitamos pasar del anterior histograma a funciones
continuas, debido que la variable tiempo de fallo es continua. Esta funciones nos dan una
idea clara de la distribución de fallos. Empezamos por la f(t) ó pdf que indica la densidad
probable de fallas en cada intervalo t.
9
t2
f (t )   f (t )d (t )
8
t1
7
6
5
f(t)
4
Serie1
3
2
1
0
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
Meses
Pudiendo llamar a t1 y t2, -∞ y ∞ respectivamente
46
F(t) ó CDF Cumulative Density Function:
aquí de -∞ a Tiempo t, seria la probabilidad de que la falla ocurra
antes del tiempo t.
F (t )  
t
f (t )dt

el área bajo la curva - transcurrido t (Función Repartición ) cdf=14/48
9
8
7
6
5
f(t)
4
3
2
1
0
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
Meses
Tiempo t
Intervalo -∞ a t, la acumulación de fallas
47
R(t) Reliability (confiabilidad)
Esta es la probabilidad de éxito o sea que no ocurra la falla antes de t.
Representando por el área bajo la curva desde t hasta infinito.
R(t)= 1- F(t)

R(t )   f (t )dt
t
9
8
7
6
5
f(t)
4
3
2
1
0
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
Meses
Tiempo t
48
La tasa de falla del intervalo t1 a t2 se define como
 R(t )  R(t2 )   1 
TF (t1 , t2 )   1
t  t 
R(t1 )

 2 1 
Es la probabilidad de que ocurra una falla en el intervalo
de t1 a t2 dado que no ha habido falla al tiempo t1
la función de Riesgo, o tasa de mortalidad h(t) es
R(t )  R(t  t ) 1
R(t  t )  R(t ) 1
 R' (t )
  lim

t 0
t 0
R(t )
t
t
R(t )
R(t )
h(t )  lim
Y como R(t)=1-F(t), entonces
R’(t)=-F’(t)=-f(t), de ahí
h(t ) 
f (t )
f (t )

R(t ) 1  F (t )
Es muy común asumir que las fallas tienen una distribución exponencial, entonces:
f (t ) e t
h(t ) 
 t  
R(t ) e
Y entonces se dice que la tasa de falla es constante, la constante λ
Función de Riesgo típica
(t)
DOMINIO ELECTRONICO
desclasificación
Hipótesis exponencial
 constante
1
2
desarrollo
3
Edad t
obsolescencia
Madurez (fallos aleatorios)
Inicio utilización
50
Función de Riesgo típica
DOMINIO MECANICO
(t)
Influencia del desgaste
sobre  (t)
Curva debida a los
fallos precoces
desclasificación
Madurez
1
Puesta en servicio
3
2
rodaje
Edad t
obsolescencia
 f (t )   f (t ) 
h(t )  


R
(
t
)
1

F
(
t
)

 

51
Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la bañera es
conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones de stress)
para que supere la zona de mortalidad infantil o fallas infantiles.
– determinar cuando comienza la vida útil del producto y ofrecer a los clientes una
garantía de funcionamiento durante ese periodo de funcionamiento problemático.
– Una vez superado el periodo crítico, la empresa está razonablemente segura de que el
producto tiene una posibilidad de fallos reducida
52
La distribución de fallas de diferentes tipos de maquinaria no son las
mismas. Aun varían en una misma maquina durante su operación. Sus
formas pueden ser estudiadas a partir de las funciones pdf, cdf y tasa de
falla de los datos reales de mantenimiento o de ensayos de fiabilidad. Estos
dan forma a determinadas expresiones matemáticas conocidas como
distribuciones obteniendo:
•Dist. Exponencial
•Dist. Normal
•Dist. Lognormal
•Dist. Weibull
53
EL MODELO EXPONENCIAL
pdf
f (t) =  exp (-t),
cdf
F(t) = 1 - exp(-t), t  0
R(t)
R(t) = exp (-t ),
t0
t0
 = h(t)
54
EL MODELO DE WEIBULL
=5
x)
f (t)
=0,
5x)
=3,6
=1
x)
f
(x)
  t  
f (t )    

   
=2,
5x)
=2
x)
 1
e t  

 parámetro de forma  > 0;
 parámetro de escala  > 0;
 parámetro de posición -  <  < +
t
(t)
 
t 

F (t )  1  e 
=4
3
2
2
1
1,5
0,
5
1
0,5t
t
55
Las características de la distribución de Weibull
56
Las características de la distribución de Weibull
57
Las características de la distribución de Weibull
- El parámetro de posición  (en unidad de tiempo)
f(t)
Se llama también parámetro de diferenciación o de
localización.
Significado:  indica la fecha de inicio de los fallos.
-- si  > 0, hay supervivencia total entre t = 0 y t = ;
-- si  = 0, los fallos empiezan en el origen del tiempo;
2 < 0
2 = 0
2 > 0
t
-- si  < 0, los fallos han empezado antes del origen del
tiempo.
58
Ejemplo
Obtención de la fiabilidad de neumáticos a través del
Análisis de la degradación
Siete marcas de neumáticos fueron controlados en su desgaste cada
5.000 millas, midiendo la profundidad de cada uno. La tabla que
contiene las mediciones desde su inicio hasta las 30.000 millas
f (t) =  exp (-t),
t0
F(t) = 1 - exp(-t), t  0
R(t) = exp(-t ),
Degradación Critica
t0
y= 2 mm
59
Ejemplo
60
Ejemplo
61
Ejemplo
62
Ejemplo
63
Diagrama de Ishikawa
El diagrama de Ishikawa conocido también como causa-efecto, es una forma de
organizar y representar las diferentes teorías propuestas sobre las causas de un
problema. Nos permite, por tanto, lograr un conocimiento común de un problema
complejo, sin ser nunca sustitutivo de los datos.