Transcript Regresión Lineal Simple

Regresión Lineal
Simple
Diana Ruiz Tinajero.
Una de las principales ventajas encontradas para la regresión
lineal en el mundo empresarial es la capacidad que tiene de
analizar tendencias de datos históricos para poder predecir
comportamientos futuros de variables tan decisivas como las
ventas, los costos, tipos de cambios, comportamiento de la
demanda, oferta, índices de precios al consumidor, inflación,
producción etc.
La regresión permite analizar tendencias basadas en datos
históricos, sin embargo es importante tomar en cuenta que
se pueden generar grandes desviaciones al no tener en
cuenta fenómenos que se estén presentando y que puedan
afectar a la empresa.
•
El concepto de regresión lineal tiene como función
primordial el determinar el grado en que se relacionan
dos variables cualesquiera, las cuales se denominan
variable independiente “x” y variable dependiente “y”
mediante una técnica llamada mínimos cuadrados.
•
Dicha técnica se basa en encontrar la distancia mínima
entre los puntos reales obtenidos de mediciones
históricas y una recta estimada que represente todos los
puntos.
Ejemplo
Con base en las cifras presentadas por el servicio de renta interna (SRI), un
grupo nacional de ciudadanos ha expresado su preocupación porque el
presupuesto para éste no sea utilizado efectivamente. El SRI argumentó que el
incremento en el número de contribuyentes que presenta su declaración de
renta explica los problemas de presupuesto. A continuación se proporcionan
los datos relevantes. Realice un análisis de regresión para justificar la
afirmación.
Año
Declaración de renta
(millones de $)
Presupuesto del SRI (en
miles de millones de $)
1
116
6.7
2
116
6.2
3
118
5.4
4
118
5.9
5
120
3.7
6
117
5.9
7
118
4.7
8
121
4.2
Diagrama de dispersión
Presupuesto del SRI (miles de millones de $)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
115
116
117
118
119
120
121
122
Declaraciòn de renta (millones de $ )
Se observa que existe una relación lineal negativa por la dispersión de
los datos alrededor de la línea recta
Método de mínimos cuadrados
Declaración de renta
(millones de $)
X
X2
Presupuesto del SRI (en miles de
millones de $)
Y
Y2
XY
116
6.7
13456
44.89
777.2
116
6.2
13456
38.44
719.2
118
5.4
13924
29.16
637.2
118
5.9
13924
34.81
696.2
120
3.7
14400
13.69
444
117
5.9
13689
34.81
690.3
118
4.7
13924
22.09
554.6
121
4.2
14641
17.64
508.2
944
42.7
111414
235.53
5026.9
X  118
Y  5 . 3375
Cálculo de los coeficientes de
regresión
b 
n  xy 
 x y
n  x   x 
 y b x
2
2
a 
n
n
Parámetros del modelo de regresión
b1 
n  XY 
n X
2
 XY
  X 
2

8 * 5026
. 9   944 * 42 . 7 
8 * 111414
 944

2

  0 . 5318
b 0  Y  b1 X  5 . 3375  (  0 . 5318 )( 118 )  68 . 0920
Ecuación de regresión es:
Yˆ  b 0  b1 X  68 . 0920  0 . 5318 X
De acuerdo con los datos obtenidos se observa que existe una relación negativa,
es decir al aumentar el presupuesto se reducen las declaraciones.
Coeficiente de determinación
• Se puede calcular el coeficiente de determinación, a
fin de evaluar qué tan correcta es la estimación de la
recta de regresión.
• El coeficiente de determinación r² se calcula como:
r  1
2
SSE
SST
Valores para el coeficiente de
determinación
Yˆ
Y
SST  (Y  Y )
2
SSE
6.7
6.4011
1.8564
0.0893
6.2
6.4011
0.7439
0.0405
5.4
5.3375
0.0039
0.0039
5.9
5.3375
0.3164
0.3164
3.7
4.2739
2.6814
0.3294
5.9
5.8693
0.3164
0.0009
4.7
5.3375
0.4064
0.4064
4.2
3.7420
1.2939
0.2098
944
42.7
7.6187
1.3966
2
 ( Y  Yˆ )
Coeficiente de determinación
r
2
1
SSE
SST
1
1 . 3966
 1  0 . 1833  0 . 8167
7 . 6187
Interpretación: Solo el 81.67% del presupuesto del SRI se explica
mediante los cambios en la declaración de la renta; también se puede
interpretar como un cambio en la declaración de la renta explica el
81.67% de la variación en el presupuesto del SRI.
Coeficiente de correlación
r 
0 . 8167  0 . 9037
Interpretación: El coeficiente de correlación indica que existe una relación
negativa fuerte entre las variables, es decir al aumentar la declaración de renta,
disminuye el presupuesto del SRI.
Intervalos de confianza
También es posible calcular intervalos de
confianza para la estimación. Para ello es
necesario calcular el error estándar de la
estimación.
S y.x 
 Y
 Yˆ 
n2
2

1 . 3966
82
 0 . 4825
Nivel de
confianza
68%
Z
Fórmula
1
y’ ± Se
95%
2
y’ ± 2Se
99%
3
y’ ± 3Se
.
Para el caso de estudio, el intervalo de confianza del 95% para si la declaración
de la renta es de 115 millones de pesos, se obtiene aplicando el siguiente
procedimiento.
Yˆ  68 . 0920  0 . 5318 X  68 . 0920  0 . 5318 (115 )  6 . 9330
S y.x 
 Y
 Yˆ 
n2
s f  s y.x 1 
1
n
2
1 . 3966

82
x  x 
 x  x 
 0 . 4825
2

2
 0 . 4825 * 1 
1
8

115
 118
2
 0 . 4825 * 1 . 5341  0 . 5976
22
Si se calcula el intervalo al nivel del 95% de confianza, el valor critico de t es
t 0 .025 , 6  2 . 447
IC   y / x  Yˆ  ts f  6 . 9330  ( 2 . 447 )( 0 . 5976 )  8 . 3953 , 5 . 4707

Conclusión
Una vez realizado el análisis de regresión, podemos
concluir que la declaración tiene una relación lineal
negativa con el presupuesto, esto es, que al aumentar las
declaraciones se reduce el Presupuesto, por tanto la
afirmación inicial es correcta con un grado de certeza del
81%.
Y mediante la ecuación de regresión se puede pronosticar
el presupuesto de una año con base en las declaraciones
realizadas.