Transcript File - Favio Murillo García

Econometría
Modelos de regresión lineal
Instructor: Favio Murillo García
Referencias:
• William Greene. Econometric Analysis. Ed.
Pearson (capítulo 2)
• Jeffrey Wooldridge. Introductory Econometrics: A
Modern Approach. Ed. Thomson Learning (pp 2240)
• Damodar Gujarati. Econometrics. Ed. McGraw-Hill
(pp 38-84)
Econometría
Modelos de regresión lineal
Objetivos de la sesión:
• Identificar un modelo de regresión lineal.
• Obtener los estimadores de un modelo de
regresión lineal simple con excel y con eviews.
• Interpretar el signo de los coeficientes y el valor de
la bondad de ajuste.
Econometría
Modelos de regresión lineal
Introducción
• El papel esencial de la econometría es la estimación y
verificación de los modelos econométricos.
• Proceso:
– Especificación del modelo en forma matemática.
– Reunión de datos apropiados y relevantes de la
economía o sector que el modelo se propone
describir.
– Con los datos se estima los parámetros del modelo
– Realizar pruebas con el modelo para analizar si es
valido o si es necesario modificar la especificación.
Introducción
• Un modelo econométrico es una
representación simplificada de la realidad,
que recurre a un número limitado de
conceptos formalizados.
Criticas
• Excesiva simplificación.
• Supuestos poco realistas. Lo importante
no es lo realista o no de los supuestos,
sino qué tan buena es la explicación y
capacidad de predicción que el modelo
tiene en la realidad.
• Datos. Para funcionar, el modelo requiere
datos, que a veces son escasos.
Análisis de regresión
• El objetivo del análisis de regresión es
modelar, estadísticamente, la contribución
o impacto que una o más variables
explicativas pudieran tener sobre alguna
variable de interés.
La realidad bajo estudio
Metodología de análisis
a) Identificar las variables que pudieran estar relacionadas
con nuestra variable de interés.
b) Proponer un modelo que capte la relación entre las
variables.
c) Estimar los parámetros del modelo propuesto en
función de la información muestral disponible.
d) Verificar la validez estadística del modelo construido y
el cumplimiento de las propiedades de los errores.
e) Verificar que no existan variables redundantes o no
significativas en el modelo.
Algunas aplicaciones
• Costo de Capital (CAPM, APT).
• Tipo de cambio, tasas de interés,
inflación.
• Relación entre el IPC e índices de
mercados financieros internacionales.
• Modelación del Spread en función
volumen, tamaño de la empresa, sector
industrial.
Algunas aplicaciones
• Interrelación entre variables económicas y
financieras entre economías (Inflación en
México vs. Inflación en Estados Unidos).
• Teoría de administración de portafolios
(rendimiento esperado de un portafolio).
• Nivel de ventas, utilidades, etc.
Regresión Lineal Simple
yi = b0 + b1xi + ui
y = b0 + b1x + u
• donde y es:
– Variable dependiente
– Variable explicada
– Regresando
• u es:
– Residual
– Término de error
• mientras que x es:
–
–
–
–
–
Variable independiente
Variable explicativa
Covariable
Variable de control
Regresor
b0 y b1: parámetros o
coeficientes a
estimar
Algunos supuestos
• El valor promedio de u, el término de error, en
la población es = 0.
• Es decir, E(u) = 0
• Este supuesto no es muy restrictivo puesto que
siempre podemos ajustar el intercepto b0 para
normalizar E(u) = 0
Media condicional = 0
• Hay un supuesto crucial sobre la relación entre el error
y la variable explicativa:
cov(x, u)
• Queremos que la información contenida en x sea
independiente de la información contenida en u (que no
estén relacionados), de modo que:
E(u|x) = E(u) = 0, lo cual implica:
E(y|x) = b0 + b1x
Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
• La idea básica es estimar parámetros
poblacionales a partir de una muestra.
• Sea {(xi,yi): i =1, …,n} una muestra aleatoria de
tamaño n de una población.
• Para cada observación en la muestra, tenemos:
yi = b0 + b1xi + ui
17
Línea de regresión, observaciones y errores
E(y|x) = b0 + b1x
.{
u4
y
y4
y3
y2
y1
u2 {.
.} u3
} u1
.
x1
x2
x3
x4
x
Estimador MCO / OLS: intercepto (β0)
• Tenemos:
y  bˆ0  bˆ1 x ,
o bien
bˆ0  y  bˆ1 x
19
Estimador MCO / OLS: pendiente (β1)
n
bˆ1 
 x  x  y  y 
i
i 1
i
n
 x  x 
i 1
2
cov(x, y )

var(x)
i
n
toda vez que x tenga varianza:
 x  x 
i 1
2
i
0
20
El estimador MCO de b1
b1, es la covarianza muestral entre x y y, dividida entre la
varianza muestral de x.
• Si x y y están correlacionados positivamente, b1 será
positivo (pues la varianza del denominador siempre es
positiva).
• Si x y y están correlacionados negativamente, b1 será
negativo.
• Obviamente, requerimos que x tenga cierta varianza en
la muestra.
MCO / OLS
• Intuitivamente, MCO ajusta una línea a través de los
datos muéstrales, de modo que la suma de residuales
al cuadrado (SSR) sea la mínima posible: de ahí el
término “mínimos cuadrados”.
• El residual, û, es un estimado del término de error entre
lo observado y lo predicho, es decir, la diferencia entre
la línea de regresión (fitted line) y el dato observado.
24
Línea de regresión muestral,
observaciones, y residuales estimados
y
.
y4
û4 {
yˆ  bˆ0  bˆ1 x
y3
y2
y1
.
û{
.} û3
2
û1
}
.
x1
x2
x3
x4
x
25
Suma de cuadrados: Terminología
P odemossepararcada observación en un componente
explicado(sistemático) y un componenteno explicado:
yi  yˆ i  uˆi De modo que podemosdefinir lo siguiente:
  y  y  es la Suma T otalde cuadrados: SST
  yˆ  y  es la Suma Explicadade cuadrados: SSE
 uˆ es la Suma Residual de cuadrados: SSR
2
i
2
i
2
i
Lo cual implicaque SST  SSE  SSR
26
Bondad de ajuste: R2
• ¿Cómo saber qué tan bueno es el ajuste entre
la línea de regresión y los datos de la muestra?
• Podemos calcular la proporción de la suma de
cuadrados totales (SST) que es “explicada” por
el modelo.
• Esto
es
la
llamada R-cuadrada
regresión:
de
R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST
una
27
Ejercicio
• La siguiente tabla presenta datos que se
refieren al consumo de tazas de café por
día y el precio al menudeo del café. En
Estados Unidos de 1970 a 1980.
• Fuentes: Summary of National Coffee Drinking Study,
1981. Nielsen Food Index, 1981.
Año
Tasas diarias Precio en dólares
por persona (Y)
por libra (X)
1970
2.57
0.77
1971
2.5
0.74
1972
2.35
0.72
1973
2.3
0.73
1974
2.25
0.76
1975
2.2
0.75
1976
2.11
1.08
1977
1.94
1.81
1978
1.97
1.39
1979
2.06
1.2
1980
2.02
1.17
Conteste
a) ¿ Cómo es la relación existente entre estas dos
variables: directa o inversa ?
b) ¿ Qué tan ajustada es la correlación entre estas dos
variables ?
c) Construya el siguiente modelo:
TCDP  b 0  b1 precio
d) Interprete intuitivamente el valor de los parámetros
obtenidos
e) Estime las tasas diarias por persona si el precio es de
1.5 dólares por libra.
Tarea
• Resolver el ejercicio 2.16
• Revisar el ejemplo 7.2
(del texto de Gujarati)
Regresión Lineal Múltiple
yi = b0 + b1x1i + b2x2i + . . . bkxki + ui
32
Cálculo de estimadores
b  Xt X)-1Xt Y
33
Sesgo y eficiencia de MCO
• Dos características deseables de cualquier
estimador estadístico son:
• Insesgamiento (unbiasedness): que el parámetro
estimado sea, en promedio, igual al “verdadero”
parámetro poblacional.
• Eficiencia (efficiency): que la varianza del
estimador sea mínima (ie, máxima precisión).
• Así, buscamos estimadores con sesgo mínimo y
máxima eficiencia (ie, mínima varianza).
• MCO cuenta con ambas propiedades bajo ciertas
condiciones: los supuestos Gauss-Markov.
Supuestos Gauss-Markov:
Insesgamiento de MCO/OLS
1. El modelo poblacional es lineal en sus
parámetros: y = b0 + b1x + u
2. Muestra
aleatoria
de
tamaño
n,
{(xi, yi): i=1, 2, …, n}, representativa de la
población, de modo que el modelo muestral
es: yi = b0 + b1xi + ui
3. Media condicional cero: E(u|x) = 0 y por tanto
E(ui|xi) = 0
4. Varianza(xi ) > 0
35
Demostración: SST = SSE + SSR
SST    yi  y     yi  yˆ i    yˆ i  y 
2
2
  uˆi   yˆ i  y 
2
  uˆ  2 uˆi  yˆ i  y     yˆ i  y 
2
i
2
 SSR  2 uˆi  yˆ i  y   SSE
y comosabemosque  uˆi  yˆ i  y   0
 SSR  SSE
36
Supuestos Clásicos de los MICO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
El modelo de regresión es lineal en los parámetros
Los valores de X son fijos en muestreo repetido
El valor medio de ˆi es igual a cero.  / X   0
Homocedasticidad o igual varianza de ˆi . var / X   s
No autocorrelación entre los ˆi. cov ,    0
La covarianza entre ˆi y Xi es cero. cov , X   0
El número de observaciones debe ser mayor que el
de parámetros
8. Variabilidad en los valores de X.
9. El modelo de regresión está correctamente
especificado
10. No hay multicolinealidad
perfecta
ˆ
i
i
2
i
i
j
i
i
j
i
Supuestos Clásicos de los MICO
1. El modelo de regresión es lineal en los
parámetros
2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido
–
–
–
Supone que las variables X no son aleatorias
Es posible mantener fijo el valor de X, y repetir el
experimento, obteniendo en cada observación un
valor de la variable distinto aleatoria Y.
El análisis de regresión es un análisis de regresión
condicional, es decir, condicionado a los valores
dados de los regresores X.
Supuestos Clásicos de los MICO
3. El valor medio de ˆi es igual a cero.
– Los residuos no son más que las desviaciones de
la muestra aleatoria con respecto a la FRP.
– Los factores que no están incluidos en el modelo,
no afectan sistemáticamente el valor esperado de
Y.
– Los valores positivos de ˆi se cancelan con los
valores negativos, de tal manera que su efecto
promedio sobre Y es cero.
– EY / X   b1  b2 X
Supuestos Clásicos de los MICO
4. Homocedasticidad o igual varianza de
vari / X i   s 2
ˆ i .
– La variación alrededor de la recta de
regresión es la misma para los valores de
X, es decir, las perturbaciones se
distribuyen con igual dispersión respecto a
la media.
–
V i    2  Ei  Ei 
2
es equivalente a
y dado el supuesto 2
Ei2    2
Homocedasticidad
Heterocestadisticidad
Supuestos Clásicos de los MICO
5. No autocorrelación entre los ˆi . cov ,    0
i
-
-
-
j
No existe tendencia de que los errores asociados a
una observación estén relacionados a los errores
de otra.
Si en un momento de tiempo o en un individuo de la
muestra se genera un error positivo, esto no nos da
información alguna sobre si el próximo error será
positivo o negativo.
Los errores no tienen un patrón de comportamiento
sistemático.
Si ˆ t y ˆ t 1 están correlacionados, Yt no sólo
depende de Xt, sino también de ˆ t 1 .
Supuestos Clásicos de los MICO
Supuestos Clásicos de los MICO
Supuestos Clásicos de los MICO
6. La covarianza entre
–
ˆ i
y Xi es cero. covi , X j   0
Si hay correlación, no es posible saber como
afecta individualmente ˆi y X a la variable Yi.
Este supuesto se cumple inmediatamente si X
no es una variable aleatoria (sino que es fija).
i
–
7. El número de observaciones debe ser mayor
que el de parámetros
Supuestos Clásicos de los MICO
8. Variabilidad en los valores de X.
– El modelo de MCO requiere que exista una
dispersión entre las X para poder calcular los
valores de los coeficientes, pues si no, éstos
serían una cantidad infinita.
– Ejemplo.
Si todos los valores de X son
idénticos, entonces
Por lo cual
Y entonces,
Xi  X
x
2
i
bˆ2  
0
xi yi
x
2
i

Supuestos Clásicos de los MICO
9. El modelo de regresión está correctamente
especificado
–
–
–
La forma de la FRM es igual a la FRP
El modelo posee las variables correctas: no se
incluyen variables irrelevante ni se excluyen
relevantes.
La forma funcional es la correcta
10. No hay multicolinealidad perfecta
–
No hay una relación perfectamente lineal entre las X